呂揚(yáng)

摘 要：本文圍繞一元函數(shù)的建立來(lái)闡述高職數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用信息化教學(xué)手段的全過(guò)程，幫助學(xué)生直觀生動(dòng)地理解函數(shù)關(guān)系的建立，解決傳統(tǒng)教學(xué)中不能解決的難點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)一步確定未來(lái)高職數(shù)學(xué)線上線下混合式教育的發(fā)展趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞：信息化教學(xué);MATLAB軟件;幾何畫(huà)板;教學(xué)模式

引言

函數(shù)是刻畫(huà)事物間對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要橋梁，在生活中應(yīng)用廣泛?？墒?，大部分學(xué)生卻認(rèn)為，函數(shù)除了考試以外沒(méi)有什么用。雖然他們已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)的概念，但是對(duì)函數(shù)的建立和應(yīng)用理解還不深刻。本文從學(xué)生課前反饋的問(wèn)題入手，以建立一元函數(shù)的步驟為主線，圍繞兩種類(lèi)型展開(kāi)：一是根據(jù)兩事物間確定的對(duì)應(yīng)法則量化一元函數(shù);二是根據(jù)兩事物的樣本數(shù)據(jù)擬合一元函數(shù)。在量化函數(shù)過(guò)程中，教師運(yùn)用微課視頻、幾何畫(huà)板等信息化教學(xué)手段幫助學(xué)生直觀感受生活中兩事物之間的函數(shù)關(guān)系。在擬合函數(shù)過(guò)程中，教師指導(dǎo)學(xué)生借助MATLAB軟件對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，解決傳統(tǒng)教學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題。

一、信息化教學(xué)模式[1]

信息化教學(xué)模式，是以現(xiàn)代教學(xué)理念為指導(dǎo)，以信息技術(shù)為支持，應(yīng)用現(xiàn)代教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量和效率的教學(xué)模式。在教學(xué)中，教師成為學(xué)生主動(dòng)獲取信息的幫助者、促進(jìn)者;學(xué)生變?yōu)樾畔⒓庸さ闹黧w、知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)者，信息所攜帶的知識(shí)是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)意義的對(duì)象（客體）;教學(xué)過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^(guò)情景創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題探究、協(xié)商學(xué)習(xí)、意義建構(gòu)等以學(xué)生為主體的過(guò)程;媒體作用也轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、協(xié)作式探索、意義建構(gòu)、解決實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)知工具，學(xué)生用此來(lái)查詢資料、搜索信息、進(jìn)行協(xié)作學(xué)習(xí)和會(huì)話交流。

二、信息化教學(xué)模式的實(shí)施

（一）教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)分析

本課教學(xué)主題是《揭示兩事物間的對(duì)應(yīng)關(guān)系——建立生活中的一元函數(shù)》。授課對(duì)象是大一高職學(xué)生，他們?cè)诘谝粚W(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念和初步掌握MATLAB軟件的操作，但是對(duì)函數(shù)的建立和應(yīng)用理解還不深刻。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、人才培養(yǎng)方案和學(xué)情分析，確定本課的教學(xué)目標(biāo)。知識(shí)目標(biāo)是理解一元函數(shù)的概念;掌握一元函數(shù)的建立和應(yīng)用。能力目標(biāo)是能夠根據(jù)兩事物間確定的對(duì)應(yīng)法則建立一元函數(shù);能夠根據(jù)兩事物的樣本數(shù)據(jù)建立一元函數(shù)。素養(yǎng)目標(biāo)是強(qiáng)化用數(shù)學(xué)眼光看待事物的意識(shí);提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力;形成獨(dú)立思考、團(tuán)隊(duì)合作、精益求精的匠人品質(zhì)。結(jié)合三維目標(biāo)，本課的教學(xué)重點(diǎn)為：一元函數(shù)的建立和應(yīng)用;教學(xué)難點(diǎn)是根據(jù)生活中兩事物的樣本數(shù)據(jù)建立一元函數(shù)。

（二）教學(xué)實(shí)施過(guò)程

1.課前導(dǎo)預(yù)習(xí)

（1）課前，教師活動(dòng)：教師在學(xué)習(xí)通上發(fā)布小組學(xué)習(xí)任務(wù)。

任務(wù)1：預(yù)習(xí)課中即將學(xué)習(xí)的三個(gè)生活中的函數(shù)案例，并完成相應(yīng)習(xí)題。

案例1[2] 少稱(chēng)了多少雞蛋？

一天，閆老師提著籃子（ 籃子重0.5斤）去集市買(mǎi)10斤雞蛋。當(dāng)閆老師往籃子里撿稱(chēng)好的雞蛋時(shí)，感覺(jué)比過(guò)去買(mǎi)10斤雞蛋時(shí)個(gè)數(shù)少很多，于是她將雞蛋裝進(jìn)籃子再讓攤主一起稱(chēng)共稱(chēng)得10.55斤，她即刻要求攤主補(bǔ)給少稱(chēng)部分的蛋。請(qǐng)你算一算應(yīng)補(bǔ)多少斤雞蛋？

