邵長(zhǎng)亮

摘 要：分類討論是歸類整理思想的重要體現(xiàn)，分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)解題策略.在實(shí)際教學(xué)過程中分類討論思想的應(yīng)用對(duì)于幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律，對(duì)于提升學(xué)生的概括能力和條理性具有重要意義.文章針對(duì)分類討論思想在中考數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了初步分析探討。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;中考數(shù)學(xué)解題;教學(xué);應(yīng)用

伴隨著當(dāng)下教育課程改革的進(jìn)度持續(xù)深入，在中學(xué)階段，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維正在慢慢成為學(xué)校和老師們需要重點(diǎn)關(guān)注的方面。分類討論思想是一種極其重要且常用的數(shù)學(xué)思想方法，也叫做“化零為整，逐個(gè)擊破，最終合零為整”。它雖然只是一種基本的解決問題的思路策略，但其更是中考重點(diǎn)考察學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)容之一，縱觀近些年各省市中考的試卷，不難發(fā)現(xiàn)，它們都或多或少涉及對(duì)中學(xué)生分類討論思想方法的考察，這更是突出對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力考察。在中考數(shù)學(xué)的考察中，常見的分類討論思想的運(yùn)用情形分為以下幾種：按數(shù)的特性分類;按事件的可能性分類;按圖形的位置特征分類;按字母的取值范圍分類等。

一、分類討論思想的具體應(yīng)用步驟解析

在中學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想并不是能夠盲目應(yīng)用的一種思想，而是需要按照一定的解題模式步驟進(jìn)行解題的，因此，需要教師在每次應(yīng)用分類討論思想之前，對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，結(jié)合題目與學(xué)生討論具體的應(yīng)用方式，所以，綜合全方面是教師需要考慮的事，為了帶領(lǐng)學(xué)生先確定研究對(duì)象，然后再進(jìn)行討論，最后得出想要的答案。教師在解題教學(xué)中，必須要用具體的例題要求為基礎(chǔ)，結(jié)合理論為學(xué)生講解如何應(yīng)用分類討論思想。先進(jìn)行分類討論使此例題可以得到明確的研究對(duì)象，然后再制定具體的討論計(jì)劃，最終落實(shí)討論活動(dòng)，有時(shí)需要結(jié)合題目的題境檢驗(yàn)討論結(jié)果是否符合。老師在一些復(fù)雜的討論問題中需要幫助學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行細(xì)化，再確定這個(gè)細(xì)化后的討論對(duì)象，歸納總結(jié)各對(duì)象，最終得出綜合性結(jié)論。

二、在解答中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，分類討論思想的應(yīng)用

分類討論在中學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中應(yīng)用十分廣泛，其重點(diǎn)在于以下這幾個(gè)方面：（1）在三角形解題中的應(yīng)用;（2）在應(yīng)用題解題中的應(yīng)用;（3）在圓解題中的應(yīng)用等。本文就其在解決數(shù)學(xué)題目中的三類常見題型的應(yīng)用舉例分析講解，以供從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育行業(yè)的教師們和有需要的同學(xué)們參考。

第一，應(yīng)用分類討論思想解決關(guān)于三角形的問題。教師合理應(yīng)用分類討論思維，可以使學(xué)生在三角形性質(zhì)專題的學(xué)習(xí)過程中更加容易掌握該章節(jié)的相關(guān)只是點(diǎn)，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，從而達(dá)到增加學(xué)生解題成就感的目的，形成更加努力學(xué)習(xí)的良性循環(huán)。

例如，在已經(jīng)知道一個(gè)等腰三角形的兩邊邊長(zhǎng)分別為5cm和6cm，試著求出這個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積分別是多少？

