吳鑫育，趙 凱，李心丹，馬超群

(1．安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2．南京大學(xué)工程管理學(xué)院，江蘇 南京 210093；3. 湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

1 引言

隨著我國(guó)金融市場(chǎng)的快速發(fā)展, 越來越多的金融衍生產(chǎn)品得以推出, 例如權(quán)證、外匯期權(quán)和可轉(zhuǎn)換債券等等。特別地, 2015年2月9日, 我國(guó)首支股票期權(quán)——上證50ETF期權(quán)正式推出, 標(biāo)志著我國(guó)資本市場(chǎng)正式迎來“期權(quán)時(shí)代”, 這對(duì)于發(fā)展和完善我國(guó)金融衍生產(chǎn)品市場(chǎng)具有劃時(shí)代的意義。最近, 2017年3月31日, 我國(guó)首個(gè)商品期權(quán)產(chǎn)品——豆粕期權(quán)又在大連商品交易所正式掛牌交易, 填補(bǔ)了我國(guó)商品期權(quán)的空白。另外, 中國(guó)金融期貨交易所于2013年11月8日正式開展了滬深300股指期權(quán)仿真交易, 上海證券交易所也于2013年12月26日正式全面啟動(dòng)了個(gè)股期權(quán)全真模擬交易, 這些期權(quán)的推出也已是大勢(shì)所趨, 必將對(duì)我國(guó)金融市場(chǎng)產(chǎn)生重大影響。因此, 合理地為這些復(fù)雜金融衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)顯得日趨重要, 也是我國(guó)發(fā)展金融衍生產(chǎn)品、規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)、穩(wěn)定金融市場(chǎng)的必經(jīng)之路。

期權(quán)定價(jià)中的一個(gè)關(guān)鍵問題是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)性的準(zhǔn)確描述。傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)問題往往采用Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價(jià)模型加以處理[1]。然而, B-S期權(quán)定價(jià)模型中標(biāo)的資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布且波動(dòng)率是常數(shù)的假設(shè)與經(jīng)驗(yàn)特征事實(shí)往往不相符, 不能解釋“波動(dòng)率微笑”(Volatility smile)和“杠桿效應(yīng)”(Leverage effect)。由于B-S期權(quán)定價(jià)模型嚴(yán)格的假設(shè)與現(xiàn)實(shí)存在較大的差距, 因此, 學(xué)者們圍繞著如何放寬假設(shè)條件對(duì)傳統(tǒng)的B-S期權(quán)定價(jià)模型加以修正和拓展, 尋找更符合實(shí)際的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)模型——隨機(jī)波動(dòng)率(Stochastic volatility, SV)模型, 已取得了豐富的研究成果[2-3]。在眾多的SV模型中, 仿射Heston模型由于能夠給出歐式期權(quán)的精確閉型定價(jià)公式以及較好地解釋期權(quán)定價(jià)中的“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象, 在實(shí)際中獲得了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用。 與此同時(shí), 仿射Heston模型也受到越來越多的批判, 該模型對(duì)于描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格以及期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)性仍不充分[4]。 因而, 非仿射SV模型在金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中獲得越來越多的關(guān)注, 并取得了豐富的研究成果[5-11]。

由于SV期權(quán)定價(jià)是在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度(風(fēng)險(xiǎn)中性世界)下進(jìn)行的, 需要將客觀概率測(cè)度(現(xiàn)實(shí)世界)下的SV模型變換到風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下, 而由客觀概率測(cè)度變換到風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的一個(gè)關(guān)鍵問題是關(guān)于方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的合理識(shí)別。 在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的跨期資產(chǎn)定價(jià)體系下, 方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)與市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡(風(fēng)險(xiǎn)偏好)具有緊密的聯(lián)系[12]。 在傳統(tǒng)的SV期權(quán)定價(jià)模型(例如Heston模型)中, 方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)被設(shè)定為方差的一個(gè)線性函數(shù), 這隱含著投資者常數(shù)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。 顯然, 這樣的設(shè)定過于局限。 基于傳統(tǒng)的SV期權(quán)定價(jià)模型, Johannes等[13]考察了S&P 500指數(shù)收益率與期權(quán)價(jià)格兩者隱含的波動(dòng)率信息, 發(fā)現(xiàn)其存在不一致性, 他們對(duì)此的解釋是方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)不合理的設(shè)定以及模型缺乏足夠的靈活性, 通過引入更靈活的方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)(時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡)來增加模型靈活性可能有助于解釋這種結(jié)果。

