摘 要：以行程問(wèn)題為背景的一次函數(shù)與一元一次方程綜合應(yīng)用題是近年中考中常見(jiàn)的題型.教師要重視基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探尋通性通法，提煉解題模型，挖掘蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.在提升學(xué)生解題能力的同時(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的思維，樹立學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，從而提高學(xué)生的素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：解題能力;數(shù)學(xué)思想;應(yīng)用意識(shí);學(xué)生素養(yǎng)

作者簡(jiǎn)介：羅強(qiáng)華（1984-），男，四川營(yíng)山人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2018年重慶B卷第17題）一天早晨， 小玲從家出發(fā)勻速步行到學(xué)校.小玲出發(fā)一段時(shí)間后，她的媽媽發(fā)現(xiàn)小玲忘帶了一件必需的學(xué)習(xí)用品，于是立即下樓騎自行車，沿小玲行進(jìn)的路線，勻速去追小玲.媽媽追上小玲將學(xué)習(xí)用品交給小玲后，立即沿原路線勻速返回家里，但由于路上行人漸多，媽媽返回時(shí)騎車的速度只是原來(lái)速度的一半.小玲繼續(xù)以原速度步行前往學(xué)校.媽媽與小玲之間的距離y（米）與小玲從家出發(fā)后步行的時(shí)間x（分）之間的關(guān)系如圖1所示（小玲和媽媽上、下樓以及媽媽交學(xué)習(xí)用品給小玲耽擱的時(shí)間忽略不計(jì)）.當(dāng)媽媽剛回到家時(shí)，小玲離學(xué)校的距離為米.

2 特色解讀

2.1 貼近生活，體現(xiàn)應(yīng)用功能

本題的背景是學(xué)生熟悉的生活情境，甚至是一些學(xué)生的親身經(jīng)歷，讓學(xué)生感到親切而輕松，可以緩解考試中的緊張情緒，彰顯了以學(xué)生為本的理念.題目貼近實(shí)際生活，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的用處，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用功能.此外，題目的背景也展現(xiàn)了一個(gè)母親對(duì)孩子的關(guān)愛(ài)和無(wú)私的付出，讓學(xué)生在緊張的考試中還能體會(huì)到強(qiáng)大的母愛(ài)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，哪怕是中考也不忘對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育.

2.2 基于平常，給予正確導(dǎo)向

本題是一次函數(shù)與一元一次方程的綜合應(yīng)用題，涉及到一次函數(shù)圖象的性質(zhì)、行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題和關(guān)系式“路程=速度×?xí)r間”等知識(shí).重慶近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷中都出現(xiàn)了此類題目.題目雖有難度，但不是那種偏、難、繁、怪題，并非高不可攀.題目中涉及的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法都是教師平常經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)，是學(xué)生所熟悉的內(nèi)容.看到熟悉的題型，給考生帶來(lái)希望，不至于望而卻步，直接放棄.只要學(xué)生在平常認(rèn)真練習(xí)、思考和體會(huì)，在考試時(shí)通過(guò)耐心細(xì)致地分析和解答，還是能夠做出來(lái)的.但是又不能憑運(yùn)氣胡亂猜出答案.這對(duì)以后學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的工作都給予正確的導(dǎo)向，讓學(xué)生明白在平時(shí)要踏實(shí)、勤奮和努力地學(xué)習(xí)，不能臨陣磨槍，更不能投機(jī)取巧;也讓教師清楚了今后教育教學(xué)工作中的重點(diǎn)，知道了如何更有效和有針對(duì)性地教育和引導(dǎo)學(xué)生.

2.3 數(shù)形結(jié)合，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想.華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)主要的研究對(duì)象，它們之間有著密切的聯(lián)系.在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化、互相關(guān)聯(lián).本題很好地應(yīng)用和體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，并將其與方程思想和函數(shù)思想相結(jié)合，展現(xiàn)出強(qiáng)大的邏輯思維和數(shù)學(xué)思想.

（1）題目中，媽媽與小玲之間的距離y（米）與小玲從家出發(fā)后步行的時(shí)間x（分）之間的關(guān)系通過(guò)函數(shù)圖象表示出來(lái).函數(shù)圖象和題目條件中的數(shù)量相互結(jié)合，緊密聯(lián)系在一起，互為補(bǔ)充.一些能力強(qiáng)的學(xué)生將函數(shù)圖象和題目條件結(jié)合起來(lái)，就能領(lǐng)會(huì)題意，找到解決問(wèn)題的方法，得出答案.

（2）對(duì)于一些理解力或想象力較弱的學(xué)生還可以根據(jù)題意畫出線段圖，利用幾何直觀來(lái)理解題意，解決問(wèn)題.本題可以畫出如圖2所示的線段圖.通過(guò)數(shù)形結(jié)合審題可知，家到學(xué)校的距離為1200米，小玲30分鐘走完，

可以求出小玲的速度為40米/分.小玲離家10分鐘時(shí)，媽媽去追她，5分鐘后，媽媽追上小玲，可以求出媽媽追及的速度為120米/分和返回時(shí)的速度為60米/分.由此可求出媽媽返回的時(shí)間為10分鐘，此時(shí)，小玲已經(jīng)走了25分鐘，還剩下5分鐘的路程，從而求出小玲離學(xué)校的距離為200米.

（3）在解題時(shí)，除了用一元一次方程的方法求解之外，還可以借助函數(shù)圖象求出函數(shù)關(guān)系式，用解析法求解.根據(jù)題意可以求出圖3中直線AB的函數(shù)解析式為：

y=100x-1500.當(dāng)媽媽到家時(shí)，x=25，可求出y的值為1000，即小玲離家的距離為1000米，離學(xué)校的距離為200米.

2.4 運(yùn)用模型，突出通性通法

縱觀重慶近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷，此類題目不外乎是一次函數(shù)與相遇問(wèn)題或追及問(wèn)題的綜合應(yīng)用.考查的是平常所學(xué)習(xí)的核心知識(shí)和基本模型，突出了通性通法.

例如，本題涉及了追及問(wèn)題，其線段圖如圖4所示，關(guān)系式為：“追者的行程-被追者的行程=間隔的距離”或“（追者速度-被追者速度）×追及時(shí)間=間隔的距離”.

有時(shí)也涉及到相遇問(wèn)題，其線段圖如圖5所示，關(guān)系式為：

“甲的行程+乙的行程=總路程”或“（甲的速度+乙的速度）×相遇時(shí)間=總路程”.

解決此類問(wèn)題的基本思路是：首先結(jié)合函數(shù)圖象和線段圖審懂題意，特別是函數(shù)圖象中的自變量、因變量和每個(gè)交點(diǎn)所表示的實(shí)際意義，這是解決問(wèn)題的前提;然后根據(jù)題意并運(yùn)用模型求出相關(guān)人員的速度，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵;最后求出答案.

3 教學(xué)導(dǎo)向分析

3.1 重視基礎(chǔ)，提升解題能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[1].即我們現(xiàn)在常說(shuō)的“四基”.這是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的重要而強(qiáng)大的支撐.教師在平常教學(xué)中，要重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，要求學(xué)生理解并掌握概念、公式和性質(zhì)等;加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生的基本技能，特別是分析能力、理解能力、推理能力、運(yùn)算能力和應(yīng)用能力等;不斷向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法.