蔡逸
摘要:解析幾何問(wèn)題中,常常需要求解弦長(zhǎng),特別是需要求解多條弦長(zhǎng)的關(guān)系,這種題型使用直線的參數(shù)方程可大大的簡(jiǎn)化思維和運(yùn)算,值得推廣。
關(guān)鍵詞:參數(shù)方程;弦長(zhǎng)問(wèn)題;定點(diǎn)問(wèn)題
解析幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中十分重要的部分,由于其能夠有效地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想,運(yùn)算能力,分類討論,思維深度以及在考場(chǎng)上的應(yīng)變能力和心理素質(zhì)等,在歷屆高考數(shù)學(xué)試卷中當(dāng)仁不讓的成為了重點(diǎn)和難點(diǎn)。
在解析幾何的學(xué)習(xí)中,我們主要學(xué)習(xí)了橢圓,雙曲線及拋物線為主的圓錐曲線,并且養(yǎng)成了對(duì)解析幾何大題的一般答題思路:找到共性,設(shè)出坐標(biāo),將直線方程與曲線方程聯(lián)立,用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系,再根據(jù)題設(shè)進(jìn)行解答,這種做法雖具有一定的普遍性,但在計(jì)算解答的過(guò)程中,往往涉及復(fù)雜的化簡(jiǎn)與代換,而在高考緊張的氣氛中,一旦算錯(cuò),很容易滿盤皆輸,因此在解決直線與曲線之間關(guān)系的問(wèn)題中,找到特殊的解決辦法來(lái)盡量減少我們的計(jì)算量并且提高準(zhǔn)確度,對(duì)于我們攻克高考?jí)狠S題是大有裨益的,同時(shí)也可讓我們保持良好的心態(tài)收獲更好的成績(jī)。
一、題型分析:
高考中,解析幾何題一般位于倒數(shù)第二題的位置,第一問(wèn)一般是要求曲線方程,離心率或定點(diǎn)坐標(biāo)等,此問(wèn)的結(jié)論一般作為后面解決問(wèn)題的依據(jù),難度較小。而在難度加深的第二問(wèn)中,直線與曲線相結(jié)合的問(wèn)題有,求某點(diǎn)的軌跡,定值問(wèn)題,最大值最小值等。
下面通過(guò)示例來(lái)討論在解析幾何運(yùn)算時(shí),利用直線參數(shù)方程來(lái)巧解問(wèn)題并減少計(jì)算量。
二、直線參數(shù)方程
1、直線參數(shù)方程的引入
我們知道直線的點(diǎn)斜式為:
此處 所代表的意義為直線與 軸正半軸夾角的正切值即
不妨改寫為 , 引進(jìn)參數(shù) 而在實(shí)際運(yùn)算中,我們?nèi)绾我M(jìn)參數(shù) 呢?
實(shí)際運(yùn)算中,常常會(huì)出現(xiàn) 三點(diǎn)之間的線段運(yùn)算,此時(shí)不妨將 直線看作數(shù)軸, 方向?yàn)檎较颍?為原點(diǎn),則設(shè) 處參數(shù)為 ,則
利用這種思路,我們可以更好的解決線段長(zhǎng)之間的計(jì)算
[數(shù)軸 → “原點(diǎn)”→ 正負(fù) → 線段長(zhǎng)]
2、嘗試用直線參數(shù)方程解決下列問(wèn)題
例1:平面上動(dòng)點(diǎn) 到動(dòng)點(diǎn) 的距離比它到直線 的距離小1
(1)求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程
(2)過(guò)點(diǎn) 作直線與曲線 交于兩點(diǎn) ,與直線 交于點(diǎn) ,求 的最小值
解析:這里只對(duì)第②問(wèn)進(jìn)行兩種方法的對(duì)比,由①得:
方法一:[常規(guī)解法]
方法二:參數(shù)方程
如圖,以 所在直線建立數(shù)軸, 為原點(diǎn), 方向?yàn)檎较颍瑪?shù)軸與 軸正方向夾角為 ,設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)參數(shù)為 , 處參數(shù)為 ,聯(lián)立
三、小結(jié)
由以上的方法對(duì)比可以很明顯的看出,在解答一些相對(duì)較復(fù)雜的解析幾何問(wèn)題時(shí),運(yùn)用參數(shù)方程解題,不僅可以減少我們的計(jì)算量,還可以簡(jiǎn)化我們的解題步驟,讓我們?cè)谧鲱}時(shí)達(dá)到事半功倍的效果。
當(dāng)然,除了參數(shù)方程外,還有其他比如斜率問(wèn)題,共切線問(wèn)題,二次曲線系等就不一一列舉了。