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        寓數(shù)于形 以形解數(shù)

        2019-11-04 06:44:01黃春媚周日新
        廣西教育·A版 2019年8期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)

        黃春媚 周日新

        【摘要】本文論述數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透,通過(guò)羅列一些數(shù)形結(jié)合的課例,證實(shí)數(shù)形結(jié)合思想能夠?yàn)閷W(xué)生構(gòu)建出一個(gè)具體、直觀、形象的學(xué)習(xí)情境,讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念、建立數(shù)學(xué)模型、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)計(jì)算,為學(xué)生綜合素質(zhì)的提高打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

        【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思想

        【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

        【文章編號(hào)】0450-9889(2019)08A-0135-03

        數(shù)學(xué)是一門(mén)研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科,數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?shù)量關(guān)系與空間圖形相對(duì)應(yīng),借助直觀生動(dòng)的“形”來(lái)闡述數(shù)量之間的關(guān)系,或者利用“數(shù)”所具有的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性闡明“形”的屬性,將抽象問(wèn)題具體化,將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。由于小學(xué)階段的學(xué)生理解抽象知識(shí)的能力有限,利用數(shù)形結(jié)合的方式,能夠幫助學(xué)生更好地理解小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),并有效提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。因此,教師應(yīng)有意識(shí)地將數(shù)形結(jié)合思想滲透在日常教學(xué)之中,幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維,提高個(gè)人綜合素質(zhì)。

        一、以形解數(shù),利用圖形學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

        數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一,是有效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)知識(shí),在教學(xué)中占據(jù)著極為重要的位置。然而數(shù)學(xué)概念對(duì)于小學(xué)生而言較為抽象,為了幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念,教師應(yīng)該充分利用數(shù)形結(jié)合思想,將抽象的數(shù)學(xué)概念具象化、趣味化。

        例如,筆者在教學(xué)倍數(shù)這一數(shù)學(xué)概念時(shí),利用數(shù)形結(jié)合思想,采取直觀圖例的方式,幫助學(xué)生初步建立倍的概念。

        教學(xué)目標(biāo):在完成對(duì)數(shù)的認(rèn)知后,理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)幾倍的含義,初步建立倍的概念,并使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)概念與日常生活之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、表達(dá)能力和實(shí)踐操作能力。

        教學(xué)過(guò)程:

        師:請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察一下,每種花都有幾朵呢?(向?qū)W生展示課件:無(wú)規(guī)律擺放紅、黃、藍(lán)三種花朵圖片)

        師:如果我們把這三種顏色的花各自歸類(lèi)排起來(lái),是不是就比較容易數(shù)了呢?(再次展示課件:將紅黃藍(lán)三種花以顏色排列的圖片)

        學(xué)生報(bào)告每種顏色花朵的數(shù)量。

        師:非常好!大家剛才都是一朵一朵地?cái)?shù),請(qǐng)問(wèn)還可以用什么方法數(shù)?(向?qū)W生展示新的課件,如圖1)

        生:紅花有2朵,黃花有6朵。

        師:回答正確!假如我們說(shuō)紅花有1個(gè)2朵,那么黃花有幾個(gè)2朵?

        生:黃花有3個(gè)2朵。

        師:非常正確!此時(shí)如果我們把2朵紅花看成1份,那么黃花就有3份2朵,所以我們說(shuō),黃花的朵數(shù)是紅花的3倍。

        師:我們接著來(lái)看下一幅圖。(展示新課件,如圖2)

        師:繼續(xù)把2朵紅花看成1份,請(qǐng)問(wèn)黃花有幾份2朵?黃花的朵數(shù)是紅花的幾倍?

        生:黃花有5份2朵,黃花的朵數(shù)是紅花的5倍。

        筆者肯定了學(xué)生的答案后,再次展示新課件。(如圖3)

        師:如果紅花的數(shù)量變成了3朵,現(xiàn)在黃花的朵數(shù)是9朵,請(qǐng)問(wèn)黃花的朵數(shù)是紅花的幾倍?

        經(jīng)過(guò)之前兩次練習(xí),學(xué)生已經(jīng)初步理解了倍數(shù)的概念,很快作出了正確的回答。

        生:黃花的朵數(shù)是紅花的3倍!

        師:非常正確!請(qǐng)大家思考一下,為什么紅花、黃花的朵數(shù)與圖1不同,但黃花都是紅花的3倍呢?

        生:雖然紅花的朵數(shù)不一樣,但如果將3朵紅花看作1份,那么黃花的份數(shù)就是3份,所以還是3倍。

        點(diǎn)評(píng):在理解了倍數(shù)的概念之后,通過(guò)相似的題目進(jìn)行比較練習(xí),并利用圖形輔助學(xué)生觀察思考,幫助學(xué)生鞏固概念,加深理解,能夠達(dá)到舉一反三的作用,而非機(jī)械記憶。

        完成上述練習(xí)后,筆者給學(xué)生布置了一道思考題目。(如圖4)

        師:請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)想紅花的朵數(shù),然后回答黃花的朵數(shù)是紅花的幾倍,并且告訴老師,為什么黃花朵數(shù)是12朵,但和紅花對(duì)應(yīng)的倍數(shù)卻不一樣呢?

