劉文東

摘 要：圖形與幾何概念的教學(xué)中，老師借助直觀手段時，學(xué)生思維活動的情況影響著他們對概念的理解水平，決定了他們對概念本質(zhì)接近的程度，因此，要精心設(shè)計教學(xué)活動，激活學(xué)生思維，引導(dǎo)他們從概念表象順利提升到理性認(rèn)知。老師應(yīng)該把握思維起點，引導(dǎo)經(jīng)歷多元表征的過程，夯實思考的土壤，抽象概念;或從結(jié)構(gòu)化的視角，加強關(guān)聯(lián)與對比，引導(dǎo)構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，拓寬思維廣度，加深概念的理解;或凸顯學(xué)科特性，引導(dǎo)探究在表面現(xiàn)象下隱藏的數(shù)學(xué)問題，提高思維深度，靠近數(shù)學(xué)本質(zhì)。進行有思維的概念教學(xué)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。

關(guān)鍵詞：幾何;教學(xué);圖形

概念既是思維的基本形式，也是思維的基本單元，圖形與幾何的概念也不例外。然而，有的老師把“教概念”變成“教定義”，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是模仿、記憶和強化訓(xùn)練的過程，日久則思維僵化。單純、孤立地教學(xué)概念是沒有意義的。只有了解學(xué)生的認(rèn)知起點，精心設(shè)計教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)的探討、運動、位置確定等過程……”，進行深入思考和表達，在過程和思考中貼近知識本源，才能讓學(xué)生把概念完美內(nèi)化，建構(gòu)概念體系，提升核心素養(yǎng)。在此，以“認(rèn)識三角形”為例談?wù)剬D形與幾何概念教學(xué)的一些思考。

一、 感悟概念的形成之理

每個概念有其形成過程，蘊含本源之理，即使是“司空見慣”“顯而易見”的知識，也有其豐富的內(nèi)涵，不可忽視。學(xué)生對于三角形的認(rèn)識，基本來源于生活經(jīng)驗以及前期學(xué)習(xí)時接觸的學(xué)具、圖形等，關(guān)注了較淺層次的形狀、大小等表層的物理現(xiàn)象，認(rèn)為“三角形是三個角、三條邊組成的圖形”。但三角形“太常見”了，以至于教學(xué)時它的概念總是“告知”給學(xué)生的。當(dāng)我們在情境中喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗后，如果再進一步，引導(dǎo)經(jīng)歷操作表征、圖形表征的過程，體驗概念形成的每一個環(huán)節(jié)，邊看、邊做、邊思考，就是挖掘了概念背后的價值，讓學(xué)生在過程中感悟概念的本質(zhì)。教學(xué)案例如下。

（一）搭一搭

師：你會用小棒搭三角形嗎？師：（先出示兩根小棒）這兩根怎樣搭？生：連起來。師：（演示將一根小棒的一端與另一根上的任意位置搭在一起）是這樣嗎？生：不是，要把兩根小棒的一端連在一起。師：（出示第三根）第三根又怎么搭？生：把這根小棒的兩端和前兩根的連在一起。師：連了一端。第三根小棒太短了，怎么辦？生：旋轉(zhuǎn)其中一根，角度變小就可以了。師：（搭成完整的三角形）

（二）畫一畫

師：畫一個三角形，畫好了和同桌互相說一說畫法。要說出畫的次序哦！師：點名展示學(xué)生畫出的不同類別的三角形，說一說畫法，而后課件演示與歸納，包含兩個方面：不管形狀有怎么樣的差異，它們都是三角形;不管畫法如何，最終三條線段都是端點相連。

（三）說一說

師：根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)，誰能說一說什么樣的圖形是三角形？要求讓人聽了以后，一定就知道是三角形，而不會是別的圖形。

……

上述小環(huán)節(jié)中，老師將概念解構(gòu)，在演示與對話中，引導(dǎo)觀察、思考和表達，親歷三角形概念的形成過程，對概念進行了實物、操作、圖形等多元表征，突破概念中“點、線段、連接”這一關(guān)鍵點的理解，使得概念的抽象表達不斷完善，培養(yǎng)了用數(shù)學(xué)語言進行概括與抽象的能力。

二、 追究概念的深層之因

引導(dǎo)觀察，激發(fā)思考，用已有的知識、能力基礎(chǔ)去解釋、闡述新的知識，解決新的問題，是引領(lǐng)學(xué)生觸摸和理解概念本質(zhì)的常用方法。如果老師抓住機會，引導(dǎo)關(guān)注探究活動中觀察到的現(xiàn)象，提出有價值的問題，激發(fā)認(rèn)知沖突，展開思考與辨析，將有利于推動學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，從而進一步理解概念的內(nèi)涵。比如，對于“三角形具有穩(wěn)定性”的教學(xué)。