近年來, 眾多學(xué)者對(duì)時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡進(jìn)行了深入的研究。 Rosenberg和Engle[14]和Grith等[15]發(fā)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)厭惡是時(shí)變的, 且存在自相關(guān)性、均值回復(fù)和反周期性。 Li[16]和Bekaert等[17]考察了時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡與資產(chǎn)價(jià)格之間的聯(lián)系。 Cotter和Hanly[18]發(fā)現(xiàn)基于時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡有助于改進(jìn)能源風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖表現(xiàn)。 Bollerslev等[12]估計(jì)了S&P 500市場(chǎng)指數(shù)的時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡, 發(fā)現(xiàn)其有助于預(yù)測(cè)未來股票市場(chǎng)收益。 Steffensen[19]考慮了時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡下的最優(yōu)消費(fèi)與投資問題。 Kim[20]和Cho[21]分別在CCAPM和ICAPM體系下, 考慮了時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡的估計(jì)問題。 Barone-Adesi等[22]采用行為定價(jià)核理論, 估計(jì)了投資者的時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡, 發(fā)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平在市場(chǎng)損失后相比于在市場(chǎng)收益后變得更低。

由上述可見, 關(guān)于時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡的研究已經(jīng)取得了豐富的研究成果, 時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡能夠解釋資產(chǎn)價(jià)格的諸多特征, 對(duì)金融市場(chǎng)相關(guān)變量的估計(jì)產(chǎn)生重要的影響。 然而, 現(xiàn)有關(guān)于時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)期權(quán)價(jià)格影響方面的研究還非常少見。 最近, Kiesel和Rahe[23]考慮了時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡下的S&P 500指數(shù)期權(quán)定價(jià)問題, 他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)市場(chǎng)面臨壓力時(shí)風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平顯著增加, 時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡有助于更靈活地捕獲隱含波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu), 有力地解釋期權(quán)定價(jià)中的“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象, 提供更為合理的風(fēng)險(xiǎn)值預(yù)測(cè)結(jié)果。 然而, Kiesel和Rahe[23]構(gòu)建的模型仍屬于仿射SV期權(quán)定價(jià)模型, 研究針對(duì)的是美國(guó)期權(quán)市場(chǎng), 且對(duì)模型的估計(jì)僅采用S&P 500指數(shù)期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù), 忽略了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)信息。

基于以上分析, 本文對(duì)傳統(tǒng)的非仿射SV期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行擴(kuò)展, 構(gòu)建符合期權(quán)市場(chǎng)實(shí)際的非仿射時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡SV(TVRA-SV)期權(quán)定價(jià)模型, 對(duì)期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行深入研究, 考察時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。 值得注意的是, 傳統(tǒng)的SV期權(quán)定價(jià)模型大多屬于單因子仿射波動(dòng)率模型, 本文構(gòu)建的模型屬于雙因子非仿射波動(dòng)率模型。 Christoffersen等[24]研究表明, 單因子的波動(dòng)率模型不能同時(shí)捕獲波動(dòng)率微笑的水平與傾斜形態(tài), 有必要引入多因子波動(dòng)率模型來對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。 近年來, Li Gang和Zhang Chu[25]、Romo[26]和Bardgett等[27]也都研究發(fā)現(xiàn), 基于多因子SV期權(quán)定價(jià)模型可以獲得更好的期權(quán)定價(jià)效果。 進(jìn)一步, 本文采用標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)數(shù)據(jù)信息, 建立基于連續(xù)粒子濾波的極大似然估計(jì)方法, 對(duì)構(gòu)建的TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)(客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性參數(shù)聯(lián)合估計(jì))。 最后, 通過采用我國(guó)上證50ETF期權(quán)的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究, 對(duì)構(gòu)建的理論定價(jià)模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn), 說明本文構(gòu)建模型的合理性。

