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        一次函數(shù)解初中幾何動點(diǎn)問題

        2019-11-04 19:29:06王淑艷
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想

        王淑艷

        【摘 要】幾何動點(diǎn)問題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)和必考題型,其綜合性強(qiáng)、難度大,變量多,因而得分率相對較低。本文主要講解用解析法解決幾何動點(diǎn)的相關(guān)問題。

        【關(guān)鍵詞】一次函數(shù);幾何動點(diǎn)問題;解析法;坐標(biāo)系;數(shù)學(xué)思想

        【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437(2019)22-0147-01

        1? ?基本思路

        建立直角坐標(biāo)系,以幾何圖形的點(diǎn)、線、角、長度、面積等基本量,利用平面幾何公理定理推論,構(gòu)建變量與已知量的函數(shù),計(jì)算出動點(diǎn)坐標(biāo),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想。

        2? ?舉例說明

        例1.如圖1,已知矩形ABCD的邊長AB=2,BC=3,Q是BC邊上的任意一點(diǎn),連接AQ,DQ,當(dāng)Q在何處時,△ADQ的周長最小?在圖中找出Q點(diǎn)的位置,并求出BQ的長。

        解題思路:先用等價轉(zhuǎn)化思想,找A點(diǎn)點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為A′,將AQ轉(zhuǎn)化為A′Q;然后用數(shù)形結(jié)合的思想,建立坐標(biāo)系;最后用函數(shù)與方程的思想,建立一次函數(shù),解方程,進(jìn)行計(jì)算,得到答案。

        解析:如圖1,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC為x軸,AB為y軸,建立直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′,連接A′D交BC于Q點(diǎn),點(diǎn)Q即為所求。

        則B(0,0),A(0,2),A′(0,-2),D(3,2)。設(shè)直線A′D解析式為y=kx+b。

        ∴k=,b=-2,

        ∴y=x-2,可得BQ=。

        例2(2018年廣東省數(shù)學(xué)中考試卷第24題)如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,連接AC,OD交于點(diǎn)E。

        (1)證明:OD//BC;

        (2)若tan∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;

        (3)在(2)條件下,連接BD交⊙O于點(diǎn)F,連接EF,若BC=1,求EF的長。

        解析:(1)(2)略,解(3),如圖2,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),ED為x軸,AC為y軸,建立直角坐標(biāo)系,作FG、BH⊥x軸于G、H點(diǎn),連接AF。

        ∵BC=1,tan∠ABC=2,

        又∵tan∠ABC=AC/BC,

        ∴AC=2,

        ∵AE=EC,

        ∴AE=EC=1,

        ∴A(0,1),C(0,-1),B(-1,-1),

        ∵∠ABC=∠DAC,

        ∴tan∠DAC=2,

        又∵tan∠DAC=DE/AE,

        ∴DE=2,∴AD=,

        又∵AD=CD,∴DH=3,BD=,

        ∵AF⊥BD,AB=AD,

        ∴2DF=BD,

        ∵FG∥BH,

        ∴DF/DB=DG/DH=FG/BH,

        ∴FG=,再建立一次函數(shù)求出直線BD的解析式,將y=代入,即可求出F點(diǎn)坐標(biāo),從而可得EF=。

        學(xué)生要學(xué)會用數(shù)學(xué)思想分析題干,尋找已知和未知的關(guān)系,并反復(fù)練習(xí),提高解題能力,才能真正掌握解決幾何動點(diǎn)問題的方法。

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