王進偉

摘要：數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)一門重要的基礎課程，本文分析財經(jīng)院校的數(shù)學學院的數(shù)學分析教學特點，并在分析的基礎上對數(shù)學分析教學內(nèi)容、教學方法上的改進做了初步的探討。

關鍵詞：數(shù)學分析;分層教學;導數(shù)應用;建模

數(shù)學分析不僅是數(shù)學專業(yè)的基礎課之一，其在理工財經(jīng)類大學中的地位也是不可取代的。筆者結合在財經(jīng)類大學的數(shù)學分析教學實踐就數(shù)學分析的教與學的問題談談自己的粗淺的認識。

一、數(shù)學分析教學現(xiàn)狀

作為財經(jīng)院校的數(shù)學學院，我們的培養(yǎng)目標是懂經(jīng)濟，精數(shù)學的復合型專業(yè)人材，而高等數(shù)學相關教材[1]無法適用我們的教學。因為現(xiàn)在學校采取的是大類招生政策，學生入學學習一年后分再分流選專業(yè)。高等數(shù)學的內(nèi)容無法同時滿足數(shù)學學院所有專業(yè)學生的學習需求，因此數(shù)學分析作為學院專業(yè)基礎課也就成為必然。然而以數(shù)學分析[2]作為基礎課教材，會面臨著很多的新困難[3]。

1.學生數(shù)學水平差距大

財經(jīng)院校數(shù)學學院的學生數(shù)學基礎并不好，他們的數(shù)學水平差距很大。一些學生在高中階段沒有得到很好的數(shù)學技能的訓練，這在學習數(shù)學分析的過程中，會遇到很大的挑戰(zhàn)。而數(shù)學基礎兩極分化也導致數(shù)學分析教學的難度成倍增加，這對教師的教學和學生的學習來說都是考驗。

2.學生對數(shù)學的興趣小

數(shù)學專業(yè)課的性質(zhì)使得很多同學不喜歡數(shù)學專業(yè)課，而作為專業(yè)基礎課的數(shù)學分析來說，就更難吸引學生的關注。數(shù)學分析內(nèi)容多，定理多，證明多，難理解、難計算，在實際生活中更難找到應用。相比財經(jīng)院校中的強勢專業(yè)，如：金融、會計等專業(yè)而言，學生的付出和收獲差太大，自然對數(shù)學分析學習的興趣很小。數(shù)學專業(yè)的學生也更愿意學習經(jīng)濟、會計和管理類的看起來“簡單”、“有效”的學科內(nèi)容，而對數(shù)學分析也沒有了學習的動力和需求。

3.社會對數(shù)學專業(yè)的認可度小

當代社會對數(shù)學等基礎學科的認識也存在偏差，這既是數(shù)學專業(yè)知識的普及教育不夠，也是數(shù)學專業(yè)自身的宣傳力度不夠。很多人不了解數(shù)學，他們對于數(shù)學的認識還在初中數(shù)學的范疇，這種大眾的認識又反過來影響學生對數(shù)學專業(yè)的認識，這就更加深了數(shù)學無用的思想，對數(shù)學分析的教與學造成很大的困擾。

4.數(shù)學分析內(nèi)容過于繁復

數(shù)學分析自身也存在一些問題。首先數(shù)學分析的內(nèi)容過于抽象和繁復，很少有和實際相聯(lián)系的部分，學生不知道一些概念的來龍去脈，也不知道學習數(shù)學分析的目的是什么。他們往往是為了學習數(shù)學分析而學數(shù)學分析，這樣很難培養(yǎng)學生的學習興趣。其次，數(shù)學分析內(nèi)容和高中數(shù)學知識的銜接上也存在一定問題。現(xiàn)階段高中知識不能很好的對數(shù)學分析提供支撐，大部分學生無法從高中的數(shù)學知識自然的過渡到數(shù)學分析的學習中去，這一點在文獻[4]中有更詳細論述。

二、數(shù)學分析的教學中的幾點探索

鑒于數(shù)學分析在財經(jīng)學院的教學現(xiàn)狀，考慮到學生的情況和數(shù)學分析這門課程的特點，筆者在數(shù)學分析的教學中分別做了一些嘗試。

1.教學內(nèi)容模塊化

由于數(shù)學分析內(nèi)容過于復雜和抽象，且內(nèi)容多，學生難以接受，很多同仁都對這一問題給出了自己解決方法[4]。筆者根據(jù)數(shù)學分析內(nèi)容的相關性對內(nèi)容進行打包，歸結為極限、微分、積分三大類，每一大類又分為數(shù)個小類，類似于面向對象程序設計一樣的把內(nèi)容模塊化。模塊化教學可以把相關的內(nèi)容統(tǒng)一處理，方便前后聯(lián)系，便于理解知識點的系統(tǒng)性;同時對模塊根據(jù)內(nèi)容分為難中易三個程度，比如實數(shù)的完備性、函數(shù)的可積性討論、向量積分等內(nèi)容可以放在較難的高階模塊。易模塊是基礎部分，重點內(nèi)容，全體學生必須要掌握，難模塊是提高部分，給小部分同學學習，中模塊可根據(jù)班級的情況靈活處理。這樣方便學生根據(jù)自己的學習情況靈活選擇對應的模塊，也便于教師分層教學;再者，內(nèi)容的模塊化，可以使學生初學時忽略掉數(shù)學分析中過多的枝節(jié)問題，便于掌握主體重點內(nèi)容，適應學生對數(shù)學分析認知的心理過程。

