孔凡貴

摘? 要：小學數(shù)學教材中增設了數(shù)學廣角內(nèi)容，本文基于新課標簡要探討了模型思想的內(nèi)涵及在教學中的滲透路徑，著重指出教師應特別重視數(shù)學廣角教學中模型思想的滲透，并以人教版六年級上冊數(shù)學廣角“確定起跑線”為例進行了探討。

關鍵詞：數(shù)學廣角;模型思想;教學心得

小學數(shù)學教材中增設了數(shù)學廣角內(nèi)容，本文認為在數(shù)學廣角的教學中教師要特別著重模型思想的滲透，以下結合筆者的教學思考對此作一簡要探討，希望對一線教師有所啟示。

一、模型思想的內(nèi)涵解讀及在教學中的滲透路徑

根據(jù)課標中的敘述，模型思想的建立“是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程主要為從具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，最終求出結果”。通俗來講，模型思想就是利用書本上的知識來解決實際問題的，由此而言，模型思想的滲透是以實際問題為載體，除了在日常教學中多引入一些實際案例外，要特別重視數(shù)學廣角的利用，因為數(shù)學廣角都是關于實際問題的解決的，其內(nèi)容中蘊含著典型的模型思想，設置數(shù)學廣角的基本目的也就在于培養(yǎng)學生利用所學知識解決實際問題的能力。然而很多教師往往認識不到這一點，從課標中對模型思想的解讀來看，在教學中，不但要使學生能夠解決具體的問題，還要使學生經(jīng)歷建模的過程，同時教師注意揭示和強調實際問題中所蘊含的模型的實質，也就是普遍性的規(guī)律，這是滲透模型思想的關鍵所在，下面以人教版六年級上冊數(shù)學廣角“確定起跑線”為例來加以探討。

二、“確定起跑線”問題中蘊含的模型思想

“確定起跑線”是小學六年級上冊在學完圓的周長和面積知識之后的綜合與實踐內(nèi)容。這個問題對學生的抽象思維和應用能力有較高的要求。

例：在運動會上，我們觀察到運動員總是站在不同的起跑線上。為什么運動員要站在不同的跑道上呢？因為終點相同，如果在同一起跑線上，外圈的運動員跑的距離比里圈的長，所以外圈運動員的起跑位置應該往前移。那么，不同跑道的運動員之間的距離應該相差多少呢？

解析：首先，抽象直觀圖形。跑道由兩條直段跑道和兩個半圓形跑道組成。兩個半圓形跑道合起來就相當于一個“圓形跑道”。已知直道的長度是85.96m，第一條半圓形跑道的直徑為72.6m，每條跑道寬1.25m，如下圖所示：

其次，理清計算思路。通過觀察以上直觀圖形，學生可以發(fā)現(xiàn)這樣的關系：每條跑道全長=兩條直道長度+“圓形跑道”周長。各條直道的長度都一樣，因此計算出每條“圓形跑道”的周長是關鍵。己知最里面第一條半圓形跑道直徑是72.6m，大圓和小圓的直徑之差是跑道寬度的2倍，那么第二條半圓形跑道的直徑為75.1+1.25×2=77.6m，第三條半圓形跑道的直徑為75.1+1.25×2=77.6m，依此類推。在計算出每條跑道的全長之后，跑道的全長之差就是每個運動員之間相差的距離。

然后，列表發(fā)現(xiàn)規(guī)律。列表法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要途徑和方法。本例中用到直徑、周長、全長三個變量和直道長度一個常量，列表計算如下：

學生計算并填表后（π取3.14159），就不難得出結論：每條跑道的總長相差，即不同跑道的運動員之間應相差7.85m。具體計算過程是：設第一條半圓形跑道的直徑是d1，第二條半圓形跑道的直徑是d2，第三條半圓形跑道的直徑是d3，則第一條跑道的全長為πd1+85.96×2=400m，第二條跑道的全長為πd2+85.96×2=407.85m。第二條跑道與第一條跑道長度的差為（πd2+85.96×2）-（πd1+85.96×2）=π（d2-d1）=3.14159×2.5=7.85。其他跑道全長之差的汁算方法依此類推。

最后，簡化計算過程。學生通過表格的方式很容及得到所需的結果，然而思維能力較強的學生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后還能以更簡便的方式計算出結果，即用算出每條跑道的全長也能求出它們相差多少米。從上面的算式中可以得出：跑道之問的長度差實際上就是“圓形跑道”的周長差，即C大圓-C小圓=π（d大圓-d小圓）。由于大圓和小圓的直徑之差就是跑道寬度的2倍，用w表示跑道的寬度，即d大圓-d小圓=2w。將兩個式子合在一起就是C大圓-C小圓=2πw。在本例中，大圓和小圓直徑之差為1.25×2=2.5m，所以大圓和小圓的周長之差就是3.14159×2.5=7.85m，這個結果和上面表格中的計算結果是吻合的。所以，在計算起跑線上運動員的距離時，我們只需知道每條跑道的寬度就能很快算出結果，這大大簡化了計算過程。

結束語：

“確定起跑線”問題涉及小學階段的很多數(shù)學知識，如，圓的直徑、周長、四則混合運算律、字母表示數(shù)等，該問題最終可理解為高年級的同心圓知識，這些數(shù)學知識本身就是數(shù)學模型。學生解決該問題的過程經(jīng)歷了抽象直觀圖形、理清計算思路、列表發(fā)現(xiàn)規(guī)律、簡化計算過程四個階段。整個探索過程需要學生具備一定的抽象思維能力、符號表達能力和直覺能力。學生通過列表計算最終得出的算式C大圓-C小圓=2πw就是該問題的數(shù)學模型，該模型可以說是“模型的模型”，整個解題過程體現(xiàn)了“異常精純”的數(shù)學模型思想。

參考文獻：

[1]張海燕. 數(shù)學建模思想在小學數(shù)學教學中的應用[J]. 現(xiàn)代教育，2015（10）.

[2]卓秀安. 小學數(shù)學教學中數(shù)學建模思想的構建[J]. 考試周刊，2018（2）：98-98.