劉國(guó)祥 劉眾

摘要：本文針對(duì)2019年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）18題和解法，對(duì)教學(xué)及考研輔導(dǎo)、復(fù)習(xí)等問(wèn)題，進(jìn)行了多方位的思考.

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列;單調(diào)性;定積分;分部積分法

中圖分類(lèi)號(hào)：O174? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）07-0016-04

2019年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）第18題是：

針對(duì)這道題目的解法和分析，對(duì)教學(xué)及考研輔導(dǎo)、復(fù)習(xí)等問(wèn)題，進(jìn)行了思考，并探討在教學(xué)中如何培養(yǎng)思維定式與創(chuàng)新意識(shí).

1 題目分析

看到一個(gè)題，首先看已知什么，要求什么，或者要證明什么.這個(gè)題的題設(shè)非常清晰，是以定積分形式給出的無(wú)窮數(shù)列的通項(xiàng).問(wèn)題有兩問(wèn)第一問(wèn)是證明數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系，第二問(wèn)是求數(shù)列通項(xiàng)的商的極限.問(wèn)題非常清晰簡(jiǎn)練，看不清楚題目，看不懂題目是絕對(duì)不會(huì)的.

高等數(shù)學(xué)考試或者研究生入學(xué)考試與中學(xué)數(shù)學(xué)或者說(shuō)高考數(shù)學(xué)題目有一個(gè)明顯的區(qū)別，高考中，如果一個(gè)題目有兩問(wèn)或者多問(wèn)，其中第一問(wèn)基本是送分的.只是為了后續(xù)問(wèn)題做個(gè)準(zhǔn)備，甚至是后續(xù)問(wèn)題的提示.考研中，如果一個(gè)題目有兩問(wèn)或者多問(wèn)，其中第一問(wèn)基本是最難的.如果第一問(wèn)解決，后續(xù)問(wèn)題基本就迎刃而解，基本是送分的了.

嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，沒(méi)有難題與簡(jiǎn)單題之說(shuō)，只是針對(duì)具體的問(wèn)，根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況，熟練程度，就有了難易之分.那什么樣的題對(duì)你是難題呢，基本上有兩種，一種是看不懂題目，具體的又有這么幾種情況，其一是新定義一個(gè)或者幾個(gè)概念、規(guī)定符號(hào)，從來(lái)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)，不知其意，一般是新穎創(chuàng)新型的題目.其二是問(wèn)題中有的概念忘了或者記憶模糊，雖然見(jiàn)過(guò)，但不知其意.一時(shí)想不起來(lái)，還不如第一種情況.嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這都屬于基本功不扎實(shí)，復(fù)習(xí)準(zhǔn)備不到位，知識(shí)脈絡(luò)有漏洞.第二種難題是雖然題目看懂了，但是無(wú)從下手，沒(méi)有突破口.整數(shù)論課程這樣問(wèn)題很多，例如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理，誰(shuí)都懂，但是證明卻無(wú)從下手.高等數(shù)學(xué)考試中利用中值定理證明存在性問(wèn)題，想不到構(gòu)造輔助函數(shù)，或者想到構(gòu)造輔助函數(shù)但是選取不到合適的.這樣都使得解答無(wú)從進(jìn)行.

這個(gè)題對(duì)于多數(shù)人來(lái)說(shuō)，都應(yīng)該不是難題，都能夠入手.至于是否能夠完滿順利解答，還有看你的計(jì)算能力和推演能力.

從這里可以更明顯地體會(huì)到，記住方法或許比記住結(jié)果更重要.

分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要思想，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和高考中體現(xiàn)更明顯.這道考題解法，選擇適當(dāng)，可以避免分類(lèi)討論奇偶性.分奇偶性討論，結(jié)論更直觀，直接用.對(duì)于分類(lèi)討論，我們的觀點(diǎn)是，不必過(guò)于追求，也不過(guò)于回避.平時(shí)練習(xí)時(shí)候，多思考，不用分類(lèi)討論解不出來(lái)或者過(guò)于復(fù)雜的題目，試試分類(lèi)討論.當(dāng)然分類(lèi)討論接觸的題目，想一想不用分類(lèi)討論能不能解出來(lái)，是否更精煉.

至于轉(zhuǎn)化，可以說(shuō)是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)界.嚴(yán)格說(shuō)不能簡(jiǎn)單說(shuō)成是方法或者思想.狹義地說(shuō)，這里用到an，an-1，an-2的轉(zhuǎn)化，In，In-1，In-2的轉(zhuǎn)化，an，In之間的轉(zhuǎn)化等.我們的觀點(diǎn)同對(duì)待分類(lèi)討論一樣，不過(guò)于追求，不過(guò)于回避.

4 試題溯源

分析歷年來(lái)考試試題，無(wú)非以下幾種情況：第一種是所謂的成題（或舊題），就是以前考過(guò)或者常見(jiàn)文獻(xiàn)上可查到.舊題稍微變化或者換換數(shù)字，也算作這種情況.主要考查學(xué)生掌握基本知識(shí)和基本方法.這種題目占很大比例也并不一定簡(jiǎn)單，例如2019年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）第15題，第一問(wèn)求解一元線性微分方程，第二問(wèn)求函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)，就是成題.第二類(lèi)是完全新穎的題目，或者創(chuàng)新的題目，從未見(jiàn)過(guò)或者類(lèi)型都沒(méi)有見(jiàn)過(guò).這主要看你能否準(zhǔn)確理解題目，或者適當(dāng)轉(zhuǎn)化、類(lèi)比于成題.并不一定是難題，可能只是一個(gè)華麗（唬人）的外表.第三類(lèi)，也是最常見(jiàn)的一類(lèi)是某些成題或者結(jié)論的變形或者轉(zhuǎn)化、引申，或者參考某個(gè)方法.總之它們都有明顯或者不明顯的出處.

在課堂教學(xué)、課外輔導(dǎo)或者考研輔導(dǎo)時(shí)，這么多方法，那種是最好的.我們的觀點(diǎn)是：容易想到的，你會(huì)使用的，你熟練的，對(duì)你來(lái)說(shuō)，就是最好的.對(duì)于“定式”的、經(jīng)典的題型，至少要熟練一種.至于到底是哪種呢？你喜歡的，常規(guī)的.不要過(guò)分追求新奇的‘巧妙的’解法，熟生巧，不熟，“巧”也記不住，掌握不了.

還是回到老話，平時(shí)多看、多讀、多練、多思、多試，夯實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)變通，才會(huì)有提高與創(chuàng)新.

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