2.強調(diào)數(shù)學分析的應用背景

大學生學習主動性問題一直是個難題。數(shù)學分析教學應該強調(diào)其應用性，應該避免為了學習數(shù)學分析而學數(shù)學分析的情況。我嘗試把數(shù)學分析的抽象概念和現(xiàn)實問題結合起來，從數(shù)學分析概念的產(chǎn)生背景開始讓學生了解數(shù)學分析的發(fā)展過程，便于學生理解數(shù)學分析的一些定義和定理產(chǎn)生的意義并增加數(shù)學分析的應用內(nèi)容。這樣能讓學生從歷史和應用中學習數(shù)學分析，進而理解學習數(shù)學的意義，提高學生學習數(shù)學的興趣。

例如，在導數(shù)模塊教學時，我們可以先講講牛頓和萊布尼茲關于導數(shù)產(chǎn)生的故事，讓學生了解導數(shù)是怎么被他們發(fā)現(xiàn)的，是怎么一步步的發(fā)展壯大起來的，理解導數(shù)能得以快速發(fā)展的必然性，激發(fā)學習的興趣;在學習完導數(shù)的幾何及極值最值的知識點后，引入邊際函數(shù)的概念：設函數(shù)f（x）可導，則稱導函數(shù)f'（x）為邊際函數(shù)，那么就自然得出了相應的邊際成本C'（Q）、邊際收益R'（Q）、邊際利潤L'（Q）等概念，由利潤、成本和收益函數(shù)關系L（Q）=R（Q）- C（Q），則得出邊際利潤可表示成L'（Q）=R’（Q） -C'（Q）。我們可以引導學生研究他們之間的關系，并解決一些簡單的經(jīng)濟問題，引導學生將實際問題與所學的抽象的導數(shù)數(shù)學性質(zhì)聯(lián)系起來。

從結果可以看出，當Q= 24時邊際利潤為負值，也就是說，此時多生產(chǎn)一個單位商品總利潤反而會下降。很容易知道當Q=200/9時，利潤取得最大，這個就是函數(shù)的極值（最值）問題。

3.分層分類教學

學生水平不一導致教學內(nèi)容及進度難以把控，如何科學的分層教學是一個難題。筆者是根據(jù)學生的愛好、數(shù)學基礎、學生的對未來的規(guī)劃等因素的綜合考慮來對學生進行分層分類教學，把數(shù)學分析教學內(nèi)容分基礎內(nèi)容和提高部分，基礎內(nèi)容以統(tǒng)一集中教授為主，強調(diào)的是基礎和扎實的數(shù)學技能力訓練，對應于模塊中的容易及一部分中等難度模塊。然后以興趣小組的形式分組分類教學來推動數(shù)學分析提高部分內(nèi)容模塊的教學，主要體現(xiàn)出學習的個性，強調(diào)的是學生數(shù)學思維的提高。通過一個基礎教學，多個小組的分組學習的方法，達到分層教學的效果。

例如筆者在班上分別成立了競賽興趣組、財經(jīng)興趣組、信息建模興趣組等。在基礎模塊的基礎上，分別引入一些相關的知識模塊。競賽組有意識的安排考研及數(shù)學競賽題及相關內(nèi)容，主要偏重于邏輯思維能力的訓練;財經(jīng)組則是討論經(jīng)濟金融方面的問題，側重于數(shù)學在經(jīng)濟方向的應用，比如在學習定積分的幾何應用時，可以引入總收益函數(shù)的求解問題5]：假設某產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為R’（Q），則銷售Q個單位時的總收益函數(shù)為R（Q）=JQR'（Q）dQ;信息建模組側重于數(shù)學分析中數(shù)據(jù)計算和分析類訓練，可以適當?shù)囊胍恍┖唵蔚臄?shù)學模型，討論如何建模、如何處理數(shù)據(jù)，比如光盤數(shù)據(jù)容量的模型C av=loLa_v、商人安全過河模型等。這些興趣小組活動分別以課后作業(yè)及課堂討論、及課外活動、網(wǎng)上研討等多樣的教研形式來推動。

