陳學志 羅 瑩

北京師范大學 北京 100875

探究彈簧勁度系數(shù)的影響因素

陳學志 羅 瑩

北京師范大學 北京 100875

在人教版《高中物理(必修)1》中關于彈簧勁度系數(shù)的引入是這樣敘述的：“彈簧彈力的大小F和彈簧伸長x(或壓縮)成正比，即：F=kx?！?/p>

式中的k為彈簧的勁度系數(shù)，單位是牛頓/米，單位符號N/m。生活中有時說彈簧“硬”，有的彈簧“軟”，指的就是它們的勁度系數(shù)不同。這個規(guī)律是英國科學家胡克發(fā)現(xiàn)的，叫做胡克定律。在高中物理課本中沒有對彈簧的勁度系數(shù)給出更多的解釋，這樣就使得中學生在學習高中物理時經常產生這樣的問題：若把一個勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二段，每段彈簧的勁度系數(shù)如何變化，原來一樣，均為k？還是不同？彈簧的勁度系數(shù)由什么決定的？

在大學物理課程中關于彈簧勁度系數(shù)的講解也很少，例如：在趙凱華著的《新概念物理教程》、梁紹榮和管靖著的《基礎物理學》等大學物理教材中均沒有涉及勁度系數(shù)與哪些因素有關的問題。由于這是一個比較容易理解的問題，教師僅在課堂上一帶而過，所以在大學基礎物理課程的作業(yè)中仍然會出現(xiàn)兩個串聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)等于兩個彈簧的勁度系數(shù)之和，這種不應該出現(xiàn)的錯誤。筆者力圖通過一系列簡單的實驗說明彈簧的勁度系數(shù)與哪些因素有關？幫助學生改變頭腦中關于勁度系數(shù)的前概念，建立正確、清晰彈簧勁度系數(shù)的概念。

一、實驗設計

生活中最常見的彈簧之一為圓柱形的彈簧，對于這種圓柱形的彈簧，影響彈簧的勁度系數(shù)的因素應包括原長、彈簧的半徑、制備彈簧所用的材料以及彈簧制造的工藝等。為了確定圓柱形彈簧的勁度系數(shù)與哪些因素有關，筆者采用控制變量的方法，分別選取4對彈簧(詳細情況見表1)作為測量對象，通過焦利氏秤(如圖1所示)分別測量它們的勁度系數(shù)。

表1 實驗的圓柱形彈簧樣品

圖1

二、實驗結果及其分析

對于表1中的彈簧，采用焦利氏秤測量彈簧的勁度系數(shù)的結果，見表2。

表2 測量的圓柱形彈簧的彈性系數(shù)

在表2中,對于第1對彈簧,它們的勁度系數(shù)分別為4.25N/m,4.21N/m,測量的不確定度均為0.07N/m。這說明當圓柱形彈簧的原長、直徑以及制備彈簧的材料性質相同時,彈簧的勁度系數(shù)在測量誤差的范圍內是相同的。第2對彈簧,兩個彈簧的原長不同,但其截面相同,其制備彈簧的材料性質相同。彈簧2的原長比彈簧2’約短一半,彈簧2的勁度系數(shù)(N/m)比彈簧2’的(N/m)大近似為1倍。第3對彈簧,兩個彈簧的原長相同,其制備彈簧的材料性質相同,但其直徑不相同。也就是說對于第3對彈簧,它們的圓柱形截面不同,表2中的數(shù)據顯示彈簧3的勁度系數(shù)比彈簧3’大,也就是直徑大的彈簧的勁度系數(shù)比直徑小的彈簧的勁度系數(shù)小。對于第4對彈簧,雖然它們的形狀、原長、直徑均相同,但是制備它們的材料不同,這也導致了它們的勁度系數(shù)差別很大。

上面的討論表明,彈簧的勁度系數(shù)與制備彈簧的材料性質有關。制備彈簧的材料形狀包括制造彈簧的金屬絲(截面的性質與大小)、金屬絲的材質等因素,這些因素對于彈簧的勁度系數(shù)有重要的影響。此外,彈簧的勁度系數(shù)與彈簧的形狀有關。對于實驗測量的圓柱形彈簧,彈簧的原長和其截面的直徑之間影響彈簧的彈性系數(shù)。表中的實驗數(shù)據顯示圓柱形彈簧的勁度系數(shù)與其原長、直徑均有關。原長越長,其勁度系數(shù)越??；直徑越大,其勁度系數(shù)越小。

通常來說，影響彈簧勁度系數(shù)的因素大體上可以分為兩類，一類為彈簧的形狀、大小等因素，例如：圓柱形(半徑、原長)、圓錐形(半徑、高)等因素；另一類是制備彈簧所用的材料形狀，如材料的彈性模量、剪切模量、彈簧絲等因素。簡單地可以概括為在彈性限度內，彈簧的勁度系數(shù)表示彈簧的一種屬性，其大小與彈簧的材料，彈簧絲的粗細，彈簧圈的直徑，彈簧的原長等因素有關。此外彈簧所出的環(huán)境溫度對于其勁度系數(shù)也有影響，這是由制備彈簧的材料性質所決定的。

在教學和生活中經常使用的圓柱形彈簧，通常是由細絲線密繞而成。對于這類彈簧，當彈簧原長遠大于其半徑，彈簧的半徑遠大于彈簧絲的半徑時，其勁度系數(shù)可以近似表示為

其中G為彈簧材料的剪切模量、r為彈簧絲半徑，n為有效圈數(shù)，R為彈簧的半徑。

有效圈數(shù)n與圓柱形彈簧的原長L的關系為L=2rn,因為這類彈簧是密繞而成的。將其代入上式得

由此可見，對于通常使用的圓柱形彈簧，其勁度系數(shù)與其原長成反比。表2中的第2對彈簧的測量結果證實了這個結論。依據這個結論，我們可以推算出如果將一個圓柱形的彈簧截成兩個原長相等的彈簧，那么得到的新彈簧的勁度系數(shù)比原來大還是?。看鸢笐撔聫椈傻膭哦认禂?shù)是比原來大，而且比原來彈簧的勁度系數(shù)大一倍，因為彈簧的原長變?yōu)榱嗽瓉淼?/2。

對于這個問題，也可以這樣理解。原彈簧可以看作兩個“相同的半彈簧”串接，設原來的彈簧勁度系數(shù)為k，這兩個半勁度系數(shù)為k1=k2=k’。當原彈簧受力變形時，每個“半彈簧”變形量為x，則整個彈簧變形為2x。則有彈簧受到的彈簧力為

如果把一根彈簧在其一半處折疊成一根雙股彈簧，則其彈簧的勁度系數(shù)為多少，等于原來的兩倍嗎？通過上面的推導可以得到這個彈簧的勁度系數(shù)為原來彈簧的4倍。

[1] 江昌龍.能量法求解彈簧的彈性系數(shù)[J].力學與實踐，2008，6

陳學志，大專，實驗師。羅瑩，博士，副教授。