2 TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型

假設(shè)客觀概率測(cè)度P下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)性滿足如下TVRA-SV模型

(1)

dVt=κV(Mt-Vt)dt+σVVt(ρdW1,t

(2)

dMt=κM(θM-Mt)dt+σMMtdW3,t

(3)

其中St是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格,Vt是標(biāo)的資產(chǎn)收益率的方差,Mt是方差的隨機(jī)長(zhǎng)期均值(隨機(jī)中心趨勢(shì)過程),W1,t,W2,t與W3,t是客觀概率測(cè)度P下相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),μ是標(biāo)的資產(chǎn)收益率的均值,κV是方差均值回歸的速度,σV是方差的波動(dòng)率,κM是隨機(jī)中心趨勢(shì)過程均值回歸的速度,θM是隨機(jī)中心趨勢(shì)過程的長(zhǎng)期均值,σM是隨機(jī)中心趨勢(shì)過程的波動(dòng)率,ρ代表“杠桿效應(yīng)”, 其對(duì)于期權(quán)定價(jià)具有重要影響, 可以描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分布負(fù)的偏態(tài), 產(chǎn)生“波動(dòng)率微笑”[24,28]。

TVRA-SV模型(1)-(3)是一個(gè)雙因子非仿射SV模型, 它是基于單因子的非仿射GARCH擴(kuò)散SV模型擴(kuò)展得到。 事實(shí)上, 當(dāng)Mt為常數(shù)(即dMt=0), TVRA-SV模型(1)-(3)即退化為單因子的非仿射GARCH擴(kuò)散SV模型, 也即常數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡SV(CRA-SV)模型。 進(jìn)一步的參數(shù)約束:dVt=0, 即得到B-S模型。 Christoffersen等[29]、Kaeck和Alexander[7]、Wu Xinyu等[30-31]和Yang Hanxue和Kanniainen[32]研究表明, GARCH擴(kuò)散SV模型相比其它SV模型能夠刻畫更為現(xiàn)實(shí)的波動(dòng)率路徑及波動(dòng)率分布狀態(tài), 顯著改進(jìn)期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)。

為了推導(dǎo)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)性滿足的TVRA-SV模型, 定義

(4)

其中γi,t,i=1,2,3分別是St,Vt和Mt的風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。 設(shè)定由客觀概率測(cè)度P變換到風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)過程為:

(5)

進(jìn)一步, 為了使風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格貼現(xiàn)過程是一個(gè)鞅, 以及客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下模型在結(jié)構(gòu)上的一致性, 約束

(6)

(7)

γ3,t=0

(8)

應(yīng)用Girsanov定理, 得到風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過程為:

(9)

(10)

(11)

在傳統(tǒng)的SV期權(quán)定價(jià)模型中, 方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)設(shè)定為方差的一個(gè)線性函數(shù), 即

(12)

這隱含著投資者常數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡, 缺乏足夠的靈活性。 本文模型隱含的方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)由一個(gè)額外的隨機(jī)中心趨勢(shì)過程(也稱為風(fēng)險(xiǎn)厭惡代理過程)Mt驅(qū)動(dòng), 即

(13)

該方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)設(shè)定顯然具有更高的靈活性。

由于非仿射SV模型下無法獲得期權(quán)的閉型定價(jià)公式, 本文采用蒙特卡羅模擬方法來計(jì)算期權(quán)價(jià)格。 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理, 到期期限為τ的歐式期權(quán)在零時(shí)刻的價(jià)格為:

(14)

(15)

