【摘要】本文以《一一間隔排列》的兩次磨課實(shí)踐為例進(jìn)行論述，認(rèn)為教師應(yīng)在引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，挖掘規(guī)律中蘊(yùn)含的思想，凸顯規(guī)律探究的方法。

【關(guān)鍵詞】《一一間隔排列》 數(shù)學(xué)規(guī)律 數(shù)學(xué)思想 磨課

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）45-0112-03

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，探索規(guī)律是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的基本內(nèi)容之一，而《一一間隔排列》這一章節(jié)是教學(xué)的起始部分，根據(jù)教材的要求，教學(xué)過程要突出讓學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，從中感受和體會特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，筆者進(jìn)行了兩次磨課，并在磨課的過程中有了深入的思考?，F(xiàn)將這個(gè)過程整理成文，與大家分享。

【第一次磨課】

一、課題引入，初步感知

筆者出示小兔子家的圖示（如圖1），讓學(xué)生仔細(xì)觀察小兔子和蘑菇的排列有什么特點(diǎn)，木樁和籬笆是怎么排列的，夾子和手帕是怎么排列的。（學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)都是一個(gè)隔著一個(gè)排成一行）

筆者小結(jié)并板書：兩種物體一個(gè)隔一個(gè)地排成一行，叫做一一間隔排列。

二、引導(dǎo)學(xué)生深入探究

（一）比較發(fā)現(xiàn)

筆者出示列表（如表1），讓學(xué)生數(shù)一數(shù)、填一填、比一比，并說一說自己發(fā)現(xiàn)了什么。（學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一組兩種物體的個(gè)數(shù)相差1）

（二）圈一圈找出原因

筆者讓學(xué)生把兩種物體（小兔和蘑菇，木樁和籬笆）看成一組，動(dòng)筆圈一圈，然后說出自己的發(fā)現(xiàn)。（學(xué)生發(fā)現(xiàn)分組之后總會多出1個(gè)）

（三）思考規(guī)律

啟發(fā)學(xué)生思考：如果20只兔子站成一行，每兩只兔子中間有一個(gè)蘑菇，一共要多少個(gè)蘑菇呢？請大家想一想、畫一畫、算一算。（學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)并交流展示）

（四）動(dòng)手操作探究

筆者讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺：把方塊和圓圈一一間隔排列，方塊有10個(gè)，看看圓圈最少需要幾個(gè)，最多需要幾個(gè)？（學(xué)生操作后進(jìn)行匯報(bào)交流）

【教學(xué)思考】初次教學(xué)實(shí)踐，課堂比較平穩(wěn)，學(xué)生缺乏生機(jī)勃勃的活力以及積極探究的動(dòng)力。主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：

（一）學(xué)生梳理數(shù)量關(guān)系有困難

課始，筆者讓學(xué)生觀察比較三組事物排列的共同特點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是一個(gè)隔著一個(gè)排列，由此建立一一間隔排列的基本模型，但在第二個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生尋找數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了困難，讓學(xué)生歸納、完善并概括兩種物體的數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生也看不出，想不到。

（二）學(xué)生被動(dòng)執(zhí)行教師的教學(xué)安排

尋找數(shù)量關(guān)系這個(gè)任務(wù)，教師提供給學(xué)生一個(gè)表格，但這個(gè)表格并不是學(xué)生主動(dòng)探究的需求。教師主動(dòng)告訴學(xué)生，要把一只兔子和一個(gè)蘑菇看成一組，這個(gè)方法學(xué)生也是被動(dòng)接受的，他們并不知究竟。在整個(gè)教學(xué)過程中學(xué)生缺乏充分的體驗(yàn)，缺乏自主發(fā)現(xiàn)的機(jī)會。

為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢？究其原因，筆者認(rèn)為有兩方面：一是內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排影響了學(xué)生的思維發(fā)展。整節(jié)課中給學(xué)生呈現(xiàn)的素材較為單一，是間隔排列中唯一的一類“兩端物體相同”，學(xué)生在研究數(shù)量關(guān)系的時(shí)候，探究的只有這一種類型，思維產(chǎn)生了定式，進(jìn)而影響了思維的發(fā)展，認(rèn)為數(shù)量都是相差1的，這就導(dǎo)致學(xué)生在隨后的探究中無法找到新的排列可能。二是思想方法的滲透較弱?！兑灰婚g隔排列》這一內(nèi)容中真正的內(nèi)涵是一一對應(yīng)，在整節(jié)課中，教師并沒有引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，也沒有及時(shí)強(qiáng)化引導(dǎo)，而是讓學(xué)生自主理解和應(yīng)用一一對應(yīng)的思想方法。

綜合以上分析，筆者重新改進(jìn)教學(xué)結(jié)構(gòu)，緊扣一一對應(yīng)這一思想方法，進(jìn)行第二次教學(xué)實(shí)踐，思路如下：

1.創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境。給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)比較熟悉的數(shù)學(xué)情境，選擇動(dòng)態(tài)展示突出一個(gè)接著一個(gè)的排列過程，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的特征。