教科書安排的例題中，要求學(xué)生用3根小棒圍三角形，用4根小棒圍四邊形，看看各能圍出幾個。（小棒的長度都一樣。）上課時，老師基本是在活動后引導(dǎo)討論，以擺出四邊形形狀的多態(tài)性與擺成三角形形狀的唯一性為對照，得出“平行四邊形易變形，三角形具有穩(wěn)定性”的特性。這樣還不夠，因為學(xué)生的經(jīng)驗無法將此“唯一形狀”與彼“穩(wěn)定”聯(lián)系起來，這是數(shù)學(xué)語言與生活經(jīng)驗脫節(jié)問題。一般情況下，老師會安排“拉一拉”的教學(xué)環(huán)節(jié)：拉一拉平行四邊形，形狀會變嗎？再拉一拉三角形，形狀會變嗎？然而，拉不動三角形，體現(xiàn)的應(yīng)該是物理學(xué)意義上的“穩(wěn)固”，不能很好地說明數(shù)學(xué)方面的特性，老師可以引導(dǎo)深入分析，從數(shù)學(xué)的角度解決問題。

師：（拉動搭成的平行四邊形教具，使之變形）仔細觀察，平行四邊形的什么變了？什么沒變？生：四條邊的長度不變。角度變了，面積變了，大小變了……師：（拉動搭成的三角形教具）三角形呢？生：邊、角度、面積都不變……師：（把圍成的三角形教具去掉一條邊）只有兩條邊的時候，它們可以隨意轉(zhuǎn)動。（再搭上第三條邊）這樣呢？生：第三條邊把前兩條邊都固定住了。生：第三條邊撐住了，轉(zhuǎn)不動了，角度就不變了。師：三條邊長度確定了，三角形的形狀、大小就確定了。師：（引導(dǎo)觀察平行四邊形）怎樣讓它也穩(wěn)定起來呢？生：去掉一條邊。生：加一條小棒，連接對角。

……

以上過程關(guān)注了知識脈絡(luò)與學(xué)生經(jīng)驗的連接，從數(shù)學(xué)的角度解釋了“穩(wěn)固”的原因，再結(jié)合“同樣長度的三根小棒只能圍一個三角形”的經(jīng)驗，學(xué)生對“穩(wěn)定性”的理解就是有形又有質(zhì)，對概念的理解由淺顯步入了深刻，進入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)。

三、 搭建概念的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的引入，一般可以分為兩種情況：一是某一個知識模塊中第一次學(xué)習(xí)的知識，沒有基礎(chǔ);二是有了相應(yīng)的已學(xué)過的知識與新概念關(guān)聯(lián)與類比。由于數(shù)學(xué)學(xué)科特點和小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的邏輯性等原因，決定了大多數(shù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)都屬于第二種類別。因此，我們要理清知識的關(guān)聯(lián)、系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)，將概念融于關(guān)系和學(xué)科知識結(jié)構(gòu)中開展教學(xué)活動，以便學(xué)生順利完成知識的同化和順應(yīng)。

可以首先考慮縱向聯(lián)系。在教學(xué)三角形的高時，直線和線段、點到直線的距離、平行線、平行四邊形都是知識基礎(chǔ)，因此，可以這樣設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)：

師：（出示點A和點B）請過AB點作一條直線。（學(xué)生操作）師：如果有第三個點C，它可能會在哪？生：可能在直線上，也可能在直線外。師：（出示直線外的一點C）C點到直線的距離是多少？你會畫嗎？（學(xué)生操作后，示范畫法）生：過點C往線段AB畫一條垂線，垂線段的長度就是點到直線的距離。師：（課件演示，并把垂足標(biāo)為O，再用線段分別連接AC、BC，圍成三角形）三角形內(nèi)的線段CO有什么特點？生：是一條垂直于AB的線段。生：一端在三角形的頂點上，一端在三角形的邊上?！?/p>

在一步步的動態(tài)引導(dǎo)下，將學(xué)生的思維從點、線的關(guān)系逐步深入到三角形的面中，從而以已有知識基礎(chǔ)為土壤，讓高的概念茁壯生長。溝通知識間的縱向聯(lián)系，就是將學(xué)生在不同時間里學(xué)習(xí)的碎片化分布的知識串聯(lián)起來，構(gòu)建對于概念的整體認(rèn)知。