為評(píng)價(jià)模型性能, 說明時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響, 分析隨機(jī)中心趨勢(shì)(風(fēng)險(xiǎn)厭惡代理變量)Mt對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。 針對(duì)不同的方差V0和隨機(jī)中心趨勢(shì)M0值, 計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格, 得到結(jié)果如圖1所示。 顯而易見, 期權(quán)價(jià)格隨著方差V0和隨機(jī)中心趨勢(shì)M0值的增加而增加, 且隨機(jī)中心趨勢(shì)M0對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響明顯要大于方差V0對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

圖1 時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響(參數(shù)設(shè)定為: σM=0.5, ρ=-0.5)

3 估計(jì)方法

將定價(jià)模型應(yīng)用于實(shí)際的一個(gè)關(guān)鍵問題就是如何采用實(shí)際市場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)得到模型參數(shù)的估計(jì)值, 即定價(jià)模型的參數(shù)估計(jì)問題。 本文考慮同時(shí)采用標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)數(shù)據(jù)信息來估計(jì)定價(jià)模型的參數(shù), 以聯(lián)合估計(jì)得到定價(jià)模型客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性參數(shù), 保證模型客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的一致性, 而這在理論上與實(shí)際中也是非常重要的[33]。

然而, 直接采用期權(quán)數(shù)據(jù)的估計(jì)方法由于在其估計(jì)過程中不可避免地涉及SV模型下的期權(quán)定價(jià), 估計(jì)程序非常耗時(shí), 特別當(dāng)定價(jià)模型(如非仿射SV模型)缺乏閉型定價(jià)公式而需要采用蒙特卡羅方法來計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí), 其估計(jì)效率愈加低下。 基于此, 本文采用上證50ETF與iVX波動(dòng)率指數(shù)數(shù)據(jù), 建立基于連續(xù)粒子濾波的極大似然估計(jì)方法, 對(duì)TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。 中國(guó)波指(iVX)是由上海證券交易所發(fā)布, 用于衡量上證50ETF未來30日的預(yù)期波動(dòng)。 該指數(shù)是根據(jù)方差互換的原理, 采用上海證券交易所交易的50ETF期權(quán)價(jià)格計(jì)算編制而得, 因此包含了豐富的上證50ETF期權(quán)價(jià)格與波動(dòng)率動(dòng)態(tài)性信息。 采用iVX進(jìn)行估計(jì)可以避免SV模型下的期權(quán)定價(jià), 從而能夠極大地節(jié)省計(jì)算時(shí)間, 提高模型參數(shù)估計(jì)效率[34]。 粒子濾波是一種序貫蒙特卡羅方法, 它通過模擬抽樣來產(chǎn)生預(yù)測(cè)和濾波分布。 該方法易于實(shí)現(xiàn), 且具有非常強(qiáng)的適用性, 對(duì)于處理包含不可觀測(cè)狀態(tài)變量的各種非線性模型非常方便[29,35-36]。

首先對(duì)TVRA-SV模型作平穩(wěn)變換, 令st=logSt,vt=logVt,mt=logMt, 應(yīng)用It引理得到:

(16)

(17)

(18)

將式(16)-(18)Euler離散化, 得到:

(19)

(20)

(21)

其中Δt是時(shí)間步長(zhǎng),ε1,t,ε2,t和ε3,t是獨(dú)立同分布(i.i.d.)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量, 且相互獨(dú)立。

為了估計(jì)TVRA-SV模型的風(fēng)險(xiǎn)中性參數(shù), 引入包含豐富期權(quán)價(jià)格信息的iVX波動(dòng)率指數(shù)數(shù)據(jù)。 假設(shè)iVX觀測(cè)值與理論值具有如下的乘性誤差結(jié)構(gòu)

logiVXt=logiVX(Vt,Mt;ΘQ)+ut

(22)