4.實踐教學與理論教學相結合

強調(diào)數(shù)學分析的實用性，一個重要手段是把實踐教學和理論教學相結合。利用財經(jīng)院校的專業(yè)特點，把數(shù)學相關知識與財會類專業(yè)相結合，讓學生嘗試用數(shù)學分析的方法去解決一些經(jīng)濟類、財會、公管類的小問題;同時也可以把數(shù)學分析與信息類專業(yè)結合，討論信息處理和數(shù)據(jù)分析，把數(shù)學建模與數(shù)學分析教學結合起來。學生利用數(shù)學分析的知識解決了一些小的實際問題，不僅提高了學生學習數(shù)學分析的興趣，更培養(yǎng)了學生運用數(shù)學的能力，學會以數(shù)學的思維來處理問題。

在教學中，筆者主要在下面兩個方面做了些嘗試：首先，把Matlab計算機軟件和數(shù)學分析的教學結合起來，利用Matlab等軟件輔助數(shù)學分析的學習。伴隨數(shù)學分析的進度，要求學生利用計算機實現(xiàn)極限、導數(shù)、積分的計算，函數(shù)作圖等問題。例如在學習換元積分法時，在課堂講授換元求解過程的同時利用計算機來作圖形象的展示了積分區(qū)域的轉化過程，還可計算定積分;

例2.計算ffe- drdy，D是由z軸與y軸及x+y=2所圍成的圖形。

其Matlab代碼如下：

syms x y u v; U=y- x;V= y+x;

S= solve（ u-U，v—V，x，y）;subplot 121;

ezplot（‘x+y-2’，[-1，3]）; hold on;

plot（[0，0，3]，[3，0，0]）;fill（[0，0，2， 0]，[2，0，0，2]，'y '）;

axis equal tight; title（'原積分區(qū)域圖'）

subplot 122; ezplot（S.x，[-2， 2]）;

hold on; ezplot（S.y，[-2， 2]）;

vl=solve（S. x+S. y2，v）;ezplot（vl，[ -2，2]）;

fi11（[0，2， -2，0]，[0，2，2，o]，'y'）;

title（‘變換后的積分區(qū)域圖'）;%然后根據(jù)變換后的積分區(qū)域計算該二重積分;

f=exp（（y x）/（y+x））;

f=subs（f，{x，y），{S.x，S.y））;

J=det（jacobian（[S.x;S.y]，[u，v]））;

I=int（int（f* abs（J），u，-v，v），v，O，2）.

其次，通過討論課、課外探索作業(yè)等形式，安排學生研究一些起小的建模問題、解決經(jīng)濟上的一些小問題或者數(shù)學分析難題的一題多解等等，通常是二到三周安排一個主題。比如在學習數(shù)學分析中凹凸函數(shù)的性質(zhì)時，安排經(jīng)濟興趣和建模興趣組討論如何利用函數(shù)的凹凸性研究有關市場中收益最大化的問題;對于競賽組可以讓他們討論函數(shù)凹凸性在不等式證明中的應用等，兩組可先采取課外討論，網(wǎng)絡交流，然后大家課堂上相互交流討論研究結果，最后分別以作業(yè)或者小論文的形式寫出研究結果。

5.改變單一的評價方式，多維度考察學生的學習情況。

評價方式指引了教學的方向，數(shù)學分析的教學首先要改變原有的以考試作為唯一的評價體制，在文獻[6]中吳老師等對這一問題做了詳細的論述。筆者根據(jù)本校的特點，采取多維度的評價方式，即保有原有的考試評價，又加入了平時考核、實踐考核等，其中傳統(tǒng)的筆試成績占60%，實踐考核成績占40%，評價主要依據(jù)以實驗報告，研討評價等多種表現(xiàn)形式。多維度的測評方式，有助于更客觀的評價學生的學習情況，有助于學生多向發(fā)展。

三，結語

數(shù)學分析的教學難度，集中而典型的體現(xiàn)了整個數(shù)學專業(yè)在教學中存在的一些問題。怎樣教好數(shù)學課，怎么讓數(shù)學專業(yè)的學生快速提高數(shù)學素養(yǎng)，進而提高自己的競爭力，是數(shù)學專業(yè)教師的責任。我們數(shù)學教師在應該相互學習基礎，不斷的總結經(jīng)驗，不斷改進教學模式，提高課堂教學效率，才能更好為教育事業(yè)貢獻自己的力量。

參考文獻

[1]同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學[Ml.高等教育出版社.2014.

[2]華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析[M].高等教育出版社，2010.

[3]但煒， 財經(jīng)類院校數(shù)學分析教學的思考[J]，高教學刊，2016（04）

[4]龔小兵，數(shù)學分析教學與中學數(shù)學銜接因難的成因分析及解決建議[J]，赤峰學院學報，2015 （31）

[5]毛培民，探計積分在經(jīng)濟問題中的應用[J]，數(shù)學學習與研究，2014 （11）.

[6]吳金霞，劉闖，數(shù)學分析教學方法及考試方法改革[J]，渤海大學學報，2018（ 02）