蘇海洋 樊曉明
【摘要】向量是高中數(shù)學(xué)中非常重要的概念,它既是代數(shù)研究的對(duì)象,有豐富的運(yùn)算,又是幾何研究的對(duì)象,有形的特性.因此,向量是溝通幾何與代數(shù)的天然橋梁,在高考中向量是一種解題方法,更是一種重要的工具,常與其他知識(shí)交匯起來考查,本文主要探討向量在不等式、解析幾何以及立體幾何中的應(yīng)用.
【關(guān)鍵詞】向量;解析幾何;立體幾何
一、向量在不等式中的應(yīng)用
不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,在高考中占有一定的比重,不等式的求解與證明問題需要學(xué)生有很強(qiáng)的推理能力以及運(yùn)算能力,是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的良好載體.在解決不等式問題的過程中,根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可構(gòu)造向量,利用向量的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解[1].
例1 已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1,證明:ax+by+cz≤1.
分析 本題如果采用常規(guī)的方法求證是很困難的,運(yùn)算量過大.而通過分析條件中兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可以聯(lián)想到構(gòu)造向量來解決.設(shè)m=(a,b,c),n=(x,y,z),則|m|=1,|n|=1,ax+by+cz=m·n,再利用數(shù)量積的性質(zhì):m·n≤|m||n|,即可得證.
二、向量在解析幾何中的應(yīng)用
解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn),而圓錐曲線作為解析幾何的一部分,往往占有較大的比重.在解決圓錐曲線相關(guān)問題時(shí),利用常規(guī)方法有時(shí)會(huì)無形中增加運(yùn)算量,而巧妙地構(gòu)造向量,運(yùn)用向量豐富的運(yùn)算解題,不僅能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,又能提高解題的效率.
例2 設(shè)A,B分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)P為直線x=4上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的點(diǎn)M,N,證明:點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
分析 在第(2)問中,根據(jù)題意,可將證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明∠MBN為鈍角.如果使用常規(guī)方法會(huì)造成運(yùn)算量過大,學(xué)生容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.但如果引入向量BM,BN,則問題就轉(zhuǎn)化為BM·BN<0,降低了運(yùn)算的難度,下面給出此題的解法以供參考.
解 (1)(過程略).
(2)由(1)可得A(-2,0),B(2,0),設(shè)直線AM的斜率為k,M(x1,y1),則AM:y=k(x+2),聯(lián)立AM與橢圓方程可得y=k(x+2),x2a2+y2b2=1, 消去y可得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,∴xAx1=16k2-124k2+3x1=6-8k24k2+3,∴y1=kx1+2k=12k4k2+3,即M6-8k24k2+3,12k4k2+3.設(shè)點(diǎn)P(4,t),由于P在直線AM上,所以t=(4+2)k=6k,即P(4,6k),∴BP=(2,6k),BM=-16k24k2+3,12k4k2+3,∴BP·BM=40k24k2+3>0,因此,∠MBP為銳角,∴∠MBN為鈍角,點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
三、向量在立體幾何中的應(yīng)用
立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是課堂中的教學(xué)難點(diǎn),對(duì)學(xué)生空間想象能力要求較高.解題中一般運(yùn)用“降維”思想,將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題加以解決,而向量法的引入為立體幾何問題提供了新思路,通過其豐富的運(yùn)算將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化[2].
例3 如圖所示,四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,DD1⊥底面ABCD,DD1=AB=2A1B1,則異面直線AD1與BC1所成角的余弦值為.
分析 此題若用傳統(tǒng)方法來求解,則需要將異面直線平移至同一平面內(nèi),過程較為復(fù)雜.但如果通過建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)題目中的相關(guān)信息,表示出AD1與BC1,再結(jié)合公式,即可得到兩直線所成角的余弦值.因此,在平時(shí)的立體幾何教學(xué)中,教師應(yīng)有意識(shí)地向?qū)W生滲透向量法,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量法解決問題的能力,實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)的目的.
通過對(duì)以上例題的分析,揭示了向量在解題中的簡(jiǎn)潔性.因此,教師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中,有意識(shí)地滲透向量法,從而提高學(xué)生的解題效率,真正實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單化[3].
【參考文獻(xiàn)】
[1]李英剛.向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(18):40-41.
[2]亓國(guó)慶.向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(18):38-40.
[3]李兆燕.向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2013(11):85.