李志文++陳勇

摘 要： 本文深入研究了無(wú)窮和式極限的解法，給出了該類(lèi)極限求解思路，并結(jié)合大量案例，采用初等變形、夾逼定理、第二重要極限、定積分概念、級(jí)數(shù)及其和函數(shù)等微積分知識(shí)求解了無(wú)窮和式極限問(wèn)題.

關(guān)鍵詞： 初等變形 夾逼定理 定積分 第二重要極限 級(jí)數(shù)

無(wú)窮和式極限問(wèn)題是微積分的重難點(diǎn)內(nèi)容，其題目具有較強(qiáng)的綜合性和復(fù)雜性，是各級(jí)考試和競(jìng)賽的重要考點(diǎn)，常用來(lái)考查學(xué)習(xí)者的微積分運(yùn)算能力，并以此衡量其高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)水平.

無(wú)窮和式極限的求解方法多種多樣且富于變化。在無(wú)窮和式極限中，由于待求極限函數(shù)是無(wú)窮多項(xiàng)之和，自然讓人想到可利用級(jí)數(shù)知識(shí)求解；很多無(wú)窮和式極限往往是數(shù)列極限，可以先對(duì)分式進(jìn)行放縮處理，再采用夾逼定理求解；還有一些無(wú)窮和式極限題目需要利用湊項(xiàng)、裂項(xiàng)、拆項(xiàng)相消等技巧，對(duì)待求極限函數(shù)采用高斯公式、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、三角變形及其他公式進(jìn)行初等變形，化簡(jiǎn)題目后再求解；而某些特殊類(lèi)型題目，則可以結(jié)合待求極限函數(shù)的特點(diǎn)，利用定積分概念、第二重要極限求極限?？偠灾?，無(wú)窮和式極限的題目體現(xiàn)出題目難、方法多、思路巧等特點(diǎn)，常常構(gòu)思巧妙、趣味無(wú)窮。下面通過(guò)實(shí)例詳細(xì)介紹無(wú)窮和式極限的多種求解方法。

解法1.初等變形法

【原理】用初等運(yùn)算、變量代換、恒等變形等方法將極限式化簡(jiǎn)，再結(jié)合其他方法求解。

【小結(jié)】無(wú)窮和式極限問(wèn)題因其形式的復(fù)雜性和多樣性，決定了極限求法的多元化和綜合性。

需要特別說(shuō)明的是，在具體問(wèn)題的求解中常常需要將以上方法混合使用，比如，初等變形時(shí)往往需要湊項(xiàng)、裂項(xiàng)，并結(jié)合拆項(xiàng)相消法求解極限；夾逼定理常常和定積分法搭配使用；而級(jí)數(shù)的和概念常常伴隨著初等變形使用，等等?？傊?，學(xué)習(xí)者需多加訓(xùn)練方可熟能生巧。

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