范靜

摘 要：“雞兔同籠”是我國古代著名的古算趣題，大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”面對此類問題，常常被人們吐槽，好像數(shù)學(xué)問題高深莫測，其實(shí)不然，“數(shù)形結(jié)合”的方法會帶著我們走進(jìn)經(jīng)典，輕輕松松地解決問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;深度學(xué)習(xí);雞兔同籠

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中最重要、最基本的思想方法之一。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)少形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！崩脭?shù)形結(jié)合，能使數(shù)與形統(tǒng)一起來，以形助數(shù)、以數(shù)輔形，可以使許多數(shù)學(xué)問題變得簡單化。

一、以形助數(shù)，抽象變直觀

以上面的“雞兔同籠”問題為例，簡筆畫圖能幫到我們。

（一）畫圖法

上有35頭，以橢圓形替代頭;下有94足，先都畫上兩只腳：共有35×2=70（只）腳;還差94-70=24（只）腳，是因?yàn)槲覀儼哑渲械耐米涌闯闪穗u，有些應(yīng)該是兔子，兔子是4條腿，再2只2只添畫，這樣從圖上就可以一目了然，清楚地看到35頭中有12只兔子，23只雞。

（二）抬腿法

這是一個(gè)很有趣的方法，就是一聲令下，讓雞和兔子都抬起一只腳，那么地上會剩94-35=59（只）腳，然后再抬起一只腳，這時(shí)的場面更滑稽，雞都坐在了地上，兔子則只剩下兩條腿在地上，則地上現(xiàn)在還有59-35=24（只）腳，全是兔子的了，每只小兔還有2只腳在地上，用24÷2=12（只）就是兔子的只數(shù)了，隨即雞的只數(shù)也可以算出來了，雞有35-12=23（只）。

還可以讓雞抬一只腳、兔抬兩只腳，一次就少了一半的腳數(shù)，再各自抬起一只腳，就只剩兔子的一只腳了，地上的腳數(shù)就是兔子的只數(shù)。算法如下：

兔：94÷2-35=12（只），雞：35-12=23（只）。

以上兩種方法，在簡筆畫的幫助下，數(shù)形完美結(jié)合，形象直觀地將復(fù)雜的問題簡單化，通俗易懂，適合小學(xué)低年段的孩子學(xué)習(xí)。

二、以數(shù)輔形，拓展思維

（一）列舉法

列舉法是數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法，也叫枚舉法。就是解決問題時(shí)，根據(jù)解題的需要，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來并加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。

1.有序列舉

這是常規(guī)的逐一列舉法，根據(jù)雞和兔共35只的信息，假設(shè)雞只有1只，那么兔就有34只，腿共有138條……這樣的逐一舉例，直至尋找到相符合的答案。

2.跳躍列舉

這種是先估計(jì)雞和兔數(shù)量的可能范圍，來減少舉例的次數(shù)，達(dá)到盡快鎖定目標(biāo)答案。當(dāng)學(xué)生在嘗試雞有1只，兔有34只時(shí)，腳的總數(shù)就會有138只，比起94足多了很多，說明兔子的只數(shù)多了，就調(diào)整為雞有10只，兔有25只，腳的總數(shù)會有120只，還是多;再進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)調(diào)到雞有25只，兔有10只，腳的總數(shù)會有90只，發(fā)現(xiàn)腳的只數(shù)變少了，就再往回調(diào)，直到得出合適結(jié)果。

3.取中列舉

這種方法是先假設(shè)雞和兔的只數(shù)差不多，從中間數(shù)入手，由于雞和兔共35只，那么就先設(shè)定雞17只的話、兔有18只，接著在舉例中根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)情況確定舉例方向，這樣可以大大縮小舉例范圍，在調(diào)整中得到雞有23只，兔有12只。

（二）假設(shè)法

所謂假設(shè)法，就是根據(jù)題目中的已知信息和相關(guān)問題作出某種假設(shè)，可以假設(shè)某兩種數(shù)量是同一種量，或者把題目中缺少的信息假設(shè)出來等，這樣就可以使問題得到順利的解決。

1.假設(shè)全是雞

假設(shè)籠子里全是雞，頭數(shù)不變，腳應(yīng)該有35×2=70（只），實(shí)際上有94只，比實(shí)際少94-70=24（只），每只兔假設(shè)成雞，少了4-2=2（只）腳，多少只兔少了24只腳，就看24里有幾個(gè)2？即24÷2=12（只）兔子，接著得到35-12=23（只）雞。

2.假設(shè)全是兔子

同樣的思路也可以假設(shè)籠子里都是兔，頭數(shù)不變，腳就會多出46只，那是因?yàn)榘央u看成了兔，解題方法如下：

35×4=140（只） 140-94=46（只） 46÷2=23（只）雞，35-23=12（只）兔子

（三）方程

方程是含有未知數(shù)的等式，是培養(yǎng)學(xué)生習(xí)慣于將未知數(shù)參與到運(yùn)算中，將等價(jià)的量用不同的代數(shù)式表示出來，從而用“正向思考”的方式來解決生活中的實(shí)際問題，蘊(yùn)含代數(shù)思想的一種方法。

一元一次方程：

解：設(shè)兔子有x只，雞有35-x只。

4x+2（35-x）=94

x=12

35-x=35-12=23

二元一次方程：

解：設(shè)雞有x只，兔有y只。

x+y=352x+4y=94

解得y=12? x=23

答：兔有12只，雞有23只。

以上的方法中，從不同的角度思考，或是以形助數(shù)或是以數(shù)輔形，都能清晰地展示解決問題的思考過程，適合不同階段的小學(xué)生來學(xué)習(xí)，達(dá)到輕松地走進(jìn)經(jīng)典，解決看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，從而經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過程。

編輯 謝尾合