許頤

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要注意對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)誘導(dǎo)，要通過巧設(shè)數(shù)學(xué)問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)展。文章以八年級數(shù)學(xué)拓展課“中點(diǎn)四邊形”教學(xué)為例，探討如何通過設(shè)計(jì)開放性問題、支架性問題、啟發(fā)性問題、拓展性問題，來激發(fā)學(xué)生思維的活力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題;數(shù)學(xué)思維;開放性問題;支架性問題;啟發(fā)性問題;拓展性問題

中圖分類號：G421;G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2020）11-0056-02

課堂不是同質(zhì)性的空間，而是交織著多種思維表象的異質(zhì)空間，教師在教學(xué)過程中要注意啟發(fā)誘導(dǎo)。當(dāng)學(xué)生同客體、同他人、同自己進(jìn)行思維對話時，就構(gòu)成了三位一體的推理思維過程。數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使自己的思維和能力得到全面發(fā)展。教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)制定適切的目標(biāo)，提出有效的問題，激活學(xué)生的思維，而目標(biāo)的適切性決定著問題的有效性。如果將八年級數(shù)學(xué)拓展課“中點(diǎn)四邊形”的教學(xué)目標(biāo)定位于簡單的知識傳授，那么對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升將毫無意義。教學(xué)這節(jié)課時，教師可以借助研究“中點(diǎn)四邊形”（見圖1）的過程，讓學(xué)生體會如何研究新圖形，如何發(fā)現(xiàn)新性質(zhì)，如何研究和驗(yàn)證新規(guī)律。當(dāng)教學(xué)目標(biāo)指向?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力時，問題的設(shè)計(jì)角度也會隨之發(fā)生變化。教師應(yīng)巧妙設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，以激發(fā)學(xué)生的求知欲和思維的積極性。同時，教師需通過適當(dāng)?shù)氖侄?，讓學(xué)生的這種心理傾向指向明確并維持在一定的強(qiáng)度，這樣才能激發(fā)學(xué)生的思維活力。

一、設(shè)計(jì)開放性問題

研究中點(diǎn)四邊形的難點(diǎn)是如何發(fā)現(xiàn)其形狀與原四邊形的對角線有關(guān)系。傳統(tǒng)的設(shè)問是：求證任意四邊形的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形。這個提問直接把結(jié)論告訴了學(xué)生，限制了學(xué)生的想象，失去了激發(fā)學(xué)生探究的魅力。為此，教師設(shè)計(jì)了一個開放性的問題：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形一定是什么四邊形？把發(fā)現(xiàn)的“權(quán)利”交給學(xué)生。但對這個設(shè)計(jì)出現(xiàn)了爭論，有的教師提出可以更開放一些，考慮到學(xué)生已經(jīng)學(xué)過四邊形的分類，所以可直接問“中點(diǎn)四邊形可以是什么形狀？”然而實(shí)踐證明，這樣的設(shè)計(jì)效果并不好。學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了四邊形分類的知識，但是缺少分類的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。可見，知識和經(jīng)驗(yàn)都是探究新問題的基礎(chǔ)，離開一定的知識和經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)發(fā)展能力，構(gòu)建過分簡約的結(jié)構(gòu)，必然會使學(xué)生一頭霧水。適當(dāng)?shù)拈_放性問題能夠激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生們迫切想知道結(jié)論，于是嘗試用幾何畫板、直觀觀察等方式進(jìn)行研究和討論，得出了“是平行四邊形”的猜想。

二、設(shè)計(jì)支架性問題

數(shù)學(xué)是一個理性的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。得出猜想，并不是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，而是學(xué)習(xí)的又一個起點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生得出猜想后，應(yīng)進(jìn)行論證，要么給出證明，要么給出反證。因此，教師應(yīng)適時追問：“為什么一定是平行四邊形？”這個問題能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理和驗(yàn)證。在此問題的探究中，關(guān)鍵一步是將“四邊的中點(diǎn)”與“三角形的中位線”結(jié)合起來，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題，這是最精彩的地方（見圖2）。如果學(xué)生無法完成這個轉(zhuǎn)換，教師就要給出思維的臺階。但是，不能直接給出“利用三角形中位線性質(zhì)”“畫出對角線”等提示，而要站在研究的層面給予鋪墊。因此，教師可以嘗試這樣提問：“我們學(xué)習(xí)過與中點(diǎn)相關(guān)的線段的性質(zhì)，是不是可以從這里尋找思路呢？”在教師的提示下，學(xué)生會自覺回憶三角形、梯形等圖形的中位線的性質(zhì)，從已有認(rèn)知中聯(lián)想到三角形中位線的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)建四邊形與三角形之間的橋梁。在利用三角形中位線進(jìn)行論證的過程中，學(xué)生自然能夠發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的對角線可能有一定的關(guān)系。

