蔡逸

摘要：解析幾何問(wèn)題中，常常需要求解弦長(zhǎng)，特別是需要求解多條弦長(zhǎng)的關(guān)系，這種題型使用直線的參數(shù)方程可大大的簡(jiǎn)化思維和運(yùn)算，值得推廣。

關(guān)鍵詞：參數(shù)方程；弦長(zhǎng)問(wèn)題；定點(diǎn)問(wèn)題

解析幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中十分重要的部分，由于其能夠有效地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)算能力，分類討論，思維深度以及在考場(chǎng)上的應(yīng)變能力和心理素質(zhì)等，在歷屆高考數(shù)學(xué)試卷中當(dāng)仁不讓的成為了重點(diǎn)和難點(diǎn)。

在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們主要學(xué)習(xí)了橢圓，雙曲線及拋物線為主的圓錐曲線，并且養(yǎng)成了對(duì)解析幾何大題的一般答題思路：找到共性，設(shè)出坐標(biāo)，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)進(jìn)行解答，這種做法雖具有一定的普遍性，但在計(jì)算解答的過(guò)程中，往往涉及復(fù)雜的化簡(jiǎn)與代換，而在高考緊張的氣氛中，一旦算錯(cuò)，很容易滿盤皆輸，因此在解決直線與曲線之間關(guān)系的問(wèn)題中，找到特殊的解決辦法來(lái)盡量減少我們的計(jì)算量并且提高準(zhǔn)確度，對(duì)于我們攻克高考?jí)狠S題是大有裨益的，同時(shí)也可讓我們保持良好的心態(tài)收獲更好的成績(jī)。

一、題型分析：

高考中，解析幾何題一般位于倒數(shù)第二題的位置，第一問(wèn)一般是要求曲線方程，離心率或定點(diǎn)坐標(biāo)等，此問(wèn)的結(jié)論一般作為后面解決問(wèn)題的依據(jù)，難度較小。而在難度加深的第二問(wèn)中，直線與曲線相結(jié)合的問(wèn)題有，求某點(diǎn)的軌跡，定值問(wèn)題，最大值最小值等。

下面通過(guò)示例來(lái)討論在解析幾何運(yùn)算時(shí)，利用直線參數(shù)方程來(lái)巧解問(wèn)題并減少計(jì)算量。

二、直線參數(shù)方程

1、直線參數(shù)方程的引入

我們知道直線的點(diǎn)斜式為：

此處 所代表的意義為直線與 軸正半軸夾角的正切值即

不妨改寫為 ， 引進(jìn)參數(shù) 而在實(shí)際運(yùn)算中，我們?nèi)绾我M(jìn)參數(shù) 呢？

實(shí)際運(yùn)算中，常常會(huì)出現(xiàn) 三點(diǎn)之間的線段運(yùn)算，此時(shí)不妨將 直線看作數(shù)軸， 方向?yàn)檎较颍?為原點(diǎn)，則設(shè) 處參數(shù)為 ，則

利用這種思路，我們可以更好的解決線段長(zhǎng)之間的計(jì)算

[數(shù)軸 → “原點(diǎn)”→ 正負(fù) → 線段長(zhǎng)]

2、嘗試用直線參數(shù)方程解決下列問(wèn)題

例1：平面上動(dòng)點(diǎn) 到動(dòng)點(diǎn) 的距離比它到直線 的距離小1

（1）求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程

（2）過(guò)點(diǎn) 作直線與曲線 交于兩點(diǎn) ，與直線 交于點(diǎn) ，求 的最小值

解析：這里只對(duì)第②問(wèn)進(jìn)行兩種方法的對(duì)比，由①得：

方法一：[常規(guī)解法]

方法二：參數(shù)方程

如圖，以 所在直線建立數(shù)軸， 為原點(diǎn)， 方向?yàn)檎较颍瑪?shù)軸與 軸正方向夾角為 ，設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)參數(shù)為 ， 處參數(shù)為 ，聯(lián)立

三、小結(jié)

由以上的方法對(duì)比可以很明顯的看出，在解答一些相對(duì)較復(fù)雜的解析幾何問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用參數(shù)方程解題，不僅可以減少我們的計(jì)算量，還可以簡(jiǎn)化我們的解題步驟，讓我們?cè)谧鲱}時(shí)達(dá)到事半功倍的效果。

當(dāng)然，除了參數(shù)方程外，還有其他比如斜率問(wèn)題，共切線問(wèn)題，二次曲線系等就不一一列舉了。