徐彥輝

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解答一些復(fù)雜的非常規(guī)代數(shù)問題時，尤其需要具備識別出問題中隱藏的“結(jié)構(gòu)”的能力，即具備對表達(dá)式的“結(jié)構(gòu)感”，從而靈活地使用表達(dá)式的等價結(jié)構(gòu)?！敖Y(jié)構(gòu)感”包括：（1）以最簡單的形式識別出熟悉的結(jié)構(gòu);（2）作為一個整體處理復(fù)雜項(xiàng)，通過適當(dāng)?shù)奶娲R別出更復(fù)雜形式中熟悉的結(jié)構(gòu);（3）選擇適當(dāng)?shù)牟僮骰蜃儞Q以充分利用結(jié)構(gòu)。舉例說明識別出問題中隱藏的“結(jié)構(gòu)”對于解答代數(shù)問題的作用，并進(jìn)一步指出“結(jié)構(gòu)感”的培養(yǎng)對于解答代數(shù)問題的意義。

關(guān)鍵詞：代數(shù)問題 結(jié)構(gòu)感 解題教學(xué)

數(shù)學(xué)家德夫林指出：“對大多數(shù)外行人來說，做數(shù)學(xué)意味著學(xué)會一大堆毫無聯(lián)系的規(guī)則和技巧來解答各類問題。當(dāng)遇到一位數(shù)學(xué)家對你說‘噢，這很明顯，你這樣做，再這樣做，然后答案就這樣出來了’，一般人一定會以為做數(shù)學(xué)需要一個特殊的腦袋。事實(shí)上并非如此，使得數(shù)學(xué)家在這種情況下知道該怎么做的主要原因是他們看到了針對問題領(lǐng)域的一種潛在結(jié)構(gòu)。如果你能看出這種結(jié)構(gòu)，你會很清楚下一步該做什么?！笨闯鲞@種結(jié)構(gòu)其實(shí)就是具備了“結(jié)構(gòu)感”。這是一種洞察力，是一種高層次的思維。

Hoch認(rèn)為，“結(jié)構(gòu)感”是一種包含程序性操作技能的綜合能力，它能使學(xué)生更好地運(yùn)用先前所學(xué)習(xí)的“代數(shù)技術(shù)”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解答一些復(fù)雜的非常規(guī)代數(shù)問題時，尤其需要具備識別出問題中隱藏的“結(jié)構(gòu)”的能力，即具備對表達(dá)式的“結(jié)構(gòu)感”，從而靈活地使用表達(dá)式的等價結(jié)構(gòu);而不是熟練地利用程序性操作技能，盲目地操作表達(dá)式。

Hoch和Dreyfus認(rèn)為“結(jié)構(gòu)感”包括如下綜合能力：識別結(jié)構(gòu)，將表達(dá)式的一部分看作一個整體;將表達(dá)式分解成有意義的子表達(dá)式;識別哪些操作是可能的和有用的，并選擇適當(dāng)?shù)牟僮骰蜃儞Q以充分利用結(jié)構(gòu)。Hoch后來又將“結(jié)構(gòu)感”定義為：（1）以最簡單的形式識別出熟悉的結(jié)構(gòu);（2）作為一個整體處理復(fù)雜項(xiàng)，通過適當(dāng)?shù)奶娲R別出更復(fù)雜形式中熟悉的結(jié)構(gòu);（3）選擇適當(dāng)?shù)牟僮骰蜃儞Q以充分利用結(jié)構(gòu)。

這里，以平方差（a2-b2）的結(jié)構(gòu)為例對應(yīng)說明每種類型的“結(jié)構(gòu)感”：（1）分解81-x2——能識別平方差的結(jié)構(gòu)并分解因式;（2）分解（2x-y）4-（2x+y）4——能將（2x-y）2與（2x+y）2分別看作一個整體，識別平方差的結(jié)構(gòu)并分解因式;（3）分解24x6y4-150z8——能在提取公因式后看出平方差的結(jié)構(gòu)，即能將24x6y4-150z8寫成6（4x6y4-25z8），再將2x3y2與5z4分別看作一個整體，識別平方差的結(jié)構(gòu)并分解因式。

