勉輝

【摘要】在各級(jí)各類考試中，高斯函數(shù)是一個(gè)重要的命題知識(shí)點(diǎn)，由它設(shè)計(jì)出來(lái)的題目涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科.本文在高斯函數(shù)定義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，給出了涉及含[x]函數(shù)的不等式及含[x]函數(shù)的恒等式的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高斯函數(shù);高斯函數(shù)性質(zhì);應(yīng)用

一、高斯函數(shù)的概念及其性質(zhì)

（一）概念

設(shè)x∈R，用符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)y=[x]稱為高斯函數(shù)，也叫作取整函數(shù).顯然y=[x]的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆.

（二）性質(zhì)

（1）[x]≤x（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x為整數(shù)）.

（2）高斯函數(shù)[x]是不減函數(shù)，即x≤y[x]≤[y].

（3）當(dāng)n∈Z時(shí)，[n+x]=n+[x].

（4）對(duì)于x，y∈R有[x]+[y]=[x+y].一般地，有∑ni=1[Xi]≤∑ni=1Xi，Xi∈R.

特別地，n[x]≤[nx]，x∈R.

（5）對(duì)x，y∈R+∪{0}，有[x·y]≥[x]·[y].一般地，有∏ni=1Xi≥∏ni=1Xi，Xi∈R+∪{0}.

（6）我們以y=[x]和y={x}為例畫(huà)出圖像，由圖像可知，y=[x]是階梯形上升的函數(shù)，y={x}是以1為周期的周期函數(shù).

由圖像可知：（?。﹛1-x2≥1存在整數(shù)k，使x2

（ⅱ）[x1]=[x2]且x1≥x20≤x1-x2<1.

（ⅲ）0≤x1-x2<1[x1]=[x2]或[x1]=[x2]+1.

（ⅳ）|[x]|<|x|+1.

二、高斯函數(shù)的應(yīng)用

1.不等問(wèn)題主要涉及含[x]的不等式分析.此類問(wèn)題的難度一般比較大.

例1求所有正整數(shù)n使得mink∈N*k2+nk2=1 991.

解mink2+nk2=1 991等價(jià)于（1）（2）同時(shí)成立：

（1）存在k∈N*，使1 991≤k2+nk2<1 992.

（2）對(duì)k∈N*，有k2+nk2≥1 991.

由（2）k4-1 991k2+n≥0k2-1 99122+n-1 99124≥0.

因mink∈N*k2-1 99122=1024-1 99122，

故有1 024-1 99122+n-1 99124≥0.

解得n≥1 024×967=990 208.

由（1）知，設(shè)k0∈N*，使k0-1 992k20+n<0

mink∈N*（k2-996）2+n-9962<0.

因?yàn)椋╧2-996）2的最小值為282，

故n<9962-282=1 024×968=991 232.

綜上所述，990 208≤n≤991 231（n∈N*）.

2.恒等問(wèn)題主要是證明一些由[x]構(gòu)成的恒等式.

例2已知n∈N*，求證：[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].

證因?yàn)椋╪+n+1）2=2n+1+2n（n+1）及n

所以有4n+1<（n+n+1）2<4n+3.

即4n+1

另一方面，設(shè)k=[4n+1]，

于是有k2≤4n+1<（k+1）2.

因?yàn)槿魏我粋€(gè)完全平方數(shù)被4除后不可能余2，也不可能余3，所以有k2≤4n+1<4n+2<4n+3<（k+1）2.

即k≤4n+1<4n+2<4n+3

結(jié)合以上兩式知k=[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].

【參考文獻(xiàn)】

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