邵虹

【摘 ? 要】幾何概念是數學教學的重要內容。采用SOLO分類理論對四年級學生的幾何思維水平層次進行測評，學生幾何思維總體表現不佳，多數學生處于多點結構水平，對尋找量與量之間的關系、理解知識內在結構存在缺失，推理能力、關聯思維需要鍛煉。教師應重視幾何概念的定義過程，提高學生概念同化的能力;重視幾何概念變式教學，突出概念的本質屬性;重視幾何概念體系構建，促進概念的深度理解;重視非常規(guī)問題的解決，提升學生的高階思維。

【關鍵詞】梯形概念;思維層次;SOLO分類理論;實證研究;高階思維培養(yǎng)

一、問題的提出

“圖形與幾何”是小學階段數學課程的重要內容，幾何知識的學習不僅對學生數學思維的開發(fā)起到積極作用，而且對學生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展有直接的影響。然而，“圖形與幾何”領域一貫以來又都是學生學習的難點，影響學生學業(yè)成就的主要因素與幾何概念理解模糊、幾何思維水平發(fā)展不足息息相關。

2018年10月，浙江省中小學教育質量監(jiān)測中心對全省各縣（市、區(qū)）的小學實施了大規(guī)模的監(jiān)測;2019年6月公布了小學數學四年級監(jiān)測的分析報告。其中，“圖形與幾何”領域測試得分率最低的是選擇題第5題——“找出較復雜圖形中的梯形”。這是一道情境變式題，需要學生在對梯形概念有深度理解的基礎上，進行應用判斷，有較高空間觀念和空間推理能力的要求。

測試數據顯示，在36009人的抽測樣本數中，正確答案（C選項）的選中率只有17.4%，而其他三個錯誤選項卻高達25.3%、53.2%和3.9%。面對這樣的結果，我們不得不反思幾何概念教學中的缺失，但同時我們也存在一些疑惑：①學生解決問題時，對哪一種梯形的識別率比較高？②學生識別與判斷梯形的依據是什么？③影響學生正確判斷的因素有哪些？④學生解題時表現出來的幾何思維層次是怎樣的……由于此題是選擇題，我們只能得到學生做出選擇的結果，而對于學生解題時所表現出來的策略和思維過程卻不得而知。為了更好地顯現學生的解題過程、了解幾何概念教學質量、分析幾何思維水平的基本情況和存在問題，筆者決定改變此題的呈現方式，對學生進行測試和分析，以期為改進幾何概念教學提供一些參考。

二、研究的設計

（一）研究對象

根據現行小學數學教材，四年級及以上年級的學生已經學過梯形的概念，能對一般四邊形和特殊四邊形進行整理和分類。因此，筆者選擇了本區(qū)域（使用同一版本的小學數學教材）四年級學生96人作為研究對象。

（二）測試內容

為充分展示解題過程，分析學生的思維層次，本次測試改變了原題的問答方式，通過開放性的問題解答題展開實證研究。

下面是一個平面圖形，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形。那么圖中共有多少個梯形？（請盡可能詳細地寫出思考過程）

如果你認為解題已經完成，請選擇：

（1）你認為這個題目：很有趣;比較有趣;沒有興趣。

原因：

（2）你認為這個題目：很難;比較難;不難。

原因：

（3）你見過類似的題目嗎？

（三）評價工具

本研究主要參考SOLO分類理論五種水平層次的劃分確定能力框架。SOLO是“觀察到的學習結果的結構”（Structure of the Observed Learning Outcome）的縮寫，由澳大利亞學者Biggs和Collis（1992）所創(chuàng)。SOLO分類理論是在皮亞杰認知發(fā)展階段論的基礎上建立起來的。為確定復雜的學習過程層次提供了一個通用的框架，是一種以等級描述為特征的質性評價方法。[2]SOLO把題目的抽象程度和解決問題的復雜程度分為五種水平（或結構），分別是前結構水平、單點結構水平、多點結構水平、關聯結構水平和抽象擴展結構水平。SOLO分類理論五種思維水平反映了學生的學習從量變到質變的過程，清晰、合理地解釋了層次之間的遞進！[3]從前結構水平到多點結構水平主要反映學習水平的量變，從多點結構水平到關聯結構水平主要反映學生水平質的飛躍，從關聯結構水平到抽象擴展水平預示著學習水平已經進入一個更高層次的思維水平。[4]

三、研究的結果

本研究對來自不同學校的四年級學生作答表現進行統(tǒng)計，其中S小學32人、F小學31人、M小學33人，合計96人。后繼將分析同一學校不同年級學生的作答表現，分別是S小學五年級39人和六年級40人。根據SOLO分類理論，筆者針對學生的思維水平層次性和差異性進行分析。

（一）四年級學生的總體表現

四年級測試的樣本數為96人，能正確找到三個梯形的有26人，約占總人數的27.1%，不能完整解答或解答錯誤的有70人，約占總人數的72.9%。由于本次測試要求學生寫出解題過程，因此學生對“哪種梯形的識別率高？哪種梯形的識別率低？”就顯而易見了。

