【摘 要】作為解決實(shí)際問(wèn)題的工具，數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)中有著舉足輕重的作用。本文結(jié)合當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)師生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)知和運(yùn)用情況，提出了在教學(xué)中滲透建模思想的實(shí)施過(guò)程、實(shí)施案例，以期發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;建模思想;數(shù)學(xué)教學(xué);核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2020）34-0110-03

21世紀(jì)以來(lái)，隨著社會(huì)發(fā)展和教育方式的不斷完善，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)這一目標(biāo)在全國(guó)中學(xué)教綱中普遍體現(xiàn)，而數(shù)學(xué)建模教學(xué)正是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要方法，并得到了全國(guó)各院校的重視。筆者通過(guò)深入課堂實(shí)際教學(xué)進(jìn)行研究，針對(duì)教學(xué)中建模思想滲透的現(xiàn)狀，探索出了一些高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)施方法，希望能給一線教師和相關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)工作人員提供一些啟示和參考。

1? ?教學(xué)中建模思想滲透的現(xiàn)狀

史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)模型思想是運(yùn)用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行描述所依賴的一種思想，是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的紐帶[1]。數(shù)學(xué)建模思想，是通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題或情境進(jìn)行抽象建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決類似問(wèn)題的方法策略與意識(shí)觀念，是對(duì)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想源于他們的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，源于活動(dòng)中對(duì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模及其內(nèi)在必然聯(lián)系的理解與思考，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模實(shí)踐是學(xué)生感悟與形成模型思想的最直接的載體和最有效的途徑。

當(dāng)前大部分中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模知識(shí)的應(yīng)用延伸具有較大的興趣，對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用重要性有了一定的了解，樂(lè)意學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)建模方法與理論，將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系，探索數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。但部分學(xué)生在遇到實(shí)際情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往不知如何處理、如何思考，不知運(yùn)用什么數(shù)學(xué)知識(shí)解決，這說(shuō)明學(xué)生還缺乏用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問(wèn)題的理論和實(shí)踐的訓(xùn)練。作為教師，需要進(jìn)一步探討研究如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，并針對(duì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)出合理、可行的數(shù)學(xué)建模實(shí)施方案。

2? ?教學(xué)中建模思想滲透的實(shí)施過(guò)程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過(guò)程[2]，如圖1所示。為了更好地在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，可按照如下六個(gè)環(huán)節(jié)實(shí)施課堂教學(xué)。

2.1? 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引領(lǐng)學(xué)生思考

教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平、課堂教學(xué)內(nèi)容，參考教學(xué)進(jìn)度，結(jié)合社會(huì)熱點(diǎn)、生活實(shí)際，合理設(shè)計(jì)、選取數(shù)學(xué)建模問(wèn)題作為課堂知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中積極主動(dòng)思考。必要時(shí)，可提供相應(yīng)的知識(shí)作為儲(chǔ)備，通過(guò)問(wèn)題的提出，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，加深對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容和目標(biāo)的理解。

2.2? 搭建交流平臺(tái)，達(dá)成合作共識(shí)

基于所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生對(duì)解決新問(wèn)題的興趣，繼而對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，使學(xué)生思維發(fā)生碰撞。可以先鼓勵(lì)小組成員相互討論，充分交流，相互質(zhì)疑，在質(zhì)疑、辯解中歸納、總結(jié)，形成小組內(nèi)部的共同認(rèn)識(shí);然后提倡小組間相互交流、討論，讓學(xué)生借鑒其他小組解決問(wèn)題的思路，進(jìn)一步完善解決問(wèn)題的方案。學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)、合作探究、質(zhì)疑、歸納總結(jié)的過(guò)程中能得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的體驗(yàn)。

2.3? 抽象實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在學(xué)生已有問(wèn)題解決方案的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)各小組學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化、假設(shè)、抽象，利用數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)建立解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)研究的主題內(nèi)容更好地、更系統(tǒng)地對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比、分析、歸納，使之更體系化，這樣學(xué)生理解掌握起來(lái)就能達(dá)到事半功倍的效果。

2.4? 理解數(shù)學(xué)知識(shí)，把握概念本質(zhì)

依托實(shí)際問(wèn)題背景，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，獲得解決問(wèn)題的方法。將對(duì)問(wèn)題的理解反饋到數(shù)學(xué)模型本身，梳理問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，做到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的具體化。由問(wèn)題聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，加深學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、對(duì)概念本質(zhì)的把握。

2.5? 求解數(shù)學(xué)模型，反饋解釋問(wèn)題

對(duì)構(gòu)建的不同數(shù)學(xué)模型，選擇合適的方法進(jìn)行求解分析。對(duì)于不同的假設(shè)模型，可反復(fù)驗(yàn)證分析，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不同的模型對(duì)所分析問(wèn)題出現(xiàn)的情況進(jìn)行歸納，通過(guò)模型求解反饋解釋問(wèn)題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知和差異化理解。

2.6? 拓展延伸訓(xùn)練，提高應(yīng)用能力

以課堂教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，在講解的問(wèn)題情境的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考和推廣、設(shè)計(jì)更多實(shí)際問(wèn)題情境。然后根據(jù)上述過(guò)程，進(jìn)行合作探究、質(zhì)疑歸納、建立模型、求解模型等，以必備知識(shí)為例，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間不是割裂的，而是處于整體知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之中[3]。將數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)以問(wèn)題化、情境化，形成多樣化的問(wèn)題拓展模式。開(kāi)展拓展延伸訓(xùn)練，降低抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知和理解，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

