申一健

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》已于2018年1月正式公布，其中提到在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，其中“四基”指“基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。文章通過(guò)兩個(gè)案例談?wù)勅绾温鋵?shí)“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生相關(guān)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展。

關(guān)鍵詞：教學(xué)案例;基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-05-19 文章編號(hào)：1674-120X（2019）30-0077-02

一、“四基”與課堂教學(xué)的理解與認(rèn)識(shí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)新課標(biāo)）提出“四個(gè)基本”“四種能力”“六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”“三個(gè)會(huì)用”的內(nèi)容，這里簡(jiǎn)稱(chēng)“四基”“四能”“六核”“三會(huì)”（下同）。這四個(gè)內(nèi)容是一個(gè)整體，需從系統(tǒng)的角度來(lái)理解與認(rèn)識(shí)。它們的關(guān)系如圖1所示。

不難看出，“四基”與“四能”是“六核”的下級(jí)目標(biāo)，是“六核”的細(xì)化與分解?！傲恕钡呐囵B(yǎng)須通過(guò)“四基”與“四能”來(lái)體現(xiàn)。落實(shí)對(duì)“四基”與“四能”的培養(yǎng)與形成需借助課堂教學(xué)。

“四基”與“四能”的培養(yǎng)將成為數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)?！八幕敝械幕局R(shí)與基本技能是大家熟知的教學(xué)目標(biāo)，基本思想是老問(wèn)題新內(nèi)涵。新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版提到，基本思想與方法是新課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)階段）的三維目標(biāo)之一。新課標(biāo)所提的基本思想的內(nèi)涵較之前有傳承，更有升華。正如文中所說(shuō)，上位“基本思想”指歸納與演繹，是希望學(xué)生領(lǐng)會(huì)以后能夠終身受益的那種思想方法，要與換元法、待定系數(shù)法、配方法等數(shù)學(xué)方法區(qū)別開(kāi)來(lái)?；净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)是全新的教學(xué)目標(biāo)，是一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師的一個(gè)陌生概念，也是新課標(biāo)數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)之處。這“四種基本”的內(nèi)在聯(lián)系如何？許多專(zhuān)家與一線(xiàn)老師已有闡述，筆者認(rèn)為它們關(guān)系如圖2所示。

張奠宙教授對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)定義為：在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下， 通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考， 從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)探索的過(guò)程。定義中的“具體事物”筆者認(rèn)為就是數(shù)學(xué)問(wèn)題，即帶有問(wèn)題情境、含有探索過(guò)程的學(xué)習(xí)問(wèn)題;而“進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考”筆者認(rèn)為就是分析、討論、求解;“在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下”中的數(shù)學(xué)目標(biāo)筆者認(rèn)為是“六個(gè)核心素養(yǎng)”?；净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)可以理解為，課堂教學(xué)中，構(gòu)建實(shí)驗(yàn)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析、討論、求解的學(xué)習(xí)，獲得從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí)和對(duì)“六核”的培養(yǎng)。毋庸諱言，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)必須通過(guò)課堂教學(xué)的活動(dòng)來(lái)完成與形成。課堂中怎樣的教學(xué)活動(dòng)才是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)所具備的活動(dòng)？

二、由案例說(shuō)“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)

（一）案例一：“截面”的教學(xué)

（1）上面為兩個(gè)幾何體平面展開(kāi)圖

①畫(huà)出這兩個(gè)幾何體并計(jì)算它們的體積。

②說(shuō)說(shuō)它們與棱長(zhǎng)為2的正方體的關(guān)系？如有截面并說(shuō)出截面。

（2）一種元器件為直四棱柱ABCD-A'B'C'D'（ 側(cè)棱垂直底面），AB=AD=A A'=2BC=4，AD∥BC。P為矩形D D'C'C內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)在過(guò)P與棱B B'的截面上植入電子芯片。