可見，“結(jié)構(gòu)感”的一個重要特征是“替換原則”，即將一個變量（或參數(shù)）用一個復(fù)雜的式子替換，或?qū)⒁粋€復(fù)雜的式子用一個變量（或參數(shù)）替換，其結(jié)構(gòu)保持不變。這要求我們對代數(shù)問題中一些特殊的結(jié)構(gòu)關(guān)系比較熟悉，同時，能對具體問題中的某些相似結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或者采用整體思想化歸為熟悉的結(jié)構(gòu)。以下舉例說明識別出問題中隱藏的“結(jié)構(gòu)”對于解答代數(shù)問題的作用，并進(jìn)一步指出“結(jié)構(gòu)感”的培養(yǎng)對于解答代數(shù)問題的意義。

例1已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0，求證：a1+a+b1+b+c1+c=1。

證法1：題設(shè)條件中含有六個字母，即x、y、z、a、b、c;但要證明的結(jié)論中只含有三個字母，即a、b、c。因此，證明的基本思路就是消元，即消掉x、y、z，可以采用解方程組的方法。

解方程組x=by+cz，

y=cz+ax，

z=ax+by。①

②

③

若x=0，則代入方程組得by+cz=0，

y=cz，

z=by，則y+z=0，則x+y+z=0，與題設(shè)矛盾，故x≠0。同理，可得y≠0，z≠0。

于是②+③-①，得到y(tǒng)+z-x=2ax，所以a=y+z-x2x，1+a=x+y+z2x，a1+a=-x+y+zx+y+z。同理可得b1+b=x-y+zx+y+z，c1+c=x+y-zx+y+z。所以，a1+a+b1+b+c1+c=x+y+zx+y+z=1。

證法2：觀察發(fā)現(xiàn)，可以變a1+a為axx+ax（由上文可知xyz≠0），于是由已知條件實(shí)施整體代換即可得證。

a1+a=axx+ax=axax+by+cz。同理，b1+b=byy+by=byax+by+cz，c1+c=czz+cz=czax+by+cz。所以，a1+a+b1+b+c1+c=ax+by+czax+by+cz=1。

例2已知a+b+c=10，a2+b2+c2=38，a3+b3+c3=160，求abc的值。

解：由“結(jié)構(gòu)感”引導(dǎo)而自然獲得思路。

由a+b+c和a2+b2+c2想到基本關(guān)系式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca），可得100=38+2（ab+bc+ca），即ab+bc+ca=31。

再由a3+b3+c3和abc聯(lián)想到基本關(guān)系式a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），即160-3abc=10（38-31），即abc=30。

例3已知abc≠0，a+b+c=0，求a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b+2的值。

解：已知式a+b+c=0看似三個變量和一個常數(shù)的關(guān)系，實(shí)則兩個變量和一個變量的關(guān)系，即a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，而要求式也是這種結(jié)構(gòu)。再考慮到a、b、c的輪換對稱性，自然想到將要求式a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b+2展開重組為b+ca+a+cb+a+bc+2，從而代入已知式得-aa+-bb+-cc+2=-1。

例4設(shè)a、b、c都是正數(shù)，且ab+bc+ca=3，求證：a=b=c。

證明：令x=ab，y=bc，z=ca，則xyz=1，x+y+z=3，且x、y、z>0，則可以想到p3+q3+r3和pqr的基本關(guān)系式。

于是，得到3x3+3y3+3z3-33xyz=（3x+3y+3z）[（3x）2+（3y）2+（3z）2-3xy-3yz-3zx]=12（3x+3y+3z）[（3x-3y）2+（3y-3z）2+（3z-3x）2]=0。