案例2? 的士的行駛距離

某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3 km（不超過(guò)3 km按起步價(jià)付費(fèi)）;超過(guò)3 km但不超過(guò)8 km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi);超過(guò)8 km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元.現(xiàn)某人乘坐一次出租車(chē)付費(fèi)22.6元，求出租車(chē)行駛的距離。

案例3[3] 臍橙的需求函數(shù)

某地對(duì)臍橙的價(jià)格浮動(dòng)與相應(yīng)的需求量做調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立臍橙的需求函數(shù)。

習(xí)題1[4] （單選題）下列關(guān)系中的兩個(gè)量成正比例關(guān)系的是（?? ）

A、 從甲地到乙地，所用的時(shí)間和速度。

B、 正方形的面積和邊長(zhǎng)

C、 買(mǎi)同樣的作業(yè)本所花費(fèi)的錢(qián)數(shù)和作業(yè)本的數(shù)量

D、 人的體重和身高

習(xí)題2[5] （單選題）某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采用分段計(jì)費(fèi)的方法來(lái)收取每戶家庭的水費(fèi)，月用水量不超過(guò)20m3，按2元/m3收費(fèi)，超過(guò)20m3，超出部分按2.6元/m3。設(shè)每戶的月家庭用水量為x，應(yīng)交的水費(fèi)為y，若小明家六月份交水費(fèi)42.6元，則小明家該月所用的水量為（）

A、20m3??? B、 21m3??? C、 22m3??? D、 23m3

習(xí)題3[6] 某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）和相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)為下圖：

則根據(jù)上表數(shù)據(jù)，y關(guān)于x的方程為（）

A、??????? B、

C、??????? D、

任務(wù)2：每組學(xué)生調(diào)查收集一個(gè)生活中的函數(shù)案例。（以其中的三組案例為例）

案例1 一家庭（父親、母親和孩子們）計(jì)劃去某地旅游，甲旅行社說(shuō)：“如果父親買(mǎi)全票一張，其余人可享受半票優(yōu)待”;乙旅行社說(shuō)：“家庭旅行算集體票，按原價(jià)的2/3優(yōu)惠”。假設(shè)這兩家旅行社的原價(jià)均為3000元/人，試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)（建立表達(dá)式），并討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

案例2 江西省將居民用戶用電量以年為周期劃分三檔，電價(jià)分檔遞增。 第一檔為月均180千瓦時(shí)及以下，每千瓦時(shí)0.60元;第二檔為月均181千瓦時(shí)至350千瓦時(shí)，每千瓦時(shí)0.65元;第三檔為月均350千瓦時(shí)以上。每千瓦時(shí)0.90元。試寫(xiě)出每戶每月用電量x千瓦時(shí)與應(yīng)交電費(fèi)y元之間的函數(shù)解析式。

案例3 身高與體重

通過(guò)測(cè)量19個(gè)成年男性的身高與體重，得到如下數(shù)據(jù)，試求兩者之間的函數(shù)關(guān)系。

（2）課前，學(xué)生活動(dòng)：接收學(xué)習(xí)任務(wù)，根據(jù)要求按時(shí)按質(zhì)完成課前預(yù)習(xí)，將預(yù)習(xí)中遇到的疑難問(wèn)題通過(guò)學(xué)習(xí)通反饋給教師。

（3）經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)通統(tǒng)計(jì)，78%的同學(xué)認(rèn)為案例3中建立臍橙的需求函數(shù)比較難，學(xué)生完成課前習(xí)題平均得分為79分。教師分析學(xué)生的答題情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)以下三個(gè)問(wèn)題認(rèn)識(shí)不清：

a：兩事物之間是否存在函數(shù)關(guān)系？

b：如果兩事物之間的對(duì)應(yīng)法則確定，如何用函數(shù)表示？

C：如果兩事物之間的對(duì)應(yīng)法則不確定，如何利用樣本數(shù)據(jù)建立函數(shù)關(guān)系？

2.課中導(dǎo)學(xué)習(xí)

