張祖蘭

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，二次函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，抽象出二次函數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，可以加強(qiáng)學(xué)生的建模素養(yǎng)，深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活密不可分.因此，二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題也是數(shù)學(xué)中考考查的重點(diǎn)，但是不少的學(xué)生因?yàn)閷忣}不當(dāng)，理解錯(cuò)題意而失分.為了突破此重難點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)更加深入地鉆研此類題型的思知識(shí)水平要求與思想方法的運(yùn)用，而說(shuō)題正能體現(xiàn)教師的這一本領(lǐng).筆者有幸參加了南寧市東盟開(kāi)發(fā)區(qū)初中數(shù)學(xué)的說(shuō)題解題比賽，并獲得一等獎(jiǎng).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模，二次函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用，中考

一、原題呈現(xiàn)

要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1 m處達(dá)到最高，高度為3 m，水柱落地處離池中心3 m，水管應(yīng)多長(zhǎng)？

本道題出自人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十二章“二次函數(shù)”第36頁(yè)例4，取材于較為常見(jiàn)的生活情境——噴泉問(wèn)題，而且是教材中二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的第一道例題.

【題目立意】

本道題中所蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)有：

1.根據(jù)題目的情境，建立直角坐標(biāo)系，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，

2.運(yùn)用待定系數(shù)法求解拋物線解析，

3.求解給定條件下自變量或者函數(shù)的值.

本道題考查數(shù)學(xué)建模這一數(shù)學(xué)方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中需要學(xué)生觀察分析圖形，數(shù)形結(jié)合，并且運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并建立模型，運(yùn)用方程的思想，最終解決問(wèn)題.

二次函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)模型和相關(guān)知識(shí)，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值和建模的意義.課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)二次函數(shù)這一章節(jié)的要求如下：

希望通過(guò)對(duì)本道題的教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)到二次函數(shù)的意義，在這個(gè)過(guò)程中恰當(dāng)運(yùn)用二次函數(shù)的表達(dá)式，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

二、教法指導(dǎo)

（一）學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是九年級(jí)的學(xué)生.在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)的定義，并且學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖像和一般性質(zhì)，掌握了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0），具備一定的運(yùn)算能力，會(huì)用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，并且學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函數(shù)的應(yīng)用，具備將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，但是同時(shí)學(xué)生還不太懂得分析數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以及選取什么數(shù)學(xué)模型適合解決問(wèn)題也是學(xué)生的薄弱點(diǎn).

（二）重點(diǎn)與難點(diǎn)

基于上述對(duì)教材知識(shí)與學(xué)情的雙向分析，筆者確定本節(jié)課的重點(diǎn)有兩個(gè)：

1.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義，

2.構(gòu)建二次函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題.

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)碰見(jiàn)兩個(gè)難點(diǎn)：

1.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，

2.選擇恰當(dāng)?shù)慕ㄏ捣椒?，?gòu)建二次函數(shù)模型.

為了有效地突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，筆者在說(shuō)題過(guò)程中綜合運(yùn)用自主學(xué)習(xí)、合作探究、講練結(jié)合等教學(xué)方法.

（三）分析題意、抽象模型

請(qǐng)學(xué)生閱讀教材第36頁(yè)例4，分析題意，此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將文字條件轉(zhuǎn)化為圖形模型：水管是一段線段，拋物線形水柱是拋物線.

【設(shè)計(jì)意圖】此時(shí)，將立體的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面的二次函數(shù)拋物線問(wèn)題.

將拋物線抽象出來(lái)后，詢問(wèn)學(xué)生本道題中已知條件是什么？未知結(jié)論是什么呢？請(qǐng)將題目的已知條件與要求的未知結(jié)論在圖上標(biāo)出，并引入適當(dāng)?shù)挠浱?hào).

題目的未知結(jié)論是線段BD的長(zhǎng)度，聯(lián)系我們已有的知識(shí)，線段問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成什么？（點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題）

并且進(jìn)一步地詢問(wèn)學(xué)生在學(xué)習(xí)用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置時(shí)，我們借助了什么工具呢？（平面直角坐標(biāo)系）那現(xiàn)在沒(méi)有平面直角坐標(biāo)系，我們應(yīng)該怎么做呢？（學(xué)生自然想到要建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系）此時(shí)提醒學(xué)生建立了直角坐標(biāo)系后就能得到所有點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？（不一定，如點(diǎn)D的坐標(biāo)還不清楚），我們來(lái)看D點(diǎn)在哪兒？（拋物線上）因此，我們需要先求這個(gè)拋物線的解析式，再求D點(diǎn)的坐標(biāo).

