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        數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的策略分析

        2020-04-17 09:52:51謝賢斌
        考試周刊 2020年8期
        關(guān)鍵詞:發(fā)散思維數(shù)形結(jié)合

        謝賢斌

        摘 要:在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,有很多知識(shí)點(diǎn)需要學(xué)生熟練掌握并運(yùn)用,如何根據(jù)題目快速找準(zhǔn)知識(shí)點(diǎn),并作出合理解答,成為每位高中學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中需要掌握的必備技能。而化歸思想是高中數(shù)學(xué)中一種有效的學(xué)習(xí)方式,它可以幫助學(xué)生更加清晰合理的分析題目,把復(fù)雜的問題簡單化,簡單的問題立體化,更直觀的展示出解題思路,以幫助學(xué)生提高自身邏輯分析能力以及逆向思維能力。

        關(guān)鍵詞:化歸轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合;發(fā)散思維;教學(xué)方式與滲透

        化歸轉(zhuǎn)化思想是指學(xué)生在習(xí)題解答過程中,通過對原問題的轉(zhuǎn)化,變成簡單而又具體的問題,幫助學(xué)生理順解題思路,快速解決問題。因此,數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)中逐步對學(xué)生滲透化歸轉(zhuǎn)化思想,幫助學(xué)生抓住問題本質(zhì),掌握解題技巧,靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)公式,熟練使用數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)思想、特殊與一般、等價(jià)轉(zhuǎn)化等解題思路,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。

        高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透化歸轉(zhuǎn)化思想,就是要把未知的化為已知的,把不熟悉的化為熟悉的,把一般的化為特殊的,把繁雜的化為簡單的,因此,化歸轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用的前提條件是對數(shù)學(xué)必備的基礎(chǔ)知識(shí),基本技能的掌握。

        一、 化歸思想的概述

        (一)化未知為已知

        從已知到未知是指對數(shù)學(xué)問題內(nèi)在條件的一種化歸,只有對數(shù)學(xué)問題中涉及的條件進(jìn)行加工、看整體、換元等,就可把未知、不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已知、熟悉的問題,把復(fù)雜問題簡單化,進(jìn)而就能順利解題。例如,在解答數(shù)學(xué)習(xí)題“研究三角函數(shù)

        y=Asin(ωx+φ)+k的圖像與性質(zhì)”方面的問題時(shí),只需熟悉三個(gè)基本初等函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像與性質(zhì),便快速準(zhǔn)確得到問題的解答,初步體會(huì)化歸轉(zhuǎn)化思想。在三角函數(shù)研究中如:已知:f(x)=2sinxcosx+23cos2x-3,(1)函數(shù)f(x)的增區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)的對稱軸方程。此時(shí)自然就會(huì)想到先把問題化歸為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,進(jìn)一步化歸為y=sinx的性質(zhì),這樣培養(yǎng)的學(xué)生的思想,提升的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        (二)數(shù)與形的轉(zhuǎn)換

        數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)習(xí)題解答中最為有效、也是思路最為清晰的一種解題方式,屬于化歸函數(shù)思想中的典型特征。它體現(xiàn)的代數(shù)式中有幾何特征,幾何圖形中有數(shù)量關(guān)系。通過數(shù)與形的結(jié)合,從代數(shù)式中看幾何特征,由幾何圖形研究數(shù)量關(guān)系,體現(xiàn)數(shù)中有形,形中有數(shù)的思想,更直接的向?qū)W生展示出變量之間的關(guān)系,也是學(xué)生最為喜愛的一種解題方法。例如,已知:a,b∈R,求(a-b)2+(a+2b2+4)2的最小值。學(xué)生看到這樣的問題,感覺無從下手,如果直接從代數(shù)式的角度去看還真的無從下手。如果我們在平常教學(xué)中能滲透數(shù)中有形,數(shù)形結(jié)合的思想,可能學(xué)生就會(huì)懂得去尋找代數(shù)式的幾何意義,這樣針對該問題就有的一定的方向:由平方型代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征可看看它的距離的幾何意義,把代數(shù)問題幾何化,但此時(shí)兩點(diǎn)間距離的公式一定要熟悉,兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離P1P2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,對照公式分析幾何性質(zhì),從(a-b)2+(a+2b2+4)2看到兩點(diǎn)(a,a)與(b,-2b2-4),這樣進(jìn)一步化為點(diǎn)M(a,a)在直線y=x上,N(b,-2b2-4)在曲線y=-2x2-4上,問題化為直線y=x上的點(diǎn)與曲線y=-2x2-4上的點(diǎn)的距離的最小值。這樣代數(shù)問題幾何化的轉(zhuǎn)化思想,通過幾何圖形去找數(shù)量關(guān)系,更有利于學(xué)生的理解。