課中，為了解決三個(gè)問(wèn)題，教師分為定關(guān)系、量法則、擬法則、導(dǎo)步驟、促實(shí)踐五個(gè)環(huán)節(jié)：

（1）定關(guān)系——如何判斷兩事物之間存在函數(shù)關(guān)系？

教師播放微課視頻，引導(dǎo)學(xué)生從映射的角度理解函數(shù)的概念，即函數(shù)是一對(duì)一和多對(duì)一的映射，而且自變量x不能有剩余，因變量y可以有剩余。把x與y的關(guān)系用蘿卜籽和蘿卜坑的關(guān)系來(lái)形容，動(dòng)畫(huà)效果直觀生動(dòng)，使學(xué)生較快掌握判斷兩事物之間是否存在函數(shù)關(guān)系的方法。（如圖1所示）

（2）量法則——兩事物之間的對(duì)應(yīng)法則確定，如何量化呢？

教師選擇課前發(fā)布的“雞蛋少秤”和“打的費(fèi)用”兩個(gè)案例，指導(dǎo)每組學(xué)生按照：案例的提出、分析、解決和拓展應(yīng)用四個(gè)步驟完成計(jì)算。在“雞蛋少秤”案例中，教師運(yùn)用繞口令游戲（繞口令內(nèi)容：籃子實(shí)重0.5，秤上稱(chēng)出0.55;花生實(shí)重1.0，秤上稱(chēng)出1.1;番茄實(shí)重2.0，秤上稱(chēng)出2.2;雞蛋實(shí)重有多少，秤上稱(chēng)出10.0？）幫助學(xué)生快速理解物品的實(shí)際重量與其在秤上的重量的比值是一個(gè)定值，為10/11，二者之間是正比例函數(shù)關(guān)系，從而列出方程，得到結(jié)果，并為今后生活中如何判斷少秤提供有效做法。

在“打的費(fèi)用”案例中，的士行駛距離不同，車(chē)費(fèi)計(jì)算法則不同，需要建立分段函數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示分段函數(shù)圖像的形成過(guò)程，在圖形中直觀顯示打的費(fèi)用22.6元位于第三段解析式（見(jiàn)圖2），代入后即可算出的士行駛的距離。

（3）擬法則——如果兩事物之間的對(duì)應(yīng)法則不確定，如何利用樣本數(shù)據(jù)擬合函數(shù)關(guān)系？

教師以課前發(fā)布的、學(xué)生普遍反饋的疑難問(wèn)題：臍橙的需求函數(shù)為例。這是傳統(tǒng)手工計(jì)算無(wú)法解決的問(wèn)題，也是本課教學(xué)的難點(diǎn)。教師指導(dǎo)學(xué)生使用MATLAB軟件，分成三步走：①初步識(shí)別：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，初步識(shí)別臍橙的需求函數(shù)曲線是一條直線;（見(jiàn)圖3）②曲線擬合：用一次函數(shù)曲線對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，計(jì)算出系數(shù);③函數(shù)曲線檢驗(yàn)：畫(huà)出擬合曲線圖和原數(shù)據(jù)圖進(jìn)行對(duì)比（見(jiàn)圖4），從而得到臍橙的需求函數(shù)為。

（4）導(dǎo)步驟——建立一元函數(shù)的一般步驟是什么呢？

教師啟發(fā)學(xué)生利用xmind APP畫(huà)出建立一元函數(shù)一般步驟的思維導(dǎo)圖（如圖5所示），分享至學(xué)習(xí)通。各組學(xué)生的反饋結(jié)果表明：大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了建立一元函數(shù)的步驟，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待事物間的聯(lián)系。

（5）促實(shí)踐

每組學(xué)生按照步驟實(shí)踐操作，完成自選案例的計(jì)算，并選派一名小組代表對(duì)成果進(jìn)行展示。隨后，教師和其他組同學(xué)提出質(zhì)疑，組內(nèi)同學(xué)回答，根據(jù)表現(xiàn)打分。教師對(duì)各組完成情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，提出修改意見(jiàn)。值得一提的是，在曲線擬合這一步驟中不同學(xué)生嘗試不同的曲線進(jìn)行擬合（見(jiàn)圖6），從而找到擬合精度更優(yōu)的函數(shù)曲線，充分體現(xiàn)學(xué)生獨(dú)立思考、團(tuán)隊(duì)合作、精益求精的匠人精神。

3.課后導(dǎo)鞏固

（1）課后，教師把2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題簡(jiǎn)化后作為課后拓展訓(xùn)練題（如圖7所示）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：曲線的次數(shù)越高，擬合效果越好，但是函數(shù)越復(fù)雜。在精度、簡(jiǎn)便二者之間不知如何抉擇？教師憑借多年指導(dǎo)賽事經(jīng)驗(yàn)和當(dāng)年閱卷要點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生：在擬合曲線精度通過(guò)檢驗(yàn)的前提下，曲線越簡(jiǎn)單應(yīng)用價(jià)值越高，因此選擇二次曲線擬合（見(jiàn)圖8）：

