章勤瓊 郭盼

【摘 ? 要】用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算10%+10%，可以得到不同的計(jì)算結(jié)果，這是因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)有不同的意義。百分?jǐn)?shù)在理論上具有與分?jǐn)?shù)相同的各種意義，但考慮實(shí)際應(yīng)用應(yīng)該突出其表示兩個(gè)量的比率關(guān)系的意義，這是百分?jǐn)?shù)之所以產(chǎn)生的最大價(jià)值。在教學(xué)中，首先要加強(qiáng)對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解，特別是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的異同。其次，將百分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容作為拓展資源，發(fā)展學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】百分?jǐn)?shù);百分率;意義;計(jì)算器

百分?jǐn)?shù)的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，百分?jǐn)?shù)在生活中的應(yīng)用十分廣泛。理解百分?jǐn)?shù)的意義是學(xué)生學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)以及運(yùn)用百分?jǐn)?shù)解決有關(guān)實(shí)際問題的必備前提條件。[1]對(duì)于百分?jǐn)?shù)參與運(yùn)算的結(jié)果，存在不同意見。如10%+10%，大多數(shù)人認(rèn)為可以轉(zhuǎn)化成小數(shù)0.1+0.1，結(jié)果為0.2;也有人認(rèn)為，百分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，不可以將其放在算式中進(jìn)行運(yùn)算，所以10%+10%沒法計(jì)算。除這兩種觀點(diǎn)之外，利用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算“10%+10%”，會(huì)出現(xiàn)不同的計(jì)算結(jié)果0.11。那么，10%+10%不同的計(jì)算結(jié)果指向小學(xué)階段百分?jǐn)?shù)的哪些意義？在教學(xué)中需要注意什么？我們應(yīng)該對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對(duì)教學(xué)有進(jìn)一步的思考。

一、10%+10%為什么等于0.11

一般情況下，在進(jìn)行有關(guān)百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的計(jì)算時(shí)，需要先將百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)或小數(shù)，再按照分?jǐn)?shù)與小數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算結(jié)果。如10%+10%=0.1+0.1=0.2，這樣的計(jì)算并不存在什么難度，似乎也不應(yīng)該有爭(zhēng)議。然而，在用手機(jī)上的計(jì)算器對(duì)10%+10%進(jìn)行計(jì)算時(shí)，卻顯示10%+10%=0.11。這樣的結(jié)果顯然是令人驚訝的。對(duì)于這個(gè)結(jié)果，該如何解釋？

我們?cè)谟?jì)算時(shí)，按照小學(xué)數(shù)學(xué)四則運(yùn)算的邏輯順序，將10%看成[10100]，也就是0.1，再做加減，結(jié)果為0.2。用計(jì)算器計(jì)算百分?jǐn)?shù)的加法，之所以出現(xiàn)不同的結(jié)果，是因?yàn)榘俜痔?hào)是個(gè)特殊的符號(hào)。百分?jǐn)?shù)也叫百分率，這里的百分率是以哪個(gè)數(shù)為基數(shù)，也就是我們通常所說的單位“1”，即加上10%需要考慮的是加上哪個(gè)量的10%。計(jì)算出0.2的結(jié)果時(shí)，我們是將10%的單位“1”就當(dāng)作數(shù)字1。然而，如果這里對(duì)10%的基數(shù)作不同的思考，就能得到10%+10%=0.11。如果繼續(xù)加上10%，可以得到這樣的結(jié)果：10%+10%+10%=0.121，10%+10%+10%+10%=0.1331;10%+10%+10%+10%+10%=0.14641……我們可以看出，后面所加的10%，都不是按照0.1的值來(lái)計(jì)算，每次加的10%的值分別是0.01，0.011，0.0121，0.01331，如果將增加的值與前面的和進(jìn)行比較，可以得到如表1所示的結(jié)果。