2.設(shè)計(jì)操作活動(dòng)。學(xué)生需要一個(gè)充足的空間進(jìn)行操作，在操作中進(jìn)行間隔排列的表象探究。教師可以給予學(xué)生引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一一對應(yīng)的規(guī)律。

3.建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。給學(xué)生呈現(xiàn)間隔排列的多種現(xiàn)象，其中包括封閉和不封閉的，有兩端相同的，也有兩端不相同的。通過這些不同的直觀表象，讓學(xué)生在比較中體會到數(shù)量之間存在著相等和相差的關(guān)系，從而幫助學(xué)生建構(gòu)一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

【第二次磨課】

一、創(chuàng)設(shè)情境，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）導(dǎo)入情境

筆者給學(xué)生播放演員舞蹈視頻。讓學(xué)生根據(jù)演員上場的順序（女生—男生）來尋找規(guī)律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)出場的規(guī)律是一個(gè)女生一個(gè)男生，再一個(gè)女生一個(gè)男生……

（二）觀察發(fā)現(xiàn)

筆者給學(xué)生出示國慶板報(bào)中的設(shè)計(jì)排版，讓學(xué)生找出其中的規(guī)律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)板報(bào)排版是一盆花一棵樹，一個(gè)隔一個(gè);還有的排版是一個(gè)燈籠一個(gè)中國結(jié)，也是一個(gè)隔一個(gè)。

（三）比較揭示

筆者讓學(xué)生結(jié)合以上兩種特定情境進(jìn)行比較分析，看看有什么共同特征。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，以上情形都是由兩種物體進(jìn)行排列，并且是一個(gè)隔著一個(gè)進(jìn)行排列。筆者引導(dǎo)學(xué)生舉出身邊的例子。學(xué)生認(rèn)為教室的課桌椅也是一張桌子一把椅子一個(gè)隔著一個(gè)的。

（揭示課題：像這樣兩種物體一個(gè)隔著一個(gè)排列，叫做間隔排列）

最后，筆者再創(chuàng)設(shè)一個(gè)特定的問題情境：現(xiàn)在要做一幅畫，用紅貝殼和白貝殼一一間隔排列進(jìn)行裝飾。

【教學(xué)思考】改進(jìn)后的教學(xué)，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)有效的課堂情境，通過演員上場這個(gè)動(dòng)態(tài)視頻給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)間隔排列的例子，接著再給學(xué)生呈現(xiàn)多樣化的實(shí)例，借助這些豐富的現(xiàn)象，讓學(xué)生在觀察、比較和分析中深入體會，最終自然而然地發(fā)現(xiàn)間隔排列方式的特點(diǎn)。緊接著又創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境，為接下來的課堂探究做好準(zhǔn)備。

二、活動(dòng)操作，深入探索規(guī)律

（一）自主猜想

筆者讓學(xué)生先自主猜想：現(xiàn)在有70個(gè)紅貝殼，要進(jìn)行一一間隔排列，猜一猜需要多少個(gè)白貝殼？

學(xué)生猜想的答案有很多。筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣才能夠準(zhǔn)確地驗(yàn)證呢？學(xué)生認(rèn)為可以在紙上畫一畫、排一排，但是數(shù)量太大比較麻煩。此時(shí)，學(xué)生提出，可以將數(shù)量減少一點(diǎn)，這樣就可以通過畫一畫、排一排的形式，找到紅貝殼和白貝殼之間的數(shù)量關(guān)系，然后進(jìn)行推算。

（二）活動(dòng)探究

筆者將數(shù)據(jù)變小，讓學(xué)生開展探究活動(dòng)：將學(xué)生分成多組，同桌互相合作，用5個(gè)紅貝殼進(jìn)行一一間隔排列，看看怎樣找到紅貝殼和白貝殼數(shù)量之間的關(guān)系以及排列的特點(diǎn)。

（三）體驗(yàn)一一對應(yīng)

筆者讓學(xué)生將自己的排列情況進(jìn)行匯報(bào)交流。有小組提出，將一個(gè)紅貝殼和一個(gè)白貝殼拴在一起，拴成一組一組，可以發(fā)現(xiàn)需要4個(gè)白貝殼，比紅貝殼少1個(gè)。（如圖2所示）

筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：這樣一個(gè)對著一個(gè)有什么好處？學(xué)生認(rèn)為，這樣一一對應(yīng)會看得很清楚，一眼就能夠知道誰多誰少。

（四）呈現(xiàn)不同擺法

a組學(xué)生展示自己的擺法：一端是紅貝殼，另一端也是紅貝殼，兩端相同，紅貝殼比白貝殼多1個(gè)。

b組學(xué)生展示自己的擺法：左邊是紅貝殼，右邊是白貝殼，紅貝殼和白貝殼一一對應(yīng)為一組，正好分完，數(shù)量相等。（如圖3）

c組學(xué)生展示自己的擺法：兩端都是白貝殼，白貝殼比紅貝殼多1個(gè)。（如圖4）

d組學(xué)生展示自己的擺法：左邊是白貝殼，右邊是紅貝殼，一對應(yīng)分組排列，排列后分組沒有剩余。（如圖5）

（五）分類發(fā)現(xiàn)規(guī)律

筆者讓學(xué)生將這4種不同的擺法進(jìn)行分類，并說出分類的依據(jù)和理由。學(xué)生將4種擺法移動(dòng)分為兩類，一類是兩端物體不同，分組正好分完，數(shù)量相等;另一類是兩端物體相同，分組以后就會多出一個(gè)，數(shù)量相差1。