由此, 式(19)-(22)構(gòu)成非線性、非高斯?fàn)顟B(tài)空間模型, 參數(shù)向量為Θ=[ΘP,ΘQ,δ], 其中ΘP是模型客觀測(cè)度下的參數(shù)。 設(shè)yt=(st-st-1,logiVXt)′是標(biāo)的資產(chǎn)(上證50ETF)收益率與對(duì)數(shù)iVX波動(dòng)率指數(shù)聯(lián)合觀測(cè)值,λt=(vt,mt)′是模型中不可觀測(cè)的狀態(tài)向量. 狀態(tài)空間模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以寫為:

(23)

(24)

上式可以通過蒙特卡羅模擬近似得到, 即

(25)

根據(jù)貝葉斯原理有

(26)

其中p(λt+1|t+1;Θ)稱為濾波密度。

粒子濾波即根據(jù)式(26), 通過模擬抽樣(粒子)來遞歸地獲得濾波密度p(λt+1|t+1;Θ)的近似。 具體地, 假設(shè)獲得等權(quán)重抽樣t;Θ),i=1,…,N, 根據(jù)式(26)得到濾波密度p(λt+1|t+1;Θ)近似

(27)

為了從式(27)中抽樣, 可以利用粒子濾波方法。 最經(jīng)典和常用的粒子濾波方法是由Gordon等[37]提出的抽樣重要性重抽樣(sampling/importance resampling, SIR)濾波方法。 然而, 基于標(biāo)準(zhǔn)的SIR濾波算法得到的模型似然函數(shù)通常是不連續(xù)的, 這給采用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法來最大化相應(yīng)的似然函數(shù)造成困難。 基于此, 本文采用連續(xù)粒子濾波(CSIR)方法[38]。

估計(jì)狀態(tài)空間模型(19)-(22)的似然函數(shù)的CSIR濾波算法具體如下:

步驟2: 計(jì)算歸一化權(quán)重

(28)

其中

基于CSIR算法, 得到連續(xù)的似然估計(jì)為:

(29)

(30)

上述對(duì)數(shù)似然估計(jì)不是無偏的, 進(jìn)行偏差修正得到無偏的對(duì)數(shù)似然的估計(jì)為:

(31)

其中

從而, 基于極大似然方法可以得到TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性參數(shù)的聯(lián)合模擬極大似然估計(jì)為:

(32)

4 實(shí)證研究

4.1 數(shù)據(jù)

為了考察TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)表現(xiàn), 本文選取我國(guó)上證50ETF期權(quán)的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。 上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)的抽樣階段選取為2017年9 月15日到2017年10月31日。 期權(quán)數(shù)據(jù)(包括期權(quán)執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)到期期限、期權(quán)類型(認(rèn)購(gòu)或認(rèn)沽)及期權(quán)收盤價(jià))來源于國(guó)泰安(CSMAR)數(shù)據(jù)庫(kù)。 考慮到到期期限過短的期權(quán)可能存在與流動(dòng)性相關(guān)的問題, 因此將期權(quán)樣本中到期期限少于7 天的期權(quán)丟掉, 共獲得2040個(gè)期權(quán)樣本數(shù)據(jù), 其中認(rèn)購(gòu)期權(quán)和認(rèn)沽期權(quán)各1020個(gè), 所有期權(quán)均為歐式期權(quán)。 對(duì)應(yīng)每個(gè)期權(quán)到期期限的無風(fēng)險(xiǎn)利率采用上海銀行間同業(yè)拆借利率(SHIBOR)通過插值計(jì)算得到。 SHIBOR數(shù)據(jù)來源于WIND資訊。