【設(shè)計(jì)意圖】此時(shí)，就把題目中的文字條件、數(shù)據(jù)條件等顯性條件轉(zhuǎn)化為在平面直角坐標(biāo)系中研究拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)等隱性條件.因此，現(xiàn)在解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是一一建立平面直角坐標(biāo)系.

（四）建系討論、解釋模型

如何建立直角坐標(biāo)系才能求解出拋物線的解析式呢？請(qǐng)學(xué)生在備用圖上獨(dú)立嘗試，并思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

1.怎樣在原圖中建立平面直角坐標(biāo)系？

2.建系后能找到哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？請(qǐng)標(biāo)在圖中.

3.現(xiàn)在可以求出拋物線的解析式嗎？

再四人一小組合作探究，交流以下內(nèi)容：

1.小組同學(xué)共有幾種建系方法？

2.所有思路都可以求出拋物線的解析式嗎？都是如何求解的？

并且選擇小組上臺(tái)展示建立直角坐標(biāo)系的方法以及求解析式的思路，底下同學(xué)負(fù)責(zé)傾聽(tīng)、點(diǎn)評(píng).學(xué)生講解過(guò)程中，教師注意追問(wèn)以下幾個(gè)問(wèn)題：

1.以哪個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)建系？

2.建系后能找到哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？怎么得到的？

3.如何求拋物線解析式？設(shè)成什么表達(dá)式？

同時(shí)，筆者會(huì)提醒學(xué)生注意答題格式的規(guī)范.

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，選擇不同的建立直角坐標(biāo)系的方法并結(jié)合題意建立拋物線的解析式的模型，互相合作，交流學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生體會(huì)到不同解法的優(yōu)劣性，取長(zhǎng)補(bǔ)短.

三、解法探究

（一）解法呈現(xiàn)

在這里分享四種較為自然和常見(jiàn)的建系方式：

解法一 如圖所示，以水管與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生自我探究，結(jié)合題目條件選擇不同建立直角坐標(biāo)系的方法，可以體會(huì)到不同解法之間的聯(lián)系——二次函數(shù)的圖像平移規(guī)律，并且在解決問(wèn)題的過(guò)程中計(jì)算量等的不同，學(xué)生體會(huì)不同解法的優(yōu)劣性，從而自我生成建立直角坐標(biāo)系的方法.

（二）歸納總結(jié)、學(xué)有所獲

當(dāng)所有的解法展示完畢之后，筆者會(huì)提問(wèn)：你認(rèn)為這幾種方法中哪一種更簡(jiǎn)單？

從而歸納出在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，需要遵循讓點(diǎn)的坐標(biāo)簡(jiǎn)單或者解析式簡(jiǎn)單的原則，通常來(lái)講：

1.盡可能多地使圖形上的點(diǎn)（或已知點(diǎn)），落在坐標(biāo)軸上，

2.充分利用圖形本身的對(duì)稱性

3.有利于求出題目的結(jié)果.

至此，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一個(gè)運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，此時(shí)師生共同小結(jié)歸納解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

1.要審題，審出已知、未知，2.建系、建模，3.再把已知線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)，這時(shí)要注意坐標(biāo)的正負(fù)數(shù)，求出解析式，4.從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，5.解決實(shí)際問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】為了檢驗(yàn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，筆者將鏈接中考，變式探究，加深學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，同時(shí)進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生解決二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的策略意識(shí).

五、反思不足

在本次準(zhǔn)備說(shuō)題的過(guò)程中，有三點(diǎn)體會(huì)特別深刻：

1.平時(shí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)注意結(jié)合實(shí)際生活，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無(wú)處不在的，數(shù)學(xué)是源于生活的，又服務(wù)于生活的，堅(jiān)定加強(qiáng)學(xué)生的建模意識(shí)，

2.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常需要閱讀大量的文字，不少學(xué)生因?yàn)閷忣}不當(dāng)、理解錯(cuò)題意而失分，因此，在平常教學(xué)中應(yīng)該注意加強(qiáng)學(xué)生的審題訓(xùn)練，

3.最后，在課堂中如何高效地開(kāi)展小組合作，這也是筆者一直疑惑的地方.

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