任玲

摘 ?要：數(shù)學理解是學生數(shù)學學習的第一要務(wù)。在日常數(shù)學教學中，由于認知內(nèi)容的被動化、認知方式的記憶化以及認知評價的結(jié)果化，使得真正的數(shù)學理解沒有到位。真正的數(shù)學理解包括工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解。教學中，教師要對接學生經(jīng)驗，指向數(shù)學本質(zhì)，凸顯知識聯(lián)系，實現(xiàn)學生真正的數(shù)學理解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學理解;核心素養(yǎng);教學追求

一、緣起：由一道題引發(fā)的深層思考

蘇教版小學數(shù)學五年級下冊期末調(diào)研中有這樣一道習題：面積相等的長方形、正方形和圓，（ ? ）的周長最大。（A.長方形 ?B.正方形 ?C.圓）試卷分析結(jié)果表明，本題正確率僅為25.1%。許多教師感嘆，自己在日常教學中強化了“周長相等的長方形、正方形和圓，圓的面積最大”，由此導致了絕大多數(shù)學生選擇了C。似乎正是由于自己的正強化，導致了學生出錯。

審視教師教學，似乎這樣的理由是不成立的。如果教師在教學中注重數(shù)學理解，如果學生不是獲得淺表化、惰性化、碎片化數(shù)學知識，那么學生的問題解決就不會停留在記憶層面，而是會展開審慎審題，積極思考，靈活而有效地解決問題。而如果學生在數(shù)學學習中只是依葫蘆畫瓢、機械模仿，沒有真正理解，那么，錯誤也就在所難免了。

這引發(fā)了筆者的深度思考：數(shù)學教學在何種程度上沒有能夠達成學生理解？什么是學生的數(shù)學理解？數(shù)學教學如何促進學生深度的數(shù)學理解？

二、“數(shù)學理解”的教學現(xiàn)狀

1. 認知內(nèi)容“被動化”

筆者發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學課堂教學中，教師常常有意或無意地綁架學生思維、認知，讓學生形成“假性生長”“被生長”現(xiàn)象。比如教學《認識負數(shù)》，一位教師以溫度計為原型，直接切入，出示三亞（20℃）、南京（0℃）、哈爾濱（-20℃）三個地方的最低氣溫，引導學生比較不同，引出負數(shù)概念。對于學生來說，負數(shù)的出現(xiàn)是突然的，猶如天降。他們沒有感受、體驗到負數(shù)產(chǎn)生的必然性、必要性。只是在教師指引、暗示下對負數(shù)進行認知。這種教學，學生對數(shù)學知識的認知是膚淺、固化的，他們“知其然，而不知其所以然”。

2. 認知方式“記憶化”

無論是數(shù)學概念，還是數(shù)學公式、定理等都不是依靠學生機械識記，而是要靠學生數(shù)學理解的。當下，學生缺乏主動建構(gòu)的精神，他們只是按照教師“暗示”思路解決問題。格式塔心理學家苛勒“頓悟說”告訴我們：學生數(shù)學學習是運用理解對情境與自身關(guān)系的頓悟，而不是依靠記憶進行盲目嘗試、復制。許多學生在數(shù)學學習中往往只按教師“暗示”思路和記憶方法來解決問題，盲從于結(jié)論，數(shù)學理解力悄然流失。

3. 認知評價“結(jié)果化”

對于數(shù)學教學，我們應該不陌生這樣的教學擱置現(xiàn)象：“會了嗎？”學生會齊刷刷地回答“會了”。這其中，存在諸多濫竽充數(shù)的現(xiàn)象。對于學生的學習，我們關(guān)注過程甚于關(guān)注結(jié)果。于是，在數(shù)學學習中，“數(shù)學理解”讓渡于機械記憶，讓渡于機械模仿。教師通常用檢測、練習的方式來掌握學情。在檢測、練習數(shù)據(jù)的掩蓋下，我們遮蔽了學生靈動的思維，許多個性化、新穎化的思維沒有得到顯現(xiàn)，學生數(shù)學理解被人為架空。如果我們關(guān)注學生思維，追問學生“為什么可這樣做？”“還可怎樣做？”多傾聽學生、對話學生，那么，學生的數(shù)學理解就能獲得發(fā)展。

三、“數(shù)學理解”的教學意蘊

對于“理解”，《辭海》中的解釋是：揭示事物間的聯(lián)系而認識新事物的過程?？梢?，理解不是簡單知識的機械記憶或照本模仿，也不是機械解釋或照本運用，而是思考知識間的內(nèi)在聯(lián)系。“理解”不僅能把握數(shù)學概念“是什么”，更能把握“為什么”“怎么樣”。數(shù)學理解不能簡單等同于“聽懂了”“會做了”，而應有更為豐富的內(nèi)涵。

1. 工具性理解

英國數(shù)學教育心理學家斯根普認為，理解有兩個層面：一是工具性理解，二是關(guān)系性理解。筆者認為，在學生數(shù)學學習中還有一個創(chuàng)新性理解。斯根普深刻指出，工具性理解是指一種語義性理解，即符號所指代的事物、事實、步驟等是什么，工具性理解側(cè)重于是什么。比如，一提到方程，學生就知道“含有未知數(shù)的等式”叫作方程，這就是一種“工具性理解”。但即使學生能熟練說出方程的定義，也并不一定能解方程。工具性理解充斥著當下的數(shù)學教學。