從表1可知，學生從復雜情境中識別梯形的能力較弱。此外，題目隱藏的三個梯形中，梯形ABED的識別率最高，共86人，約占四年級測試總人數的89.6%;梯形DEFC的識別率最低，只有33人，約占總人數的34.4%。找到兩個梯形的48名學生中，正確識別梯形ABED的達到100%;而剩余的圖形以梯形DEFG居多，找到的學生有41人;找到梯形DEFC的只有7人。

（二）SOLO分類評價的層次劃分

基于以上數據，我們對學生“找出較復雜圖形中的梯形”的結果有了進一步了解。但是，對學生數學學習的質性評價不僅僅要關注結果，還需要關注認知過程，需要建立思維能力培養(yǎng)的層次。而SOLO分類理論，就是針對學生解決某一個具體問題時的表現，通過描述分析學習結果在思維結構上的復雜程度，反映學生從“量變”到“質變”的過程。因此，SOLO分類為學習質量評價提供了重要的理論依據。

研究發(fā)現，學生找出梯形的個數不能簡單地等同于思維層次的劃分，注意點應放在學生對問題的解決過程和思維結構上。經過反復實踐調整，筆者對SOLO分類的五種思維水平進行了次層次的分類，并從能力、思維操作、一致性與收斂、應答結構四個方面制定了評價框架。[5]層次劃分與描述如表2所示。

表2描述了SOLO五種水平層次的重要特征。其中，能力是指不同水平所需要的工作記憶量或注意的廣度。思維操作，是指把數學信息、線索與結果聯系起來的一種方式。一致性與收斂，分別是指數學信息與得到結果之間是否存在矛盾以及獲得答案的數量。應答結構，以圖示的形式表示上述的特點，其中×表示不相關的信息和素材，●表示已經向學生展示過的相關素材，○表示沒有向學生提供過的素材或者原理。[6]

（三）四年級學生思維層次分析

依據SOLO分類五種思維水平的次層次水平劃分和描述，筆者對四年級學生解決此題的思維層次做了進一步的統(tǒng)計，如表3所示。

從圖3的折線統(tǒng)計圖可見，多點結構水平人數最多，約占四年級測試總人數的54.2%，其余水平以多點結構為中軸，向兩側逐漸降低，呈正態(tài)分布。大部分學生處于水平2向水平3過渡的階段，即從單一信息的獲取向多個信息過渡。學生在水平4和水平5表現不佳，主要原因是：①學生對梯形特征的本質理解和掌握水平較低，多數學生只能注意到零散線索，以直觀判斷為主。②學生對梯形的整體感知能力薄弱，缺乏從較復雜的圖形中分解出基本圖形的能力和相應的經驗。③無法有效地將圖中梯形按結構分類，對共同特征進行歸納，并一類一類地進行有序表達。其次，面對思維水平稍高的情境題，部分學生不理解題意，不能迅速聯想到解決問題所需的幾何概念和性質，缺乏解題策略。

（四）學生典型作答的分析

在對學生的測試卷進行批改和統(tǒng)計后，筆者選取了不同水平的典型作答情況，分析學生的思維水平層次。

1.前結構水平：這部分學生主要表現為不理解題意和要點，拒絕作答或給出錯誤答案。四年級被測試學生中，有3人卷面上直接寫著“不知道”，拒絕回答是不想動腦的表現，從一個側面說明他們沒有積極地投入到學習和解題中。其余學生試圖得出一個結果，但因未能找到相關聯的知識邏輯，只能胡亂作答。

2.單點結構水平：這部分學生只能通過單一的信息，找出一個梯形。如圖4所示，根據梯形的外形特征，四個角和四條邊直觀判斷。而四個角和四條邊是所有四邊形的基本要素而非梯形的獨有特征;或通過“正方形—三角形”的剩余部分，從形的直觀判斷梯形。

3.多點結構水平：處于這一水平層次的學生人數最多，約占四年級測試總人數的54.2%。主要有三種表現：①沒有分析過程，直接得出兩個梯形的結果;②沒有文字分析，用圖像表征出兩個梯形;③有一些零散、獨立的文字分析，得出兩個梯形的結果。這類回答中包含兩個或多個與梯形有關的信息和線索，用到一定的記憶容量和注意廣度，屬于中等能力。但遺憾的是，這一水平層次的學生并沒能將各相關信息聯系起來，作為判斷梯形的有力依據。如圖5所示，從多點結構水平典例一（1）右側的草圖可知，學生已經在頭腦中建立了梯形的空間表象，知道梯形有且只有一組對邊平行的屬性，但是不能用數學語言進行描述。同時，從單個基本圖形到多個組合圖形的尋找過程，反映出學生嘗試使用圖形計數策略的痕跡。在多點結構水平典例一（2）中，學生同樣羅列了一些信息和線索。與單點結構不同的是，該學生注意到了梯形的多個相關線索——上底、下底、兩條斜線，但是沒有聯結這些信息，將上底和下底轉化為“一組對邊平行”的本質屬性。