①畫(huà)出過(guò)P與棱B B'的截面并說(shuō)明作圖的理由。

②試討論芯片的尺寸大小。 （結(jié)論不唯一，合理即可）

本案例兩個(gè)問(wèn)題都是以“截面”為中心構(gòu)建的立體幾何問(wèn)題，它們?cè)陬}設(shè)與設(shè)問(wèn)上采用更富有探索性的實(shí)驗(yàn)過(guò)程設(shè)計(jì)。張奠宙教授就數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的特征指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)， 是具有數(shù)學(xué)目標(biāo)的主動(dòng)學(xué)習(xí)的結(jié)果。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)源于日常生活經(jīng)驗(yàn)， 卻高于日常經(jīng)驗(yàn)。”這說(shuō)明落實(shí)“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”課堂教學(xué)過(guò)程具有數(shù)學(xué)性。這種數(shù)學(xué)性特征之一為：課堂教學(xué)的教學(xué)活動(dòng)具有探討、分析、求解等環(huán)節(jié)，把知識(shí)傳授與獲取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)充分結(jié)合。不難看出，本案例的問(wèn)題（1）通過(guò)以二個(gè)幾何體平面展開(kāi)圖為載體，分析、討論幾何體的切割與組合，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中探索幾何體中截面的形成，獲得認(rèn)識(shí)截面的經(jīng)驗(yàn)。這一教學(xué)過(guò)程需要直觀想象、運(yùn)用邏輯思維及幾何計(jì)算。這種數(shù)學(xué)性另一特征體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容要有數(shù)學(xué)性。一般情況下，課堂教學(xué)內(nèi)容依據(jù)的是教材的內(nèi)容，而教材內(nèi)容是課堂教學(xué)的藍(lán)本。有經(jīng)驗(yàn)的一線(xiàn)教師根據(jù)所教學(xué)生的實(shí)際情況往往會(huì)對(duì)內(nèi)容進(jìn)行二次加工。在這一過(guò)程中不能忽略?xún)?nèi)容的數(shù)學(xué)性。此外，在“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”課堂教學(xué)中引進(jìn)與改編一些教學(xué)材料時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)性。本案例問(wèn)題（2）是根據(jù)高中數(shù)學(xué)必修2（人教版）P59例3改編過(guò)來(lái)的，較原題在設(shè)問(wèn)上更具開(kāi)放性，較問(wèn)題1在對(duì)“截面”認(rèn)識(shí)上更上一層樓。問(wèn)題（2）的第②問(wèn)要討論芯片的尺寸必須計(jì)算截面的尺寸，包括長(zhǎng)、寬與周長(zhǎng)、面積。所以芯片的尺寸在截面范圍內(nèi)都可以，而形狀不限。該問(wèn)題本質(zhì)是強(qiáng)化對(duì)“截面”的認(rèn)識(shí)。

（二）案例二：“對(duì)稱(chēng)”教學(xué)

地圖上有城市A，B，它們?cè)诤觝的同一側(cè)但不在河沿上（河h可視為直線(xiàn)）?，F(xiàn)某規(guī)劃設(shè)計(jì)人員只有一把尺子，計(jì)劃在河沿上找一處建立貨物中轉(zhuǎn)站P，使城市A、B與P的距離和最短。

（1）若以河h為x軸，如何在直角坐標(biāo)系中將上述問(wèn)題表述出來(lái)？

（2）寫(xiě)出該規(guī)劃人員的操作與計(jì)算過(guò)程。（該人員在地圖上測(cè)出長(zhǎng)度可設(shè)為a、b、c等小寫(xiě)字母。地圖長(zhǎng)度單位為cm，實(shí)際距離單位為km）