以賽促教、以賽促學(xué)、以賽促用，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)目標(biāo)。

（2）教師在學(xué)習(xí)通上發(fā)布課后作業(yè)：

習(xí)題1[7] 小明騎自行車(chē)上學(xué)，開(kāi)始以正常速度勻速行駛，但途中自行車(chē)出了故障，只好停下來(lái)修車(chē)。后車(chē)修好之后，怕耽誤上課，加快了速度勻速行駛，則小明路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖像為（? ）

A????????????????????????????? B???????????????????????? C????????????????????????? D

習(xí)題2[8] 某城市現(xiàn)行出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：乘車(chē)不超過(guò)3km，收費(fèi)10元;超過(guò)3km，而不超過(guò)15km，超過(guò)的里程每千米（不足1km按1km計(jì)算）加收2元;超過(guò)15km，超過(guò)的里程每千米（不足1km按1km計(jì)）加收3元。則若某乘客付費(fèi)49元，則該乘客坐了多遠(yuǎn)？（?? ）

A 19千米??? B 20千米??? C 21千米??? D 22千米

習(xí)題3 在考察硝酸鈉的可溶性程度中，對(duì)一系列不同溫度觀測(cè)它在水中的溶解度，得出下表所示結(jié)果：

表4 硝酸鈉溫度與溶解度樣本數(shù)據(jù)表

則建立溫度與溶解度之間的經(jīng)驗(yàn)公式為：（?? ）

A、????? B、

C、????? D、

（3）經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)通統(tǒng)計(jì)，學(xué)生完成課后習(xí)題平均得分為95分，通過(guò)課前課后習(xí)題測(cè)試成績(jī)對(duì)比，學(xué)生對(duì)生活中兩事物之間函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)和建立有了顯著提高。

（三）教學(xué)效果

1.教學(xué)評(píng)價(jià)

（1）全過(guò)程評(píng)價(jià)

課前課后，學(xué)習(xí)通測(cè)評(píng)成績(jī)分別為79分和95分，評(píng)價(jià)客觀有效;課中，教師評(píng)分、組內(nèi)自評(píng)、組間互評(píng)有機(jī)結(jié)合，利用權(quán)重計(jì)算各組綜合得分（如圖9、圖10所示）。

（2）多元化評(píng)價(jià)

全過(guò)程評(píng)價(jià)、線上線下評(píng)價(jià)、主觀與客觀評(píng)價(jià)的多元化評(píng)價(jià)方式為量化學(xué)生成績(jī)提供科學(xué)依據(jù)。

2.利用信息化手段取得的教學(xué)效果

本課借助MATLAB軟件解決傳統(tǒng)手工計(jì)算無(wú)法解決的函數(shù)擬合問(wèn)題，借助視頻動(dòng)畫(huà)、幾何畫(huà)板軟件生動(dòng)直觀地展示教學(xué)內(nèi)容，極大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本課采用情境導(dǎo)入，說(shuō)身邊小事，藏經(jīng)濟(jì)哲理，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的親近感，既達(dá)到學(xué)以致用的效果，又將課程思政內(nèi)容潛移默化其中，體現(xiàn)了立德樹(shù)人的教育思想。

四、結(jié)語(yǔ)

本課選取的案例具有代表性，建立一元函數(shù)的步驟具有一般性，但是具體問(wèn)題還需要具體分析。本課教學(xué)團(tuán)隊(duì)將不斷收集生活中、學(xué)生專(zhuān)業(yè)課中涉及的數(shù)學(xué)案例，不斷完善網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)中的數(shù)字資源。本課的教學(xué)思路可以推廣，探討極限、導(dǎo)數(shù)、積分等數(shù)學(xué)概念在社會(huì)生活中的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)為各領(lǐng)域服務(wù)的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1] https：//baike.baidu.com/item/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E5%8C%96%E6%95%99%E5%AD%A6/8639795.

[2] 宋自?shī)^.高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類(lèi)）[M].江西：江西高校出版社，2018.

[3] 何先應(yīng).實(shí)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4] https：//zhidao.baidu.com/question/937389384639516532.html

[5] https：//zhidao.baidu.com/question/753080758655371964.html

[6] https：//zhidao.baidu.com/question/1830914147443599580.html

[7] https：//zhidao.baidu.com/question/136029048525339045.html

[8] https：//zhidao.baidu.com/question/525557303035111805.html