摘 要:函數(shù)可以作為了解事物變化規(guī)律的數(shù)學模型,而數(shù)列作為離散函數(shù)模型,《普通高中數(shù)學課程標準》指出,一方面,要培養(yǎng)學生從實際問題抽象出數(shù)列模型的能力,另一方面,特別指出“要體現(xiàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),通過列表、圖像、通項公式表示數(shù)列,將數(shù)列融入函數(shù)中去”.學習數(shù)列可以培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力,另外其獨特的遞推關系又可以培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象與邏輯推理能力.人民教育出版社A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學5(必修)》(以下統(tǒng)稱“教材”)對等差數(shù)列、等比數(shù)列通項模型做了很好的研究.教材中還有一些更復雜的遞推數(shù)列,如二階線性遞推數(shù)列,其通項也有模型.下面文章先給出二階線性遞推數(shù)列的定義,然后由淺入深地探究二階線性遞推數(shù)列的通項模型,并進一步探究該模型的應用,最后指出二階線性遞推數(shù)列通項模型是一個通用模型,運用該模型可以將等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和,等差乘等比數(shù)列(以下簡稱等比差數(shù)列)前n項和,“an=pan-1+q”型數(shù)列、斐波那契數(shù)列通項一一表示出來.
關鍵詞:遞推數(shù)列;通項模型;應用
五、二階線性遞推數(shù)列通項模型探究的教學建議與思考
1.教學建議
數(shù)列通項問題是近年高考中的基本問題,具有較高的選拔與甄別功能,要求學生具有較強的運算求解能力和觀察分析、抽象與概括、歸納與演繹等數(shù)學能力.通過前面討論,等差數(shù)列、“an=pan-1+q(p,q≠0,n≥2)”型數(shù)列、斐波那契數(shù)列、等比差數(shù)列都是二階線性遞推數(shù)列;等比差數(shù)列前n項和是三階線性遞推數(shù)列.學生掌握該模型后,教師要引領學生用該模型對上述數(shù)列進行深入探究,要立足教材,探尋活水源頭,充分挖掘教材中的素材.
另外,教師不能脫離學生的內心感受,讓學生在追求知識的過程中獲得豐富的情感體驗.因此,在教學中,要創(chuàng)設一些教學情境,以教材中的斐波那契數(shù)列為例,先激發(fā)學生對二階線性遞推數(shù)列通項的學習興趣,進而再創(chuàng)設一些由易到難的問題串,通過這些問題引導學生主動去發(fā)現(xiàn)、去探究一個具體的二階線性遞推數(shù)列通項的求法,最后將其推廣到一般的二階線性遞推數(shù)列中去.在這個過程中,學生的地位得到了充分的發(fā)揮,極大提高了學習遞推數(shù)列的興趣,也提高了他們知識遷移能力和分析探究能力.
2.教學思考
教學中,教師不要把“二階線性遞推數(shù)列通項模型”作為一個解題武器直接拋給學生,而是通過一系列有梯度的問題串,由特殊到一般來引導學生探究該類數(shù)列通項的求法.這就使得雖然二階線性遞推數(shù)列模型比較巧妙和獨特,但是這一方法并不是直接從天上掉下來的,而是通過合情推理和歸納得到的.
教師在教學中不僅要總結方法,更要總結通法.教師教會學生一些簡單的數(shù)學問題以后,為解決更加復雜的問題,需要把一些問題高度抽象,建立一個通用的數(shù)學模型,使問題變得更加簡單.而二階線性遞推數(shù)列通項模型就是一個通用模型,它是上述數(shù)列通項模型的紐帶,它能夠將等差數(shù)列、等比數(shù)列、等比差數(shù)列的通項表示出來,這也是探究二階線性遞推數(shù)列通項模型的重要原因之一.
參考文獻
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