（3）說(shuō)說(shuō)：P是以A、B為焦點(diǎn)，橢圓與直線(xiàn)h的位置關(guān)系？

“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)的課堂結(jié)構(gòu)如何？簡(jiǎn)單地說(shuō)怎樣的課才符合“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)要求？史寧中教授所闡述的是，新課標(biāo)之前教學(xué)大綱強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的二維性即基本知識(shí)與基本技能，課堂教學(xué)活動(dòng)圍繞知識(shí)的傳授、應(yīng)用與技能（運(yùn)算與證明）的熟練來(lái)展開(kāi)。新標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程實(shí)驗(yàn)階段，教學(xué)目標(biāo)增加了數(shù)學(xué)思想與方法，形成了目前每節(jié)數(shù)學(xué)課三維標(biāo)準(zhǔn)，旨在加強(qiáng)對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)。新課標(biāo)重在提倡對(duì)學(xué)生智慧的培養(yǎng)。筆者認(rèn)為一個(gè)人對(duì)某一件事行為能力達(dá)到創(chuàng)新與變革的時(shí)候便可以稱(chēng)之為智慧。史教授在文中又指出，智慧不是表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)與思考的結(jié)果上，而是表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)與思考的過(guò)程中。這說(shuō)明知識(shí)結(jié)論的運(yùn)用不能產(chǎn)生智慧，也不能有效培養(yǎng)智慧。課堂教學(xué)中，應(yīng)有目的地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，在過(guò)程的活動(dòng)中獲得經(jīng)驗(yàn)，形成歸納的數(shù)學(xué)思想，鍛煉創(chuàng)新意識(shí)。本問(wèn)題3個(gè)設(shè)問(wèn)層層遞進(jìn)，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題建模遞進(jìn)式進(jìn)行試驗(yàn)探索，找到P點(diǎn)的位置。層次1即設(shè)問(wèn)（1），P點(diǎn)為x軸上與A、B距離和最小的點(diǎn)。這一設(shè)問(wèn)另一功能是鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的素養(yǎng)。層次2即設(shè)問(wèn)（2），由對(duì)稱(chēng)知識(shí)已知P是A 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'與B連線(xiàn)A'B與x軸的交點(diǎn)（將A換成B也可）。層次3即設(shè)問(wèn)（3），以（2）中P得到|PA|+|PB|為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，|AB|為焦距橢圓M，在直角坐標(biāo)系作平行x軸的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與橢圓M相切時(shí)切點(diǎn)為P（此時(shí)l與x軸重合）。這樣的教學(xué)過(guò)程浸透對(duì)“學(xué)生智慧的培養(yǎng)”，會(huì)有效提高其學(xué)科素養(yǎng)。

所以，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)就是針對(duì)性強(qiáng)且富有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的教學(xué)?！盎净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)的結(jié)構(gòu)是帶有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的過(guò)程教學(xué)。

三、“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)探討

前面已經(jīng)提到“四基”“四能”是“六核”的細(xì)化與具體體現(xiàn)。 落實(shí)“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)要有對(duì)“六核”培養(yǎng)的具體指向與具體措施。案例一教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的核心素養(yǎng);案例二教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的核心素養(yǎng)，還可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)實(shí)際問(wèn)題的能力。

情境材料要具有時(shí)效性與實(shí)用性。前面已經(jīng)論述了“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)是具有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)特征的過(guò)程教學(xué)，情景材料必不可少。筆者認(rèn)為材料應(yīng)來(lái)源于生活但必須高于生活;材料也要適合學(xué)生，不能把高中課堂材料放到初中教學(xué)。 此外，所選材料還要與學(xué)生“知識(shí)與技能”相匹配。

四、結(jié)語(yǔ)

過(guò)程教學(xué)目標(biāo)要明確，方式要靈活?！盎净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)中，教學(xué)活動(dòng)一定要有經(jīng)驗(yàn)的獲得，這些經(jīng)驗(yàn)可以是某一個(gè)結(jié)論、構(gòu)建的模型、有實(shí)用價(jià)值的結(jié)果等，這些經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)有啟迪作用?！盎净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)”教學(xué)中，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)充分與現(xiàn)代信息技術(shù)融合，利用圖形計(jì)算器、建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室都是行之有效的方式方法，能極大地增強(qiáng)教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：北京人民教育出版社，2018.

[2]史寧中.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46（5）：1-5.

[3]黃加衛(wèi).摭談“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”及其案例研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2009（4）：6-8.