        (三)題根轉(zhuǎn)化法

        題根轉(zhuǎn)化是指抓住習(xí)題中的重要部分,了解出題者的用意,這不僅需要學(xué)生對基本數(shù)學(xué)知識(shí)熟練掌握,也要求學(xué)生對該類型習(xí)題有一定的解題經(jīng)驗(yàn)以及答題思路總結(jié),做到快速抓住問題的關(guān)鍵條件,并以此為根本進(jìn)行分析,迅速得出結(jié)論及答案。這就要求我們平常在知識(shí)應(yīng)用過程中要善于歸納總結(jié),使知識(shí)在應(yīng)用過程公式化、程序化。比如在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用過程中有一類問題:已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)。(Ⅰ)求a的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2。

        第二問中的問題的題根就是函數(shù)的零點(diǎn)偏移問題,對于這類問題抓住實(shí)質(zhì),在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)增減速度不同而引起零點(diǎn)的不對稱。看到命題的意圖,解題方向就明確了,構(gòu)建新函數(shù),判斷單調(diào)性,求最值,得出兩零點(diǎn)大小關(guān)系,問題就自然得到解決。

        二、 化歸思想的運(yùn)用思路

        高中數(shù)學(xué)中基本公式及定義有著密切的聯(lián)系,可以將一個(gè)簡單的公式延伸擴(kuò)散到多種復(fù)雜定義公式中去,也可以將復(fù)雜的公式簡單化,這需要學(xué)生在習(xí)題演練中不斷總結(jié)得出的,也是化歸思想中鍛煉學(xué)生的主要方式之一。

        (一)逆向思維的合理運(yùn)用

        尤其是在函數(shù)問題解答中,普通的正向思維推理并不能得出答案,許多學(xué)生都遇到過此類問題,無論如何演算都得不出結(jié)論,此時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生試一下反向推理,讓問題反面化,進(jìn)行反向運(yùn)算,即可得出正確答案。這種思想在空間立體幾何中分析平行與垂直關(guān)系時(shí)經(jīng)常用到:如圖,已知四棱錐PABCD的底面為菱形,∠ABC=60°,AB=PC=2,AP=BP=2。

        (Ⅰ)求證:AB⊥PC;

        這問題中的第(1)問,怎樣分析空間兩條直線垂直?學(xué)生也能直接分析欲證AB⊥PC,可以通過證明直線AB與PC所在的某個(gè)平面垂直。怎樣才能把這個(gè)平面找出來?由條件取AB中點(diǎn)E連接CE、PE,很顯然:AB⊥CE,若結(jié)論成立,即AB⊥PC,則AB⊥面PCE。所以,我們通過假定結(jié)論成立去反推,問題就化為去證明AB⊥面PCE。這樣解題方向就更加明確了。

        (二)未知條件已知化

        為提升學(xué)生的思維邏輯分析能力,鍛煉學(xué)生的拓展性思維,高中數(shù)學(xué)習(xí)題往往會(huì)增加問題難度,例如,問題條件不夠充足,這就需要學(xué)生做出假設(shè),假設(shè)已知條件成立,把未知條件設(shè)為已知,問題便可迎刃而解。這在存在性問題的解決過程中將用到,如:在平面直角坐標(biāo)系

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