還要考慮概念間的橫向聯(lián)系。橫向聯(lián)系可以小到不同圖形間的類比，也可以大到數(shù)、形的對照與互釋，一般就是從不同的角度、用不同的方式對概念的外延與內(nèi)涵進行闡釋或深化。下面，是一位老師引入高的概念后安排的教學(xué)環(huán)節(jié)。

師：還有哪些學(xué)過的圖形有高呢？生：平行四邊形、梯形。師：（用完全一樣的三角形與課件中的圖拼成平行四邊形）什么是平行四邊形的高？生：從一條邊上的任意一點向?qū)呉粭l垂線，點和垂足之間的線段就是平行四邊形的高。師：（課件演示復(fù)制一個平行四邊形，然后移動一個頂點位置，變成梯形）什么是梯形的高呢？

……

師：（課件演示將平行四邊形、梯形和三角形并列擺放）這幾種圖形的高有什么相同點和不同點？師：（課件強調(diào)各圖形上引出高的點、垂足、兩點之間的線段以及垂足所在的邊，然后去掉各圖形的其他邊，留下點到線段距離的圖形。）現(xiàn)在呢？你認(rèn)為三種圖形的高和以前學(xué)過的哪些知識有關(guān)聯(lián)？

……

通過不同圖形中高的概念對比，學(xué)生理解了高的本質(zhì)都是“點到線段”間的距離，同時，也為“三角形為什么只有三條高”的說理提供了直觀參照?？梢岳^續(xù)深入。在上述三角形中，出示經(jīng)過C點并與AB邊平行的虛線，然后逐步移動頂點C的位置，引導(dǎo)想象“頂點C位置變化時，高的位置會怎樣變？”在這個過程中，整體把握，理解高的內(nèi)外之分，或者借機觀察角度變化與高的位置變化兩者間的關(guān)系，鍛煉空間想象能力，滲透“等底等高”的意義，在動態(tài)的對比、關(guān)聯(lián)活動中，豐富對三角形知識的認(rèn)識。

加強聯(lián)系和對比，就是將新的知識與學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)縱橫聯(lián)系起來，將它們一起放進了“大數(shù)學(xué)”的背景里，讓知識有條理，有脈絡(luò)，有線的深度，也有面的廣度。讓學(xué)習(xí)緊緊跟著思考，提示生長與拓展空間，既增加知識，也鍛煉思維。

四、 感受概念的實踐價值

實踐與應(yīng)用是架起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界聯(lián)系的橋梁。通過實踐應(yīng)用，學(xué)生才能把概念作為思維工具，建立情境與數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，在運用數(shù)學(xué)知識去發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中，體驗應(yīng)用之理，感受概念的思想價值和應(yīng)用價值。王永春老師在他的論著中，將知識分為五類：“事實性知識、概念性知識、方法性知識、價值性知識、元認(rèn)知知識”，他認(rèn)為，其中方法性知識、價值性知識更能夠體現(xiàn)學(xué)科知識的本質(zhì)。因此，為了促進概念的有效建構(gòu)，我們對課內(nèi)、課外的知識要有較全面的認(rèn)知，精心設(shè)計實踐內(nèi)容，落實“概念價值”的認(rèn)知與體驗要求。

掌握了三角形的概念、性質(zhì)后，可以安排如下實踐活動。

（一）解釋生活現(xiàn)象

分別出示平行四邊形、三角形籬笆，要求說一說哪種圍法更牢固，為什么？出示自行車、籃球架、電線桿等圖形，找一找哪兒有三角形，說一說它們有什么作用。

（二）解決實際問題

畫一畫，添加一條線段讓長方形、正方形、平行四邊形也具有穩(wěn)定性;試一試，釘一根木條讓椅子不再搖晃。

（三）拓展應(yīng)用認(rèn)知

簡要了解三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識，觀看牙簽橋的趣味實驗的微課等等。

課本上的知識是前人經(jīng)過提煉而產(chǎn)生的，屬于間接知識，對學(xué)生而言，就是間接經(jīng)驗。上述活動，在學(xué)生的觀察、思考、操作中溝通了三角形與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，不但有效地促進直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗的有機結(jié)合，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進行思考后的表達、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型進行解決問題的能力，促進數(shù)學(xué)建模。

概念知識是客觀存在的，其本質(zhì)包含了性質(zhì)、思想、方法、作用、能力轉(zhuǎn)化等等多個方面，但是，在教材中許多方面都是隱蔽的。課堂上，教師要挖掘隱性因素，補充學(xué)習(xí)材料，從引導(dǎo)感悟形成之理開始，組織觀察、操作、想象、推理、表達等活動，逐步解決“為什么、是什么、怎么用”的問題，落實“四基”要求，才能真正凸顯概念本質(zhì)，促進有效建構(gòu)。