在這一個(gè)問題當(dāng)中，假如學(xué)生沒有進(jìn)行分類討論再解題，只是主觀認(rèn)為5cm為這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)，就很容易因此漏算掉另一種腰長(zhǎng)為6cm的情況，從而在考試中失分。反觀題目，在問題給出的已知條件中，并沒有明確的告知做題者哪條邊是底邊，哪條邊又是腰長(zhǎng)。因此，在這種只有數(shù)據(jù)而沒有明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的情況下，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在解答這個(gè)問題的過程中應(yīng)用分類討論思想，這樣才能得到完美的答案。而在這道題，需要學(xué)生把等腰三角形的情況分為兩種：腰長(zhǎng)為5cm，底邊為6cm和腰長(zhǎng)為6cm，底邊為5cm這兩種情況，最后再運(yùn)用三角形的性質(zhì)來進(jìn)行檢驗(yàn)是否兩種情況均能成立。在學(xué)生對(duì)這道題進(jìn)行解答的過程中，需要老師幫助彰顯出分類討論思維在其中的應(yīng)用，這樣才能體現(xiàn)出分類思想的重要地位，從而達(dá)到理想中的教學(xué)效果。

點(diǎn)評(píng)：這道關(guān)于三角形的問題是大多數(shù)學(xué)生的易錯(cuò)題，在學(xué)習(xí)三角形性質(zhì)的過程中常常犯下的錯(cuò)誤，絕大部分學(xué)生會(huì)因?yàn)轭}目給出的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)而掉以輕心，然后先入為主，認(rèn)為只有一種情況，因此而忽略了第二種情況的可能。這就是學(xué)生對(duì)于分類討論思想掌握得不夠透徹的一個(gè)明顯體現(xiàn)，所以，教師一定要在教學(xué)過程中慢慢培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成分類討論的思想，讓學(xué)生今后解答三角形性質(zhì)的這類問題時(shí)不會(huì)再犯下類似的錯(cuò)誤。

第二，應(yīng)用分類討論思想解決關(guān)于生活類應(yīng)用題的問題。應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的考查形式，也是學(xué)生得分的重點(diǎn)項(xiàng)目，因此對(duì)于應(yīng)用題的得分多少一定程度上決定了數(shù)學(xué)成績(jī)的高低，所以在此列舉兩個(gè)此類題型，幫助教師更好地對(duì)學(xué)生的分類思想的灌輸。

例如：某玩具廠主要生產(chǎn)洋娃娃和玩具車，其中洋娃娃的定價(jià)是200元，而玩具車的定價(jià)是40元，為了增加銷售量，工廠推出了兩種采購方式，第一種是：買一個(gè)洋娃娃送一輛玩具車，第二種是洋娃娃和玩具車都按照市場(chǎng)實(shí)際定價(jià)的90%來銷售，此兩種優(yōu)惠不能疊加使用。某學(xué)校小賣部想要訂購20個(gè)洋娃娃，若干輛玩具車，那么怎么購買最合適？

分析：這一問題相對(duì)來說難度比較高，因?yàn)榇藛栴}題干中并沒有對(duì)購買玩具車的數(shù)量進(jìn)行明確，這樣不同的玩具車的購買數(shù)量就會(huì)影響總體的金額，因此，在解決這一問題的過程中，就應(yīng)該利用分類討論思想。

解答：小賣部購買玩具車數(shù)量為x輛，則有一下兩種購買方式，如果按照優(yōu)惠方案一，就需要花費(fèi)200x20+（x-20）x40=3200+40x元，若采用第二種優(yōu)惠方案，那么小賣部總計(jì)需要花費(fèi)的金額是（200x20+40x）x0.9=3600+36x元。此時(shí)可以設(shè)y=（3200+40x）-（3600+36x）=4x-400元，如果y>0，那么就有x>100，第二種方案優(yōu)惠力度更大;如果有y=0，x=100，那么兩種方案優(yōu)惠力度一致;如果有y<0，則有20<x<100，那么第一種方案優(yōu)惠力度更大。小賣部就應(yīng)該采用第一種優(yōu)惠方式來購買玩具。也就是說，當(dāng)老板想購買100個(gè)以下數(shù)量的洋娃娃時(shí)，應(yīng)該采用第一種優(yōu)惠方式，若是想要買100個(gè)以上數(shù)量的洋娃娃，那么就應(yīng)該選擇第二種方案。

