趙慧珂　周栗仙　楊紅　周麗

【摘 要】本文在實(shí)物長度、地理位置、時(shí)間已知的前提下，研究物體影長的變化規(guī)律。根據(jù)太陽的變化規(guī)律，通過中間變量太陽高度角、赤緯角和時(shí)角確立影長模型，運(yùn)用單因素控制變量法分析影長關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律。從而為太陽影子定位技術(shù)等提供了理論依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】太陽影長；太陽高度角；Matlab軟件

Study on Parameter Model of The Suns Shadow Length

ZHAO Hui-ke ZHOU Li-xian YANG Hong ZHOU Li

（College of Science， Hunan Agriculture University， Changsha Hunan 410128， China）

【Abstract】In physical length， location， time， under the premise of known， studies the changing rule of the length of the shadow. According to the principle of trigonometric functions， intermediate variable Angle of the sun， the shadow length model established declination Angle and the Angle， and using the method of single factor control variable analysis shadow length about the change rule of each parameter. As the sun shadow positioning technology and provides a theoretical basis.

【Key words】The length of the shadow； Trigonometric function； Matlab

“日長影移”是人人熟知的自然現(xiàn)象，這個(gè)詞說明太陽影子變化與太陽的活動(dòng)有著密切的聯(lián)系。我們的祖先利用這個(gè)現(xiàn)象制作的日晷，是當(dāng)時(shí)最早且最精確的計(jì)時(shí)工具之一。理論研究中，太陽影子與直桿所處的位置、給定的時(shí)間和桿長都有密切聯(lián)系，我們通過太陽高度角、赤緯角和時(shí)角確立影長模型，并分析影長與各參數(shù)的變化規(guī)律。這正是通過太陽光影變換獲得時(shí)間和地理信息的關(guān)鍵。

1 建立影長的數(shù)學(xué)模型

1.1 背景知識(shí)

可見，影長與當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度P（φ，Φ）、直桿高度H、當(dāng)?shù)貢r(shí)間T（t，n）有關(guān)。

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 應(yīng)用建立的模型畫出2015年10月22日北京時(shí)間9：00-15：00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒，東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。

應(yīng)用我們建立的模型用Matlab進(jìn)行編程，繪制成圖像如圖1。

圖1

影長的變化曲線類似于凹拋物線，最短影長時(shí)刻為12：12分左右，影長為3.84米。結(jié)果顯然是符合常理的。由于北京時(shí)間指東經(jīng)120度（即東八區(qū)區(qū)時(shí)），其最短影長出現(xiàn)在正午12點(diǎn)，而天安門廣場(chǎng)處于東經(jīng)116度，故最短影長應(yīng)出現(xiàn)在北京時(shí)間12點(diǎn)以后。

2.2 影長隨各參數(shù)的變化規(guī)律

分析影長關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，運(yùn)用控制變量法分析某個(gè)參數(shù)對(duì)其影響，并用Matlab軟件進(jìn)行編程求解得如下結(jié)果：

1）桿長參數(shù)H

2）緯度參數(shù)Φ

在回歸線至極圈范圍內(nèi)，即圖中的緯度[0°，90°]內(nèi)，曲線隨緯度的增加總趨勢(shì)是增加的。由于緯度的升高，太陽高度角變小，從而影長變長。如圖2。

圖2 影長隨緯度的變化曲線

3）日期參數(shù)n

符合客觀規(guī)律，結(jié)合地理知識(shí)中二十四節(jié)氣可知，12月22日到6月22日，在太陽直射點(diǎn)向北移動(dòng)的過程中，北回歸線及其以北各地的正午太陽高度角逐漸增大，那么日影逐漸縮短；6月22日左右，太陽直射北回歸線，北回歸線及其以北各地的正午太陽高度角達(dá)到全年最大，影長為全年最短；6月22日到12月22日左右，太陽直射點(diǎn)向南移動(dòng)過程中，北回歸線及其以北各地的正午太陽高度角逐漸變小，那么日影逐漸增大。如圖3。

3 模型修正

由于以上太陽高度角、太陽赤緯角、太陽方位角和時(shí)角都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式和假定條件成立的前提下得到的，會(huì)存在一定的計(jì)算誤差，可以用誤差公式觀察每個(gè)參數(shù)對(duì)影長的影響程度，進(jìn)行單因素敏感度分析，使模型精度更高。

絕對(duì)誤差公式：

4 結(jié)束語

通過中間變量太陽高度角、赤緯角、時(shí)角建立影長模型，分析得出影長與當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度P（φ，Φ）、時(shí)間T（t，n）、桿長H有關(guān)，運(yùn)用控制變量法得出：影長對(duì)日期和時(shí)刻都呈現(xiàn)先減小，后增大的趨勢(shì)；對(duì)桿長呈正比關(guān)系；對(duì)緯度呈上升趨勢(shì)，且增長速率遞增。影長的軌跡模型及其相關(guān)領(lǐng)域具有較高的研究?jī)r(jià)值，為太陽影子定位技術(shù)確定地點(diǎn)和日期提供了理論依據(jù)。事實(shí)上還可以利用影子軌跡的數(shù)學(xué)模型反求建筑物朝向、合理間距、采光效果等問題，這為房屋的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

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