        學(xué)生掌握了倍數(shù)概念,非常順利地回答了這個(gè)問(wèn)題。

        師(小結(jié)):雖然黃花都是12朵,但由于紅花的朵數(shù)不同,所以倍數(shù)就各有不同。

        課堂總結(jié):利用數(shù)形結(jié)合思想,使用色彩鮮明、形象直觀的圖片來(lái)表現(xiàn)抽象概念,激發(fā)學(xué)生的興趣,引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手?jǐn)?shù)數(shù),明確數(shù)量這一概念,再通過(guò)取某個(gè)數(shù)量為1個(gè)單位的形式構(gòu)建模型,幫助學(xué)生理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)幾倍的含義,建立起倍的概念,并初步培養(yǎng)模型思想。

        二、寓數(shù)于形,利用直觀圖形建立數(shù)學(xué)模型

        利用寓數(shù)于形的方式,能夠充分發(fā)揮直觀圖形在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的支持作用,幫助學(xué)生通過(guò)具體化的圖形、親身體驗(yàn)將具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象構(gòu)建成通用的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程,為理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已經(jīng)具備的日常生活經(jīng)驗(yàn),為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)熟悉的學(xué)習(xí)情境,幫助學(xué)生迅速代入其中。

        例如,筆者教學(xué)“四舍五入”這一內(nèi)容時(shí),利用一幅“數(shù)字拜訪”圖(如圖5),以具體的情境幫助學(xué)生理解這一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。

        筆者指著圖5向?qū)W生詢問(wèn):11到19這九個(gè)數(shù)字,要去10或者20這兩個(gè)數(shù)字的家,如果選擇最近的路,它們會(huì)去誰(shuí)家呢?

        學(xué)生表示,11一定會(huì)去10的家,因?yàn)樗鼈儍蓚€(gè)數(shù)字之間距離最近。以此類(lèi)推,12、13、14都距離10更近,應(yīng)該會(huì)去10的家;而16、17、18、19則距離20更近,因此它們會(huì)去20的家。

        筆者肯定了學(xué)生的看法,并總結(jié):去誰(shuí)的家,就表示近似于誰(shuí),我們可以說(shuō)11的近似值是10,寫(xiě)作“11≈10”,同樣12、13、14都可以記為約等于10。

        學(xué)生此時(shí)提出:15距離10和20兩家的距離是一樣的,應(yīng)該兩個(gè)家都能去。

        筆者對(duì)此表示贊許,并告訴學(xué)生:為了避免這種兩難的局面,我們硬性規(guī)定15應(yīng)該去20的家,記為“15≈20”。

        隨后,筆者為學(xué)生總結(jié)其中的規(guī)律:凡尾數(shù)是1、2、3、4的數(shù)字,都會(huì)舍掉,而結(jié)尾是5~9的數(shù)字,則向前進(jìn)1,這種方法叫做“四舍五入”,用來(lái)求一個(gè)數(shù)的近似值。

        有了前面的圖示,學(xué)生順利理解了這一概念。為了鞏固學(xué)生對(duì)四舍五入學(xué)習(xí)內(nèi)容的印象,筆者再次展示一個(gè)圖例。(如圖6)

        筆者指著圖中的728向?qū)W生提問(wèn):這個(gè)數(shù)字更接近哪個(gè)整數(shù)?

        學(xué)生有了之前四舍五入的知識(shí)基礎(chǔ),推測(cè)出兩個(gè)答案:1.由于728的個(gè)位數(shù)是8,大于5,因此距離730更近,應(yīng)該向前進(jìn)1,所以728≈730;2.由于728的十位數(shù)是2,距離700更近,應(yīng)當(dāng)舍去,所以728≈700。

        筆者再次詢問(wèn):這道題我們獲得了兩個(gè)答案,二者之間是不是有矛盾呢?

        學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后認(rèn)為,二者并不矛盾,因?yàn)?28≈730是四舍五入到十位,而728≈700是四舍五入到百位。

        在這一課例中,筆者利用“最近的路”這種具體圖形,營(yíng)造了一個(gè)形象的教學(xué)情境,自然而然地生成“四舍五入”的使用原理,幫助學(xué)生構(gòu)建起一個(gè)觸類(lèi)旁通的數(shù)學(xué)模式,使其能通過(guò)對(duì)一個(gè)數(shù)的判斷推理出不同精確度的近似值??梢?jiàn),寓數(shù)于形,可以解決某些教學(xué)難點(diǎn)。

        三、數(shù)形結(jié)合,利用解題思路學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)計(jì)算