3? ?教學(xué)中建模思想滲透的實(shí)施案例

回歸分析是對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。在教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生利用回歸模型研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測(cè)，參與數(shù)據(jù)分析全過(guò)程，并鼓勵(lì)學(xué)生使用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)軟件。

過(guò)程一：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引領(lǐng)學(xué)生思考。

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，個(gè)人的飲食消費(fèi)水平逐步提高。中學(xué)生每月的消費(fèi)影響著他們的飲食消費(fèi)水平，那么它們之間存在著怎樣的關(guān)系？如何表示這種關(guān)系？

教學(xué)中，通過(guò)提出上述問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生寫出自己每月的消費(fèi)金額和飲食消費(fèi)金額，進(jìn)行數(shù)據(jù)化自主探索，尋求規(guī)律。

過(guò)程二：搭建交流平臺(tái)，達(dá)成合作共識(shí)。

在學(xué)生自主思考、合作探究的基礎(chǔ)上，讓小組成員根據(jù)寫出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、歸納。合作探究提綱如下：

（1）你每月消費(fèi)的總金額是多少;

（2）你每月用于飲食的消費(fèi)金額是多少;

（3）你每月的飲食消費(fèi)金額與消費(fèi)總金額之間具有怎樣的關(guān)系;

（4）如何表示出每月飲食消費(fèi)金額與消費(fèi)總金額之間的關(guān)系;

（5）……

過(guò)程三：抽象實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

讓學(xué)生將本小組成員寫出的每月消費(fèi)金額與飲食消費(fèi)金額列舉出來(lái)，如第五小組10名學(xué)生給出的如表1所示的數(shù)據(jù)。

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生畫出散點(diǎn)圖，如圖2所示。

基于圖2的直觀顯示，引導(dǎo)學(xué)生判斷消費(fèi)金額與飲食消費(fèi)金額的關(guān)系。不難看出，消費(fèi)金額與飲食消費(fèi)金額之間存在線性關(guān)系。

假設(shè)每月學(xué)生的消費(fèi)金額為x，每月的飲食消費(fèi)金額為y，則消費(fèi)金額與飲食消費(fèi)金額之間的關(guān)系為，其中、為回歸系數(shù)，為不可測(cè)量的誤差變量。

下面，針對(duì)如何求解回歸系數(shù)、，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。

過(guò)程四：理解數(shù)學(xué)知識(shí)，把握概念本質(zhì)。

針對(duì)上述問(wèn)題，以第五小組10名學(xué)生給出的數(shù)據(jù)為例，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)數(shù)字特征，如表2所示。

根據(jù)表2的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，從而得到消費(fèi)總金額與飲食消費(fèi)金額的回歸直線方程為

通過(guò)圖象（見(jiàn)圖3）可以得出樣本點(diǎn)分布在回歸直線附近。

過(guò)程五：求解數(shù)學(xué)模型，反饋解釋問(wèn)題。

為求解模型，反饋解釋原問(wèn)題，引入MatLab統(tǒng)計(jì)工具箱中的回歸分析命令。

[b，bint，r，rint，stats]=regress（Y，X，alpha）

帶入數(shù)據(jù)，輸入MatLab代碼得，且的置信區(qū)間為[0.5084695，0.6337877]，的的置信區(qū)間為[10.19148，124.75445]，。

由可知，回歸模型=67.47297+0.5711286x成立。作殘差圖，如圖4

所示。

從圖4可知，除第六個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均接近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說(shuō)明回歸模型=67.47297+0.5711286x擬合的效果比較好。

過(guò)程六：拓展延伸訓(xùn)練，提高應(yīng)用能力。

根據(jù)第五小組10名學(xué)生給出的數(shù)據(jù)，對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用Matlab程序?qū)ι鲜鰡?wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)。教師可引導(dǎo)其他小組利用同樣的思路，確定消費(fèi)金額與飲食消費(fèi)金額的關(guān)系，加深對(duì)回歸分析方法的理解。類似地，可給出相似問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，如身高與腿長(zhǎng)之間的關(guān)系等。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，建模思想的滲透對(duì)學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)十分重要。因此，在課堂教學(xué)中，應(yīng)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思維，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究，這對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)非常重要。通過(guò)數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，覺(jué)察到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián);學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解;認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升解決問(wèn)題的實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神，發(fā)展和提升數(shù)學(xué)建模

素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].課程·教材·教法，2017（4）.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3]教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明[S].北京：人民教育出版社.2019.

【作者簡(jiǎn)介】

宋靜（1982～），女，漢族，山東泰安人，本科，中教一級(jí)，教育碩士。研究方向：教育教學(xué)。

The Model Idea for Core Literacy： The Enlightenment of Model Teaching in High School Mathematics Classroom

Jing Song

（Taian No.1 Senior High School， Taian， Shandong， 271000）

Abstract： As a tool to solve the problems in reality， mathematical modeling and the model idea play significant roles in the cultivation of mathematics core literacy. According to the understanding of current middle school teachers and students about the mathematical model idea and its application situation， this paper puts forward that the implement process and the cases of model idea are infiltrated into teaching， in the hope of developing and promoting students mathematics core literacy.

Key words： mathematical modeling; model idea; mathematics teaching; core literacy