張文鋼 張秋穎 李春桃
【摘要】異向思維在科學發(fā)現(xiàn)與發(fā)明過程中有其重要的地位,它是培養(yǎng)創(chuàng)造型人才的途徑之一,本文從高等數(shù)學解題教學出發(fā),闡述了如何培養(yǎng)學生異向思維能力的方法.
【關鍵詞】高等數(shù)學;異向思維;培養(yǎng)
培養(yǎng)學生獨立思考,提高學生解題能力是高等數(shù)學教學中的一項非常重要的任務.異向思維與其他智力因素有著密切的聯(lián)系,它在科學發(fā)現(xiàn)與發(fā)明過程中,也有其舉足輕重的地位.因而,在高等數(shù)學解題的教學中,教師要注意培養(yǎng)學生的異向思維能力.這對啟迪學生的思維,發(fā)展智力有著不可低估的積極意義,是培養(yǎng)創(chuàng)造型人才的途徑之一.所謂異向思維,就是一種不循常理,善于變換,從不同角度來探求問題的解決辦法的思維方式.是創(chuàng)造性思維中一種極為重要的思維形式,它的特點是:富于創(chuàng)造性,思路不落俗套,善于標新立異,獨辟蹊徑;富于多向性,思路寬闊輻射,善于多方求索,不拘一格;富于靈活性,思路活潑多變,善于聯(lián)想推導,隨機應變.千方百計去完成所研究的中心課題,并在探索過程中尋求最佳方案.如何在高數(shù)解題教學中培養(yǎng)學生的異向思維能力呢?結合多年的教學實踐,談談筆者自己的幾點看法和認識.
一、提倡綜合分析,激發(fā)異向思維
傳統(tǒng)的解題教學的弊病主要表現(xiàn)在:課堂上講授的例題過多或片面地強調程式化和模式化,不僅達不到使學生鞏固、理解和運用所學知識的目的,而且在很大程度上阻礙和抑制了學生的思維活動.不可否認,學生在解題時思維僵化、刻板、呆滯等不良因素是大量存在的,這與教師的陳舊教學方式有著直接關系.因此,解題教學時,教師要盡量去克服“就題論題”的教學模式,不能忽視對學生的思維方法、方式的培養(yǎng)和訓練.不僅要發(fā)揮教師在課堂教學中的主導作用,更要發(fā)揮學生在課堂教學中的主體作用,把學生的解題活動變?yōu)樗季S活動,讓學生在問題的求解過程中從多個角度、多個層次去展開思維,使學生在解題過程中得到思維方式方法的訓練,啟迪并引導學生從觀察過渡到聯(lián)想,從有所發(fā)現(xiàn)到有所創(chuàng)造.
例如,證明x≠0時,ex>x+1.這是一道靈活性較強的題目,按照常規(guī)思維,學生將會按教材的內容,利用拉格朗日中值定理來證明:先做一函數(shù),記為f(x)=ex-x-1,則f(0)=0,由拉格朗日中值定理知f(x)-f(0)=f′(ξ)(x-0),即f(x)=(eξ-1)x(其中ξ在0與x之間).當x>0時,ξ>0,因此,(eξ-1)x>0,即f(x)>0;當x<0時,ξ<0,因此,(eξ-1)x>0,即f(x)>0;所以對x≠0時,總有f(x)=ex-x-1>0,即ex>x+1.證畢.
另有一部分學生則按教材的另一內容,利用函數(shù)的單調性來證明上述習題.證明如下:
記f(x)=ex-x-1,由于f′(x)=ex-1,當x<0時,f′(x)=ex-1<0,f(x)單調減少,則有f(x)>f(0)=0;當x>0時,f′(x)=ex-1>0,f(x)單調增加,則有f(x)>f(0)=0.故對x≠0時,總有f(x)=ex-x-1>0,即ex>x+1.證畢.
解題的任務是完成了,然而學生的創(chuàng)造性思維沒有得到很好的訓練與發(fā)揮,教師在這時應進一步給學生以鼓勵和巧妙的引導,讓他們通過自己的思考和努力來尋求解答上述習題的最快捷途徑.教師及時引導學生觀察ex在x=0的泰勒公式:ex=1+x+R1(x)=1+x+12eξx2(ξ在0與x之間),所以ex=1+x+12eξx2,當x=2時,12eξx2>0,故x≠0時,ex>x+1.證畢.
這樣更能拓展學生的思維,使其充分認識到“學海無涯”.
二、提倡一題多解,訓練異向思維
在教學實踐中我們深深地體會到,學生的異向思維能力主要靠有目的訓練和培養(yǎng)來提高,應當選好含有一題多解的典型習題,然后精心設計,啟發(fā)點撥,分析思路,這對培養(yǎng)學生的不屈不撓的創(chuàng)造精神將起著積極作用,我們不妨來看下題:
證明數(shù)列:x1=2,x2=2+2,…,xn=2+xn-1,…(根號取算術根)的極限存在并求出這個極限.
按照常規(guī)思維,學生將按“單調有界數(shù)列必有極限”這個定理來做,先證{xn}單調增加,因x2=2+x1>2=x1,不妨設xn>xn-1,則xn+1=2+xn>2+xn-1=xn,由數(shù)學歸納法可知{xn}單調增加.再證{xn}有上界,xn<2,由于x1<2,設xn<2,從而有xn+1=2+xn<2+2=2,即{xn}有上界,故數(shù)列{xn}極限存在.設 limn→∞xn=a,由等式xn+1=2+xn,兩邊取極限得a=2+a,解得a=2或a=-1(舍去),故 limn→∞xn=2.通過異向思維,教師向學生指出上題可以利用中學知識很簡潔地予以解決.由于x1=2=2cosπ22,
運用之妙,存于一心.當學生獲得正確的思維方向后,教師要明智地退到“二線”當“顧問”附之點撥,把學生的思路引往深處、高處.學生創(chuàng)造的智慧的火花,就會隨之迸發(fā)出來.
三、采用變式教學,培養(yǎng)異向思維
變式教學就是在教學中,變化地引用教材的內容和形式,從不同的角度,用不同的方法進行教學,在變式教學中,必然迫使學生不斷更換應用知識的方位和方式,加快學生的思維節(jié)奏,使學生的大腦處于高速運轉的狀態(tài),在變中求異、求新.有助于發(fā)展學生的思維靈活性與廣闊性,以收到增強應變能力的良好效果.
如對一個重要極限,在學期末的復習時我們除了清楚教材中的傳統(tǒng)幾何證法之外,教師還可以用洛必達法則與麥克勞林公式來印證前面的結果.
四、展開課堂討論,發(fā)展異向思維
課堂教學中的討論,可以使學生從多種渠道認識問題、分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,達到有所創(chuàng)新,課堂教學離不開教師的講,更不能說講就是“灌”,問就是啟發(fā),我們要明白,“講”是為“學”服務的,要以“講”導“學”.只有在教師的生動精辟的講解下,再加上學生通過熱烈的課堂討論,才能更好地提高學生學習的積極性和主動性,才能真正地做到印象深刻.例如,就函數(shù)展開為關于x的冪函數(shù),讓學生展開討論,最后成功地解決了這道習題,下面我們就來看一看學生的創(chuàng)造性思維的全過程.
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