        數(shù)學(xué)計(jì)算始終貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)章節(jié),學(xué)生需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)學(xué)題目的解答練習(xí),從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想,掌握數(shù)學(xué)方法,因此,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力是重要的教學(xué)目標(biāo)之一。利用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒊橄蟮乃闶骄呦蠡?,使解題思考過(guò)程具有可視性,幫助學(xué)生尋找解題思路,靈活選擇計(jì)算原理,從而更好地完成數(shù)學(xué)計(jì)算。

        (一)利用直觀圖形尋找解題思路

        利用圖形直觀性這一特點(diǎn),能夠幫助學(xué)生有效地尋找解題的切入點(diǎn),激發(fā)解題思路。例如,筆者曾經(jīng)給出一道計(jì)算題目:3點(diǎn)15分時(shí),分針和時(shí)針之間呈多少度角?

        在這道題目中,先運(yùn)用以形解數(shù)的方式,展示一個(gè)時(shí)鐘示意圖(如圖7),將題目與其特征對(duì)應(yīng)起來(lái)。通過(guò)觀察鐘表可知,表盤(pán)作為一個(gè)正圓,它的一周為360°,而分針60分鐘走完一圈,因此分針1分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°。3點(diǎn)15分時(shí),分針的角度與12點(diǎn)的角度是15×6°=90°,正好指向表盤(pán)3的位置。再通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),此時(shí)的時(shí)針位于3和4之間,因此,只需要計(jì)算出時(shí)針此時(shí)相對(duì)于3的位置發(fā)生了多大角度的轉(zhuǎn)動(dòng)即可,至此,解題思路已經(jīng)明確:計(jì)算從時(shí)針指向3,即3點(diǎn)整到3點(diǎn)15分,時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了多少角度。我們知道,表盤(pán)被劃分為12個(gè)小時(shí),所以時(shí)針每小時(shí)走30°,因此每分鐘時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)30°/60=0.5°,那么從3點(diǎn)整至3點(diǎn)15分鐘時(shí)這15分鐘里,時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了0.5°×15=7.5°,完整的算式就是:

        15×30°/60=7.5°

        最終答案是:當(dāng)3點(diǎn)15分時(shí),分針和時(shí)針之間呈7.5度角。

        在上述課例中,通過(guò)引入時(shí)鐘這一直觀形象,有效地化解了原本題目抽象這一難點(diǎn)。同時(shí),時(shí)鐘是學(xué)生在日常生活中常見(jiàn)的物品,因此在這樣的教學(xué)情境中,學(xué)生能夠非常輕松地獲得直觀體驗(yàn)和進(jìn)行模型識(shí)別,在明確解題思路之后進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算,便能迅速算出準(zhǔn)確答案。

        (二)通過(guò)圖形分析數(shù)據(jù)

        對(duì)于一些比較抽象的題目,小學(xué)生在解題時(shí)往往連解題所必須的數(shù)據(jù)都無(wú)從獲取,因此很難找到解題突破點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合思想利用圖形的直觀性,將抽象數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為具體形象呈現(xiàn)給學(xué)生,幫助學(xué)生快速?gòu)闹刑崛〗忸}所需的數(shù)據(jù)信息。

        例如,一條全長(zhǎng)100cm的線段,從左向右每6cm標(biāo)記一個(gè)點(diǎn),同時(shí)從右向左每隔5cm標(biāo)記一個(gè)點(diǎn),然后從標(biāo)記點(diǎn)處截取線段,請(qǐng)問(wèn)能夠獲得多少段4cm的線段?

        在這一題目中,如果采用代數(shù)方法解決,因?yàn)檩^為抽象,學(xué)生往往無(wú)從下手,此時(shí)利用圖形的形式,將[5,6]=30最小公倍數(shù)的線段圖形繪制出來(lái),題目便能一目了然,問(wèn)題也被簡(jiǎn)化了。(如圖8)

        學(xué)生通過(guò)觀察這一圖形發(fā)現(xiàn),從左向右和從右向左截取的點(diǎn)在30cm的位置發(fā)生了重合,其中包含了2個(gè)4cm的線段,100cm的線段中包含3個(gè)30cm,剩余的10cm中只可能截取1個(gè)4cm。通過(guò)這些數(shù)據(jù),學(xué)生可以非常順利地得出答案:共計(jì)7段。完整算式如下:

        2×[(100-10)÷30]+1=7

        在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透寓數(shù)于形、以形解數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想,能夠?yàn)閷W(xué)生構(gòu)建一個(gè)具體、直觀、形象的學(xué)習(xí)情境,有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體的作用,幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí),提高自身綜合素養(yǎng)。

        作者簡(jiǎn)介:

        黃春媚(1978— ),女,壯族,廣西南寧人,一級(jí)教師,大學(xué)本科學(xué)歷,研究方向:數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

        周日新(1978— ),男,壯族,廣西南寧人,一級(jí)教師,大學(xué)本科學(xué)歷,研究方向:數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

        (責(zé)編 黃健清)

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