2. 關(guān)系性理解

美國著名教育心理學家大衛(wèi)·帕金斯認為，所謂理解，不是指個體記得什么，而是指個體可以運用信息做哪些事情。在數(shù)學教學中，理解不是個體能夠記得某些概念，而是能夠用自己的語言陳述概念、解釋概念。華東師范大學李士錡教授認為，理解就是個體能夠在心理上組織、建構(gòu)起適當?shù)摹⒂行У恼J知結(jié)構(gòu)。關(guān)系性理解是一種“結(jié)構(gòu)性理解”，不僅知道是什么，而且知道為什么。比如，盡管學生不能說出什么是方程，但學生能主動探尋未知數(shù)和已知數(shù)之間的關(guān)系，從而解方程，這就是一種關(guān)系性理解。關(guān)系性理解是數(shù)學教學應當努力追尋的。

3. 創(chuàng)新性理解

關(guān)系性理解再深入一步，就會進入創(chuàng)新性理解層次。所謂創(chuàng)新性理解，就是在認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對已有知識進行提高、推廣或拓展，或?qū)δ撤N操作進行更新或改變。創(chuàng)新性理解，是一種推陳出新，是提出新問題，引出新猜想，進行新拓展。創(chuàng)新性理解是學生在更新、更寬、更高視域中對數(shù)學知識進行多路向、多層次、多視角的思考、探究。比如，學生能運用不同的方法如等式性質(zhì)、等式間關(guān)系、移項等求解方程。創(chuàng)新性理解是最高層次的數(shù)學理解。

數(shù)學理解的目標具有雙重內(nèi)涵：一是對“數(shù)學對象”的理解，包括數(shù)學知識的內(nèi)容、技巧、方法、思想、策略等;二是從數(shù)學視角解釋現(xiàn)實，讓學生能“用數(shù)學眼光觀察，用數(shù)學思維分析，用數(shù)學語言表達”。在數(shù)學教學中，要促成學生關(guān)系性理解，讓學生經(jīng)由關(guān)系性理解進入創(chuàng)新性理解的境界與層次。

四、“數(shù)學理解”的教學策略

數(shù)學理解是一個系統(tǒng)工程，建設(shè)數(shù)學理解性課堂，需要教師從課堂教學各要素入手，對數(shù)學教學進行變革和改造。建構(gòu)主義認為，數(shù)學知識不可能以實體形式存在于個體之外，真正的數(shù)學學習只有由學習者基于自身經(jīng)驗背景而建構(gòu)起來。理解取決于學生的數(shù)學學習過程，理解不是生吞活剝、死記硬背。

1. 對接經(jīng)驗，豐盈數(shù)學理解的源泉

理解一定是基于學生的經(jīng)驗的，對接學生經(jīng)驗，能夠豐盈數(shù)學理解之源泉。在數(shù)學教學中，教師要借助已知幫助學生理解未知，借助形象幫助學生理解抽象，借助事理幫助學生理解數(shù)理。比如，一位教師在教學蘇教版四年級《用數(shù)對確定位置》后，讓學生主動對接生活經(jīng)驗，從而使學生更深刻地理解用數(shù)對確定位置在生活中有著具體的運用。有學生說，教室座位就可以用數(shù)對表示;有學生說，課程表也可以用數(shù)對表示;還有學生說，秧田里整齊的秧苗可以用數(shù)對表示……接著，教師順學而導，讓學生對教室座位互相提問解答。這種教學，不再是讓學生機械識記，而是將數(shù)學規(guī)定與現(xiàn)實生活關(guān)聯(lián)起來，將數(shù)學知識學透、學活，內(nèi)化為學生的數(shù)學素養(yǎng)。

2. 聚焦本質(zhì)，指向數(shù)學理解的目標

數(shù)學理解，歸根結(jié)底是對數(shù)學本質(zhì)的理解。教學中，教師要引導學生學會抽象、推理、概括、建模。聚焦數(shù)學知識本質(zhì)，要培養(yǎng)學生的質(zhì)疑精神、批判精神，讓學生進行深度思考、探究。比如，教學《圖形放大和縮小》，筆者出示一張學生熟悉的班上同學的照片。現(xiàn)在要將這張照片放大，有哪些方案呢？接著，筆者又出示了四種規(guī)格的照片，一是長放大，寬不變;二是寬放大，長不變;三是長和寬同時放大，但放大倍數(shù)不同;四是長和寬放大相同倍數(shù)。這樣的素材，一下子讓學生感悟到圖形放大或縮小的本質(zhì)：大小變而形狀不變。學生對數(shù)學知識的理解，不再止步于記憶概念，而是獲得一種內(nèi)在感悟，獲得本質(zhì)理解。

3. 凸顯聯(lián)系，提升數(shù)學理解的效能

數(shù)學是一門系統(tǒng)性很強的學科，凸顯數(shù)學知識之間的聯(lián)系，能讓數(shù)學知識節(jié)點具有繁殖力，形成一種關(guān)聯(lián)性、內(nèi)聚的知識整合力量。這里，既要注重知識的橫向比較，也要注重知識縱向的長程設(shè)計。橫向比較，如“三角形的高”與“平行四邊形的高”“梯形的高”的比較;縱向設(shè)計，如低年級長度單位教學，中年級面積單位教學，高年級體積單位教學，就體現(xiàn)了線面體三維空間概念、度量。凸顯知識關(guān)聯(lián)，能夠提升數(shù)學理解的效能。如通過高的比較，學生能夠感悟到“垂直”的本真內(nèi)涵，即只有相交成直角，而不管位置、方向等因素。

數(shù)學理解是學生獲取數(shù)學知識的保證，也是發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的前提。沒有數(shù)學理解就沒有學生有效的思維，學生就不能真正掌握數(shù)學思想方法。為理解而教，為理解而學，師生在教學中才能有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造。在這個過程中，教師要理解數(shù)學、理解學生、理解教學，努力通過自身理解實現(xiàn)學生的數(shù)學理解。