徐蘇蘇 湯建鋼 韓宋麗

摘要：通過(guò)研究初等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)列問(wèn)題，總結(jié)解決數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和以及數(shù)列與其它知識(shí)相融問(wèn)題的常用方法，有助于學(xué)生解決初等數(shù)學(xué)中遇到的數(shù)列問(wèn)題，提高對(duì)數(shù)列知識(shí)靈活運(yùn)用的能力。

關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué) 數(shù)列 通項(xiàng)公式 求和

1引言

數(shù)列是新課程改革中重要的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)列問(wèn)題在初等數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)從小學(xué)就有接觸，小學(xué)中的數(shù)列以找規(guī)律的形式出現(xiàn)，最初的定義就是“按一定次序排列的一列數(shù)”，讓學(xué)生在數(shù)列中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找數(shù)列規(guī)律的方法是依據(jù)數(shù)列隱含規(guī)律的幾種表現(xiàn)形式，從不同的角度，認(rèn)真觀察、比較、嘗試和計(jì)算，在這一階段對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)是最基礎(chǔ)最簡(jiǎn)單的，在中學(xué)數(shù)學(xué)中講到數(shù)列的定義，出現(xiàn)等差、等比數(shù)列以及可以化為等差、等比的數(shù)列，難度增強(qiáng)，數(shù)列問(wèn)題在初等數(shù)學(xué)中非常重要，并且在高考中享有重要的角色，通過(guò)分析初等數(shù)學(xué)教材可知，主要有以下三類(lèi)數(shù)列問(wèn)題：求數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題、求數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題以及與其它知識(shí)相融的問(wèn)題，本文主要研究這三類(lèi)問(wèn)題在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，分析解決數(shù)列問(wèn)題的常用方法，并借助相應(yīng)的例題來(lái)說(shuō)明。

2 求數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的基礎(chǔ)，出現(xiàn)在小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高中數(shù)列教學(xué)中，它以螺旋的方式出現(xiàn)，最初的數(shù)列問(wèn)題是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知，學(xué)生從事物的排列中找規(guī)律，之后通過(guò)動(dòng)手涂色、畫(huà)一畫(huà)等數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，循序漸進(jìn)的讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)也有規(guī)律，逐步利用觀察法、構(gòu)造法、累加法、累乘法等一些方法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

觀察法求通項(xiàng)公式是最基礎(chǔ)也是最簡(jiǎn)單的一種方法，它通常出現(xiàn)在小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，通過(guò)觀察圖形或者表格中數(shù)值的關(guān)系來(lái)判斷數(shù)的變化規(guī)律，從而找到數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例1如下圖所示，由一些點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S是多少？當(dāng)n=5，7，11時(shí)，S是多少？

問(wèn)題分析：該題的本質(zhì)是通過(guò)觀察已知圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出變化規(guī)律，得出S=3n-3，進(jìn)而求出當(dāng)n=5，7，11時(shí)S的值，解題方法是讓學(xué)生會(huì)觀察，比較、嘗試和計(jì)算，根據(jù)圖的規(guī)律，找到數(shù)的規(guī)律。

構(gòu)造法、累加法和累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式在人教版數(shù)學(xué)必修5第2章數(shù)列的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)，它們是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

3求數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題

求數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題主要出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，在人教版必修5第2章節(jié)出現(xiàn)，數(shù)列求和問(wèn)題是數(shù)列解答的考察重點(diǎn)，在高考中占有重要地位，在這一部分的學(xué)習(xí)中應(yīng)根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇合適的方法進(jìn)行求解，常見(jiàn)的方法有倒序相加法、錯(cuò)位相減法、公式法、裂項(xiàng)相消法、分組法等。

在數(shù)列求和問(wèn)題中，人教版高中數(shù)學(xué)必修5第2章推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式就利用了倒序相加和錯(cuò)位相減的方法得出了求和公式.利用公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和也是數(shù)列求和問(wèn)題的基礎(chǔ)，這里不再探究，下面利用例題來(lái)說(shuō)明裂項(xiàng)相消法和分組求和法在數(shù)列求和試題中的應(yīng)用。

4 數(shù)列與其他知識(shí)相融的問(wèn)題

隨著教育的不斷改革，國(guó)家選拔人才越來(lái)越重視宗合型，數(shù)列的命題體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的縱向和橫向的有機(jī)聯(lián)系，這也是高考的新型命題方式，在數(shù)列的命題中出現(xiàn)了許多與其他知識(shí)相融的題型，例如數(shù)列與不等式的相融、數(shù)列與函數(shù)的融合和數(shù)列與向量的融合，以及數(shù)列的極限問(wèn)題等新的命題方式。

問(wèn)題分析：該題綜合性較強(qiáng)，（l）題通過(guò)遞推關(guān)系得數(shù)列{an）為等比數(shù)列，進(jìn)而求出（an）的通項(xiàng)公式.第（2）問(wèn)中放縮法證明不等式是難點(diǎn)，放縮法可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，把數(shù)列問(wèn)題與不等式問(wèn)題結(jié)合到了一起，進(jìn)而可以解決問(wèn)題。

問(wèn)題分析：該題的知識(shí)點(diǎn)包括函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題，運(yùn)用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（a5）+f（a6）=-f（1）進(jìn)而求出結(jié)果，既考察了函數(shù)，又考察了數(shù)列，是數(shù)列與函數(shù)融合的綜合應(yīng)用，意在培養(yǎng)學(xué)生綜合分析的能力，

問(wèn)題分析：數(shù)列的極限問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn)，該題考察了的數(shù)列和極限四則運(yùn)算的知識(shí)，通過(guò)求出的前”項(xiàng)和，結(jié)合已知條件得出Iimq n=0，再根據(jù)極限的四則運(yùn)算，解出答案，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。

5 總結(jié)

數(shù)列問(wèn)題是初等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，也在高考中占有重要地位，數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題是基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)會(huì)了求通項(xiàng)公式的方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)列的前提，因此學(xué)生要掌握求通項(xiàng)公式的幾類(lèi)方法，掌握其中的數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題的關(guān)鍵;數(shù)列的求和問(wèn)題也是重中之重，其中滲透了轉(zhuǎn)化與化歸和分類(lèi)等數(shù)學(xué)思想，在這一類(lèi)問(wèn)題中要注重培養(yǎng)學(xué)生的解題能力;最后一個(gè)問(wèn)題就是解決數(shù)列與其他知識(shí)相融的問(wèn)題，這一類(lèi)問(wèn)題綜合性極強(qiáng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的縱向和橫向的有機(jī)聯(lián)系，一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題存在很大問(wèn)題，但是可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力，從這三類(lèi)問(wèn)題的研析中可以足以說(shuō)明解決好數(shù)列問(wèn)題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要部分，有助于學(xué)生解決不同的數(shù)列問(wèn)題，提高對(duì)數(shù)列問(wèn)題靈活運(yùn)用的能力。

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