此外，根據表1統(tǒng)計發(fā)現，找到兩個梯形的48名學生中，正確識別梯形ABED的達到100%;而剩余的圖形以梯形DEFG居多，找到的學生有41人;找到梯形DEFC的只有7人。從另一側面反映，學生對直角梯形辨識度高，他們頭腦中的一般梯形大都是“一組對邊平行，另一組對邊是方向相反的兩條斜邊”，而梯形DEFC更像是平行四邊形，如圖6所示。

4.關聯結構水平：處于這一水平層次的學生有15人，僅占四年級測試總人數的15.6%。主要表現為：①利用圖形計數策略解題，沒有文字分析，用圖像表示;②利用圖形計數策略進行概括，有具體的分析過程;③利用梯形的特征進行概括，有具體的分析過程。這類關聯結構的回答進一步將多個線索聯系起來，能用歸納的方式解釋多點結構中零散、獨立的信息，利用已有的知識、具體的經驗，將相關知識聯結成一個結構，用以解決問題。關聯結構水平的學生中，有8人采用了圖形計數的策略解決問題。如圖7所示，學生按照“基本梯形、二合一梯形、三合一梯形”有序地尋找和判斷。同時，還指出四邊形ABED和DEFG是兩個直角梯形，進一步說明學生對梯形中直角的強刺激和高辨識度。從對梯形DEFC的判斷依據看，學生直觀感知到其與平行四邊形的差異，用另一組對邊不相等的條件來進行證明，但未能觸及最本質的區(qū)別。

處于關聯結構水平的學生中，另有7人根據梯形的概念進行判斷和證明。如圖8所示，學生首先回顧了梯形的概念，而后根據題目給出的“四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形”的線索，分析找出幾組相互平行的線段——AD[?]BC，BE[?]AD，EF[?]DG，AD[?]FG。最后得出，平行線為橫向的有梯形EFCD和梯形EFGD，平行線為縱向的有梯形ABED。同理，另一位學生也是通過“有且只有一組對邊平行”的屬性進行概括與判斷。以上幾種表現，能將知識聯結成一個體系，屬于高認知思維水平，但還是只局限于已經教過的知識。

5.抽象擴展結構水平：達到這一思維水平的學生，不僅能正確找到三個梯形，還能利用平行線之間的關系和圖形特征進行推斷，超越了現有的素材進行歸納，并能類比到平行四邊形特征的判斷，理由充分正確。顯然，抽象擴展結構所需的工作記憶量或注意的廣度比其他SOLO分類層次的都要大。如圖9所示，學生從邊與邊的位置關系抽象出概念、原理，并對素材進行一一檢驗，從而得出結論。“因為BE[?]AD，AB不平行ED，為四邊形，故四邊形ABDE為梯形”，推理過程已經拓展到了梯形的判定定理：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形。這類學生的思維過程完整、清晰、簡捷、合乎邏輯，將所有相關線索和它們之間的關系建立起一個抽象的普遍存在的原理，并能逐一證實這種假設的正確性和適用性。這樣的表現，屬于最高層次的認知思維水平。

研究發(fā)現，有個別學生已經能超越現有的線索和素材，將關聯的知識結構概括到一個更高的抽象水平。如圖10所示，學生不僅能識別梯形，還能與鄰近幾何概念進行比較，從而得出正確的結果。學生通過證明AD[?]BE，而AD≠BE，判定四邊形ABDE是梯形，也就是同一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。這類學生不僅深度理解了梯形的概念，還將概念拓展到梯形與平行四邊形的判定定理上。筆者對這類學生進行了訪談，他們認為“這道題既考查觀察能力，又把梯形的概念設計進去”“這道題考查了梯形和平行四邊形的概念和區(qū)別”。由此可見，這類學生的思維反應呈現一致性、整體性和抽象性，屬于最高層次的認知思維水平。

很顯然，抽象擴展結構水平的回答，不是多點結構水平的死記硬背概念和細節(jié)，也不是關聯結構水平的簡單重復，而是學生在對知識深度理解的基礎上，自我建構邏輯體系，是量變到質變的飛躍。

此外，研究還發(fā)現，測試題目的趣味性、難易度和答題的正確率之間有著密切的關系。

從表4可知，約84.4%的四年級學生認為此題有趣或比較有趣。訪談時有的學生說第一次碰到這樣的題目，有挑戰(zhàn)性;有的學生認為這樣的題目可以考考眼力和智商;還有的學生說“它用很巧妙的方法畫出了幾個梯形，找起來很有趣”。

另一方面，從表4可知M小學有54.6%的學生認為此題不難，但實際答題正確率只有24.2%。說明學生在解決開放性問題時容易入手，容易得到部分結果，但是忽略了題目要求是找到所有的梯形。F小學有19.4%的學生認為很難，22.5%的學生認為比較難，這與他們答題正確率低有很大的相關性。S小學有68.8%的學生認為很難或比較難，訪談時他們認為“這種復雜的圖形，讓我找出全部很難”“很容易看錯、多找或少找了圖形”“有部分線條比較亂，很難讓眼睛無視無用的線條”……事實上，如果沒有深刻理解梯形的概念，不能有序地思考問題，要找出所有梯形并詳細寫出思考過程是有一定難度的。

（未完，待續(xù)）

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學院 ? 310002）