通過對(duì)表1的觀察，容易發(fā)現(xiàn)，每個(gè)算式與上一算式結(jié)果的差正好等于上一算式和的10%，即所加上的10%是以原來(lái)的加數(shù)作為基準(zhǔn)量，即將原來(lái)的加數(shù)看作單位“1”，再加上這個(gè)數(shù)的10%。如10%+10%=10% ×（1+10%）=0.11，10%+10%+10%=（10%+10%）×（1+10%）=0.11×1.1=0.121……如果計(jì)算減法，也會(huì)得到類似的結(jié)果，如10%-10%=0.09，這是10%×（1-10%）的結(jié)果。而10%-10%-10%=（10%-10%）×（1-10%）=0.081。事實(shí)上，加上或減去一個(gè)百分?jǐn)?shù)，可以這樣計(jì)算：[a±b=a?（1±b%）]，這里的[a]是指[±b%]之前所有的數(shù)的和。事實(shí)上，想利用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算兩個(gè)10%的數(shù)值的和，也是可以實(shí)現(xiàn)的。只需在10%外面分別加上括號(hào)就行，用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算（10%）+（10%）的結(jié)果即為0.2，括號(hào)里面作為整體，自然不會(huì)以括號(hào)外面的結(jié)果作為基準(zhǔn)進(jìn)行百分率的計(jì)算。

因此，手機(jī)計(jì)算器的這種行為是對(duì)算法邏輯的不同選擇，而不是計(jì)算錯(cuò)誤。那為什么在手機(jī)計(jì)算器中一般要采用10%+10%=0.11這樣的算法呢？最早的電子計(jì)算器并沒有百分號(hào)“%”，后來(lái)加入之后，在一定程度上解決了計(jì)算場(chǎng)景中常有的難點(diǎn)。人們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常遇到計(jì)算小費(fèi)、利息、折扣等場(chǎng)景，這樣的計(jì)算邏輯會(huì)變得非常實(shí)用，而且更貼近人們的日常語(yǔ)言。例如，早餐8元，需要額外支付小費(fèi)10%，利用計(jì)算器只需要輸入“8+10%”，即可得到8.8元，而不需要輸入“8+8×10%”或者“8×（1+10%）”，后面這兩種輸入，顯然要煩瑣得多，而且解釋起來(lái)也更加復(fù)雜。這樣的例子在生活中還有很多，如存入5000元，利息5%，到期所得只需輸入“5000+5%”，就可算出5250元。減法也是如此，如某件商品500元，打八折銷售，只需輸入“500-20%”，就能得到400元。而讓計(jì)算器計(jì)算500-20%=499.8這樣的算式，反倒沒有什么實(shí)際意義。

如果用計(jì)算器來(lái)計(jì)算乘法和除法，跟我們習(xí)慣的運(yùn)算結(jié)果沒有差別，如10%×10%=0.01，10%÷10%=1。這是因?yàn)樵诔顺?jì)算中，不需要涉及加上或減去哪個(gè)量的10%的問題，在生活中也不需要處理這樣的場(chǎng)景。因此，如果了解百分?jǐn)?shù)作為“百分率”的意義，并聯(lián)系在生活中實(shí)際場(chǎng)景的實(shí)用價(jià)值，就能理解用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算10%+10%為什么等于0.11。

二、小學(xué)階段百分?jǐn)?shù)的意義

百分?jǐn)?shù)的英語(yǔ)為percentage，詞根為“cent”，來(lái)自拉丁語(yǔ)centum（一百），percentage的意思為“每一百中的部分”。西方在15世紀(jì)就已經(jīng)開始使用百分?jǐn)?shù)的形式“per[co]”，在17世紀(jì)中葉的一本著作中，已經(jīng)出現(xiàn)了用“per[oo]”的符號(hào)表示百分號(hào)，后來(lái)把前面的“per”也去掉了，而“%”這個(gè)符號(hào)的使用，則是現(xiàn)代的事了。[2]在數(shù)學(xué)辭海中，將“百分?jǐn)?shù)”定義為一種特殊的分?jǐn)?shù)，指分母是100的分?jǐn)?shù)，或表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。[3]之所以說百分?jǐn)?shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，是因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)是分母為100的繁分?jǐn)?shù)。當(dāng)N是一個(gè)數(shù)時(shí)，繁分?jǐn)?shù)[N100]通常讀作百分之N，也寫作N%。[4]這里的N可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)和分?jǐn)?shù)。跟平常一般需要將分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)為分子分母為互質(zhì)整數(shù)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)不同，在百分?jǐn)?shù)中，需要保證分母為100，至于分子是什么形式，并不重要。