圖2 上證50ETF收益率與iVX波動(dòng)率指數(shù)時(shí)間序列圖

4.2 定價(jià)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

基于上證50ETF收益率和iVX波動(dòng)率指數(shù)聯(lián)合時(shí)間序列數(shù)據(jù), 運(yùn)用第3部分給出的基于CSIR濾波的極大似然估計(jì)方法得到TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2所示。 為了比較起見, 表2也給出了傳統(tǒng)的CRA-SV(單因子GARCH擴(kuò)散SV)期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。 CRA-SV模型可以看作是TVRA-SV模型的特例, 因此對(duì)第三部分給出的用于估計(jì)TVRA-SV模型的基于CSIR濾波的極大似然估計(jì)方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的修改即可用于CRA-SV模型的估計(jì)。 具體地, 只需要將Mt看成常數(shù), 將不可觀測(cè)的狀態(tài)變量λt修改為:λt=vt=logVt, 后面的估計(jì)程序則完全類似。

表1 上證50ETF收益率與iVX波動(dòng)率指數(shù)描述性統(tǒng)計(jì)量

注: ()中是Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量的p-值。

表2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注: 粒子數(shù)選取為N=500, Log-lik是對(duì)數(shù)似然值, AIC是赤池信息準(zhǔn)則, BIC是貝葉斯信息準(zhǔn)則, ()中是極大似然估計(jì)的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差。

從對(duì)數(shù)似然(Log-lik)值、赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)的結(jié)果可以看到, TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型相比CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型具有更高的Log-lik值以及更低的AIC和BIC值, 表明TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型相比CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果, 能夠更充分地刻畫標(biāo)的上證50ETF收益率在客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的波動(dòng)性。

基于表2給出的參數(shù)估計(jì)結(jié)果, 運(yùn)用CSIR算法可以得到濾過的方差Vt及其長(zhǎng)期均值(隨機(jī)中心趨勢(shì))Mt如圖3所示。 可以看到, 方差過程Vt相比隨機(jī)中心趨勢(shì)過程Mt具有更大的波動(dòng)性, 與σV與σM的估計(jì)結(jié)果相一致(2.8773 vs. 0.5697)。

圖3 方差(Vt)及其長(zhǎng)期均值(Mt)的濾波估計(jì)

進(jìn)一步根據(jù)式(13)計(jì)算得到方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)如圖4所示。 從圖4可以看到, 方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)并不總是為正或?yàn)樨?fù), 而是在高波動(dòng)時(shí)期為正, 低波動(dòng)率時(shí)期為正, 表明市場(chǎng)參與者具有時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)偏好特征。

圖4 方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)(VRP)的估計(jì)

4.3 期權(quán)定價(jià)

結(jié)合模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果, 選取模擬路徑數(shù)目L=50,000, 運(yùn)用蒙特卡羅模擬定價(jià)方法得到TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型下上證50ETF期權(quán)的定價(jià)結(jié)果, 進(jìn)而計(jì)算得到其定價(jià)誤差(按認(rèn)購(gòu)與認(rèn)沽)如表3所示。 為了比較, 表3 也給出了基于傳統(tǒng)B-S期權(quán)定價(jià)模型和CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)誤差。 本文期權(quán)定價(jià)誤差的計(jì)算基于相對(duì)均方根定價(jià)誤差測(cè)度:

其中Cmod是期權(quán)模型價(jià)格,Cmkt是期權(quán)觀測(cè)市場(chǎng)價(jià)格。

表3 期權(quán)定價(jià)誤差(按認(rèn)購(gòu)與認(rèn)沽)

從表3可以看到, 無論對(duì)于認(rèn)購(gòu)還是認(rèn)沽期權(quán), TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)效果都優(yōu)于B-S期權(quán)定價(jià)模型和CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)效果, 其定價(jià)誤差相比B-S 期權(quán)定價(jià)模型和CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的都明顯要更低。 總體上, TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)誤差相比B-S期權(quán)定價(jià)模型的降低了約18%, 相比CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的降低了約51%。 另外, 從表中還可以看到, TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于認(rèn)購(gòu)期權(quán)的定價(jià)效果比認(rèn)沽期權(quán)的明顯要更好。 CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型由于對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率過程刻畫不盡合理, 因此獲得最差的期權(quán)定價(jià)效果。 上述說明了時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)于期權(quán)定價(jià)的重要性以及本文提出模型的合理性。