三、設(shè)計(jì)啟發(fā)性問題

有了前面的鋪墊，各學(xué)習(xí)小組順利給出了一個論證思路，得出“任意四邊形的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形”的結(jié)論，只是這個結(jié)論的妙處還沒有完全被揭示出來，需要在應(yīng)用過程中讓學(xué)生體會。這時，教師可以提出本節(jié)課第二個關(guān)鍵性問題：“中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的對角線有怎樣的關(guān)系？”這便形成了一個探究中點(diǎn)四邊形形狀的問題串。這時，教學(xué)設(shè)計(jì)又出現(xiàn)分歧。有的老師認(rèn)為給出對角線相等、互相垂直、對角線相等且互相垂直的四邊形，讓學(xué)生自主探究并進(jìn)行說理;有的老師認(rèn)為可以直接探究中點(diǎn)四邊形的形狀與對角線的關(guān)系，無須進(jìn)行鋪墊。其實(shí)，這兩種設(shè)計(jì)各有特點(diǎn)。前者問域較窄，便于學(xué)生探究得出結(jié)論，但學(xué)生無法理解中點(diǎn)四邊形的本質(zhì)，若換一個圖形或換一種問法就會出現(xiàn)問題。后者問域較寬，學(xué)生無從下手。最后的教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)預(yù)備兩套方案：一種是啟發(fā)學(xué)生對中點(diǎn)四邊形的特殊性進(jìn)行研究，提出問題：“如果中點(diǎn)四邊形是矩形、菱形，原四邊形的對角線有什么特殊關(guān)系？”此設(shè)計(jì)屬于逆向思維，有一定難度;另一種是啟發(fā)學(xué)生從對角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系入手，研究對角線相等、互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形。從實(shí)際效果來看，第二種更符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并在說理過程中總結(jié)出中點(diǎn)四邊形與原四邊形對角線的關(guān)系。這時，教師可以提出一個逆向問題：“如果中點(diǎn)四邊形是正方形，那么原四邊形有什么特點(diǎn)？”這些問題能夠讓學(xué)生體會到：研究中點(diǎn)四邊形的本質(zhì)其實(shí)是研究三角形中位線定理，研究策略是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，最后類比四邊形的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，小結(jié)出中點(diǎn)四邊形的結(jié)構(gòu)圖。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠始終保持學(xué)生的高認(rèn)知水平，促使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維方法。

四、設(shè)計(jì)拓展性問題

創(chuàng)新精神就是要從已有信息中得到啟發(fā)，生發(fā)新的想象，構(gòu)想出新的事物。而數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)習(xí)一個結(jié)論后又主動構(gòu)想新的結(jié)論”的創(chuàng)新精神。在數(shù)學(xué)知識的花園中，一個好的結(jié)論猶如一朵美麗的蘑菇，若發(fā)現(xiàn)一朵，在附近往往還有很多。為此，教師可以設(shè)計(jì)拓展性問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展性探究。問題1：如果把任意四邊形四邊中點(diǎn)改成三等分點(diǎn)，是否存在一個由三等分點(diǎn)構(gòu)成的四邊形？它有什么性質(zhì)？問題2：研究任意五邊形五邊中點(diǎn)構(gòu)成的圖形（見圖3），看看它有什么性質(zhì)？甚至可以拓展到研究六邊形、七邊形的中點(diǎn)構(gòu)成的圖形問題。

數(shù)學(xué)的中心任務(wù)是塑造學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生具有不斷吸收新數(shù)學(xué)知識的能力和知識的自我生成能力。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是師生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行思維對話，共同建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。教師應(yīng)放棄一講到底的做法，設(shè)置梯度合適的問題，引導(dǎo)學(xué)生邊聽邊想邊嘗試，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題;用“引而不發(fā)”“開而弗達(dá)”的方法誘導(dǎo)學(xué)生自己探索結(jié)論;不斷增加創(chuàng)造性因素，達(dá)到“聞一知十”“舉一反三”的目的，從而提高數(shù)學(xué)課堂的有效性。

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Abstract： In the process of mathematics teaching， teachers should pay attention to the inspiration and guidance of students， and gradually guide the development of students' thinking by skillfully setting mathematical problems. Taking the teaching of "midpoint quadrilateral" as an example， this paper discusses how to stimulate the vitality of students' thinking and promote the development of students' mathematical thinking by designing open questions， scaffolding questions， inspiring questions and expanding questions.

Key words： mathematical problem; mathematical thinking; open problem; scaffolding problem; heuristic problem; expansion problem