李志文++陳勇

摘 要： 本文深入研究了無窮和式極限的解法，給出了該類極限求解思路，并結(jié)合大量案例，采用初等變形、夾逼定理、第二重要極限、定積分概念、級數(shù)及其和函數(shù)等微積分知識求解了無窮和式極限問題.

關(guān)鍵詞： 初等變形 夾逼定理 定積分 第二重要極限 級數(shù)

無窮和式極限問題是微積分的重難點內(nèi)容，其題目具有較強的綜合性和復(fù)雜性，是各級考試和競賽的重要考點，常用來考查學(xué)習(xí)者的微積分運算能力，并以此衡量其高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)水平.

無窮和式極限的求解方法多種多樣且富于變化。在無窮和式極限中，由于待求極限函數(shù)是無窮多項之和，自然讓人想到可利用級數(shù)知識求解；很多無窮和式極限往往是數(shù)列極限，可以先對分式進行放縮處理，再采用夾逼定理求解；還有一些無窮和式極限題目需要利用湊項、裂項、拆項相消等技巧，對待求極限函數(shù)采用高斯公式、等比數(shù)列前n項和公式、三角變形及其他公式進行初等變形，化簡題目后再求解；而某些特殊類型題目，則可以結(jié)合待求極限函數(shù)的特點，利用定積分概念、第二重要極限求極限?？偠灾?，無窮和式極限的題目體現(xiàn)出題目難、方法多、思路巧等特點，常常構(gòu)思巧妙、趣味無窮。下面通過實例詳細介紹無窮和式極限的多種求解方法。

解法1.初等變形法

【原理】用初等運算、變量代換、恒等變形等方法將極限式化簡，再結(jié)合其他方法求解。

【小結(jié)】無窮和式極限問題因其形式的復(fù)雜性和多樣性，決定了極限求法的多元化和綜合性。

需要特別說明的是，在具體問題的求解中常常需要將以上方法混合使用，比如，初等變形時往往需要湊項、裂項，并結(jié)合拆項相消法求解極限；夾逼定理常常和定積分法搭配使用；而級數(shù)的和概念常常伴隨著初等變形使用，等等?？傊瑢W(xué)習(xí)者需多加訓(xùn)練方可熟能生巧。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版上冊）.高等教育出版社，2007.4（第六版）.

[2]吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分.高等教育出版社，2009.4（第2版）.

[3]李軍英，劉碧玉，韓旭里.微積分（上冊）（第二版）.北京：科學(xué)出版社，2008.7（第二版）.

[4]孫洪祥，王曉紅.高等數(shù)學(xué)難題解題方法選講.機械工業(yè)出版社，2003.6（2015.7重?。?