為了進(jìn)一步考察模型對(duì)于不同類型(按實(shí)值度(moneyness)和到期期限分類)的期權(quán)在定價(jià)上的差異, 表4給出了不同類型上證50ETF期權(quán)的定價(jià)誤差。 從表4的結(jié)果可以看到, 對(duì)于各類型期權(quán), CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)效果均是最差的(具有最高的定價(jià)誤差)。 對(duì)于短期期權(quán)(到期期限為7-60 日), TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型與B-S期權(quán)定價(jià)模型在定價(jià)效果上并沒有明顯差別。 但是對(duì)于中期期權(quán)(到期期限為60-180日), 尤其是長(zhǎng)期期權(quán)(到期期限超過180日), TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型相比B-S期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)效果改進(jìn)明顯, 具有明顯更低的定價(jià)誤差。 此外, TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于實(shí)值(ITM)期權(quán)的定價(jià)效果相比對(duì)于虛值(OTM)期權(quán)的定價(jià)效果要更好, 這也可以從圖5中直觀看到。 一種可能的解釋就是, OTM期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格相對(duì)于ITM期權(quán)的要低, 更容易受到投資者的追捧, 由于我國(guó)金融市場(chǎng)投資者的投機(jī)炒作等非理性行為以及賣空交易的限制, 使得OTM期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離其理論價(jià)值, 產(chǎn)生較大的偏差。

表4 期權(quán)定價(jià)誤差(按實(shí)值度與到期期限)

注: OTM表示虛值(out-of-the-money)期權(quán), ATM表示平價(jià)(at-the-money)期權(quán), ITM表示實(shí)值(in-the-money)期權(quán), ()中是期權(quán)合約數(shù)目。

圖5 期權(quán)定價(jià)誤差(按實(shí)值度與到期期限)

5 結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)是在投資者具有常數(shù)風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)下進(jìn)行的。 然而, 現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中投資者往往具有時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡特征。 本文結(jié)合期權(quán)市場(chǎng)的實(shí)際, 構(gòu)建TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)研究, 探尋時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。 為了估計(jì)定價(jià)模型的參數(shù), 采用標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)數(shù)據(jù)信息, 建立基于CSIR濾波的極大似然估計(jì)方法。 期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)信息采用波動(dòng)率指數(shù)(iVX)作為代理, 其包含了豐富的期權(quán)價(jià)格與波動(dòng)率動(dòng)態(tài)性信息。 采用波動(dòng)率指數(shù)(iVX)進(jìn)行估計(jì)可以避免SV模型下的期權(quán)定價(jià), 降低計(jì)算量, 提高模型參數(shù)估計(jì)效率。 基于CSIR濾波的極大似然估計(jì)方法可以獲得TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性參數(shù)的聯(lián)合估計(jì), 保證定價(jià)模型客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的一致性。 采用我國(guó)期權(quán)市場(chǎng)上的上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù), 對(duì)構(gòu)建的定價(jià)模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn), 結(jié)果表明: TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型相比常數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡SV(CRA-SV)期權(quán)定價(jià)模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果, 能夠更充分地刻畫標(biāo)的上證50ETF收益率在客觀與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的波動(dòng)性; TVRA-SV期權(quán)定價(jià)模型相比傳統(tǒng)的Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價(jià)模型和CRA-SV期權(quán)定價(jià)模型都具有明顯更高的定價(jià)精確性。 本文研究工作不僅豐富和完善了現(xiàn)有的期權(quán)定價(jià)理論與參數(shù)估計(jì)方法, 而且為投資者和風(fēng)險(xiǎn)管理者提供了參考, 具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

附錄A: TVRA-SV模型下iVX公式推導(dǎo)

故有

Ms=e-κM(s-t)Mt+θM(1-e-κM(s-t))

因此

由此, 有

從而, 根據(jù)iVX的定義, 有

=aVt+bMt+c

其中τ=30/365, 以及