（六）實(shí)際驗(yàn)證

筆者先出示男女生一一間隔排列課件的一部分（展現(xiàn)一端是男生，一端是女生），讓學(xué)生猜想男女生一一間隔排列的人數(shù)會怎么樣。學(xué)生認(rèn)為，人數(shù)會相等，因?yàn)閮啥瞬煌?，一一對?yīng)分組正好分完。（筆者出示完整課件，驗(yàn)證學(xué)生的猜測是對的）接著筆者又出示花和樹的一一間隔排列課件的一部分，只呈現(xiàn)一端，另一端沒有呈現(xiàn)，讓學(xué)生猜想樹和花的數(shù)量會怎么樣。學(xué)生認(rèn)為無法判斷。因?yàn)橛袃煞N情況，如果另一端也是樹，那樹就比花多1，如果另一端是花，那么樹就和花的數(shù)量相同。（筆者出示完整的課件，驗(yàn)證學(xué)生猜想是正確的）

（七）實(shí)際應(yīng)用

筆者再次出示之前的特定問題情境：現(xiàn)在有70個(gè)紅貝殼，要一一間隔排列，需要多少個(gè)白貝殼？你猜對了嗎？

學(xué)生認(rèn)為答案并不是唯一的，當(dāng)兩端都是紅貝殼時(shí)，紅貝殼比白貝殼多1個(gè)，那么白貝殼就需要69個(gè)。當(dāng)一端是白貝殼，另一端是紅貝殼時(shí)，這時(shí)候白貝殼要比紅貝殼多1個(gè)，就可能是70個(gè)。當(dāng)兩端都是白貝殼，白貝殼比紅貝殼就要多1個(gè)，那么可能有71個(gè)白貝殼。

最后，筆者再出示首尾相連的一串貝殼，讓學(xué)生觀察白貝殼數(shù)量會怎么樣。學(xué)生指出，可以從接頭處解開，將貝殼串拉直。筆者從任意接頭處把貝殼解開并拉直，拉直后學(xué)生觀察到兩端不同，也就是白貝殼和紅貝殼的數(shù)量相等，即白貝殼有70個(gè)。

【教學(xué)思考】這次教學(xué)改進(jìn)將“需要多少個(gè)白貝殼”作為一個(gè)問題主線，給學(xué)生設(shè)計(jì)了具有挑戰(zhàn)性的開放的任務(wù)。學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下經(jīng)歷了“猜想—驗(yàn)證—建構(gòu)”的探究過程。在課堂教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情精選活動(dòng)內(nèi)容，設(shè)計(jì)活動(dòng)問題，讓學(xué)生產(chǎn)生自主解決問題的愿望，學(xué)生通過匯報(bào)、評議，最終找到了一一間隔排列的規(guī)律。此外，還通過豐富的例子支持，讓學(xué)生從排列的方式到數(shù)量的關(guān)系，再從排列的單一性到多元化的方法，最終完成了數(shù)學(xué)概念的抽象概括。這樣的學(xué)習(xí)更有深度，課堂也充滿了生命力。

通過兩次教學(xué)實(shí)踐，筆者有一個(gè)深刻的體會，即探索規(guī)律教學(xué)的重點(diǎn)，不是讓學(xué)生記住規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，而是在教學(xué)過程中進(jìn)行思想方法的滲透，挖掘規(guī)律蘊(yùn)含的思想，凸顯規(guī)律探索的方法。在改進(jìn)后的教學(xué)中，學(xué)生一開始認(rèn)為貝殼的數(shù)量太多，要進(jìn)行排一排、畫一畫太麻煩，所以提出要將數(shù)據(jù)變小，由此化繁為簡，進(jìn)一步體會復(fù)雜的問題要善于簡單化。學(xué)生通過擺一擺、畫一畫，認(rèn)識到間隔排列中“一個(gè)對著一個(gè)，一一分組”這種排列方式能夠讓別人一眼看出數(shù)量的多少。接下來學(xué)習(xí)探究“為什么兩端相同，兩種物體數(shù)量相差1？為什么兩端不同，兩種物體數(shù)量相等”的問題，在整個(gè)過程中，學(xué)生借助任務(wù)的推動(dòng)，進(jìn)行概念的建構(gòu)，凸顯了間隔排列的內(nèi)涵，即一一對應(yīng)。

對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)內(nèi)容也許會淡忘，會模糊，但是數(shù)學(xué)思想方法卻一直會根植于學(xué)生思維的深處。引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)律，最重要的是幫助學(xué)生深度挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，筆者相信，這是探索規(guī)律教學(xué)的一條有效路徑。

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作者簡介：全艷（1982— ），女，廣西興業(yè)人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級教師，目前主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

（責(zé)編 林 劍）