例如：暑假的時(shí)候，小明與小靜兩人騎自行車，同時(shí)從相距50千米的兩地相向而行，小明的速度為15千米/時(shí)，小靜的速度為10千米/時(shí)，問經(jīng)過幾小時(shí)，他們相距20千米？

分析：在這道題目當(dāng)中，沒有告訴解題者兩人相距20千米是哪種情況，兩人沒相遇或者兩人相遇后再繼續(xù)騎行后的相距距離，因此需要應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題。

解答：第一種情況，兩人還沒相遇（此時(shí)兩人所走的路程之和為（50千米-20千米），（50千米-20千米）/（15千米/時(shí)+10千米/時(shí)）=1.2小時(shí);第二種情況，兩人相遇后又各自前進(jìn)至相距20千米.（此時(shí)兩人所走的路程之和為50千米+20千米），（50千米+20千米）/（15千米/時(shí)+10千米/時(shí)）=2.8小時(shí)

點(diǎn)評(píng)：這道生活類的應(yīng)用題便是對(duì)于分類討論思想的完美運(yùn)用的一種典型題，在講解這個(gè)問題的過程當(dāng)中，教師一定要展現(xiàn)出分類討論思想的邏輯條理性，對(duì)于學(xué)生在今后解決此類問題時(shí)能夠更加熟練得應(yīng)用分類討論思想這將是極其有意義。

第三，應(yīng)用分類討論思想解決關(guān)于圓的問題。在中學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形知識(shí)里必不可少的一部分就是圓，但在解決圓的問題的時(shí)候，很多學(xué)生非常容易出現(xiàn)疏忽，從而引起解題時(shí)漏解，甚至出錯(cuò)的情況發(fā)生。因此，面對(duì)這種普遍現(xiàn)象，在開展圓的解題教學(xué)過程中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，并且，教師也應(yīng)該讓學(xué)生自己動(dòng)手畫出圖形，數(shù)形結(jié)合更有助于學(xué)生解題。

例如：已知，有兩個(gè)圓，一個(gè)圓（⊙O1）的直徑是30，另一個(gè)圓（⊙O2）的直徑是40，此圓在A，B兩點(diǎn)相交，公公和弦AB的長(zhǎng)度是12，求出圓心距O1O2（精確到1）。

分析：在解決這一問題的過程中，沒有給出具體的圖形，因此需要學(xué)生考慮兩個(gè)圓的圓心位于公共弦AB的同一側(cè)，還是位于弦的異側(cè)。

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生需要在解題的過程中綜合考慮各種情況，不能盲目解題，因此要對(duì)題目進(jìn)行全方位的分析理解，只要沒有任何的遺漏，并且每種情況都符合題境，那么這樣的解題答案就是真正準(zhǔn)確無誤的。

三、結(jié)語

在中學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，能應(yīng)用分類討論思想解決的數(shù)學(xué)問題不勝枚舉，不過礙于篇幅的限制，本文只能列舉一些具有代表性的題型，幫助大家分析理解分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方式。即使分類討論思想對(duì)于學(xué)生來說有著重大的意義，但學(xué)生對(duì)于分類討論思想的應(yīng)用能力并不能一蹴而就，不能在很短的時(shí)間可以被教師很好的培養(yǎng)出來，因此，需要教師在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中一點(diǎn)點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生用分類討論思想考慮具有多種情況的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該穩(wěn)扎穩(wěn)打，不能急于求成。幫助學(xué)生，以此來鍛煉學(xué)生自己相關(guān)的應(yīng)用能力，積累解題的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能夠在使用分類討論思想時(shí)形成慣性思維，從而慢慢具備獨(dú)立自主應(yīng)用分類討論思想解題的能力，以此來有效解決數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在不斷做題的過程中提高自己的數(shù)學(xué)成績(jī)便是一個(gè)顯而易見的努力成效。對(duì)于中學(xué)生來說，能夠在解題過程中靈活運(yùn)用分類討論思想，在中考或是以后的學(xué)習(xí)生活中都是不可或缺的，十分重要的一環(huán)。

參考文獻(xiàn)

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[2]袁紹建;;分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用探究[J];數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究;2015年24期