由x、y、z>0，得3x-3y=0，3y-3z=0，3z-3x=0，故x=y=z=1，即a=b=c。

例5已知a+b+c=abc，求證：a（1-b2）（1-c2）+b（1-a2）（1-c2）+c（1-a2）（1-b2）=4abc。

證明：顯然，要將結(jié)論式的左邊展開并參考條件式的結(jié)構(gòu)重組，得到a（1-b2）（1-c2）+b（1-a2）（1-c2）+c（1-a2）（1-b2）=a+b+c-（ab2+ac2+ba2+bc2+ca2+cb2）+abc（ab+bc+ca）。再將其中與條件式的結(jié)構(gòu)差異較大的部分ab2+ac2+ba2+bc2+ca2+cb2向條件式的結(jié)構(gòu)靠攏，化為ab（a+b）+bc（b+c）+ca（a+c），再化為ab（abc-c）+bc（abc-a）+ca（abc-b）?？傻?，結(jié)論式的左邊=abc-[ab（abc-c）+bc（abc-a）+ca（abc-b）]+abc（ab+bc+ca）=4abc-abc（ab+bc+ca）+abc（ab+bc+ca）=4abc。

例6已知ax2-yz=by2-zx=cz2-xy，求證：ax+by+cz=（x+y+z）（a+b+c）。

證明：由已知條件和要證結(jié)論，容易想到根據(jù)等比的性質(zhì)構(gòu)造出ax+by+cz，即：當(dāng)xyz≠0時，ax2-yz=axx3-xyz=by2-zx=byy3-xyz=cz2-xy=czz3-xyz=ax+by+czx3+y3+z3-3xyz。

同理，可以構(gòu)造出a+b+c，即：ax2-yz=by2-zx=cz2-xy=a+b+cx2+y2+z2-xy-yz-zx=ax+by+czx3+y3+z3-3xyz。

再由x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）即可得證。

而當(dāng)xyz=0時，假設(shè)x=0，則-ayz=by2=cz2，則-a=bzy=cyz=bz+cyy+z，即-a（y+z）=bz+cy。所以，（x+y+z）（a+b+c）-ax-by-cz=（y+z）（a+b+c）-by-cz=a（y+z）+bz+cy=0，命題得證。

例7已知x、y、z滿足關(guān)系式xy+z+yz+x+zx+y=1，求證：x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。

證明：觀察發(fā)現(xiàn)，已知條件與要證結(jié)論之間有一定的相似性。因此，可以通過已知式得到要證式，即將已知式分別乘以x、y、z，得x2y+z+xyz+x+xzx+y=x，①

xyy+z+y2z+x+yzx+y=y，②

xzy+z+yzz+x+z2x+y=z。③

①+②+③，得到x2y+z+y2z+x+z2x+y+xyy+z+xzy+z+xyz+x+yzz+x+xzx+y+yzx+y=x+y+z，即x2y+z+y2z+x+z2x+y+x+y+z=x+y+z，即x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。

教學(xué)中，教師應(yīng)該幫助學(xué)生提高“結(jié)構(gòu)感”?？梢酝ㄟ^一些具體的例子設(shè)計有目的的活動，即要求學(xué)生按照問題中蘊(yùn)藏的“結(jié)構(gòu)”性質(zhì)，對問題進(jìn)行分析或分類，而不僅僅是要求學(xué)生得到答案。這樣的活動可以引導(dǎo)學(xué)生對問題中隱藏的“結(jié)構(gòu)”進(jìn)行更多的發(fā)掘和反思，培養(yǎng)學(xué)生的“結(jié)構(gòu)感”。要求學(xué)生在解答代數(shù)問題時，秉承“想清、看明，再動手”的原則，其實(shí)質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生事先識別出問題中隱藏的“結(jié)構(gòu)”。

正如哲學(xué)家Bateson（1972）指出的：學(xué)習(xí)分為兩種，即第一層學(xué)習(xí)（Learning 1）和第二層學(xué)習(xí)（Learning 2）。學(xué)會解答代數(shù)問題，是第一層學(xué)習(xí);學(xué)習(xí)隱藏在解答代數(shù)問題背后的那個思考方式，是第二層學(xué)習(xí)。解答代數(shù)問題的過程是看得到的，而通過解答代數(shù)問題形成的思考方式是看不到的?！敖Y(jié)構(gòu)感”的培養(yǎng)就屬于第二層學(xué)習(xí)。教師對此要格外重視，要有意識、有針對性地對學(xué)生加以訓(xùn)練。

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