施惠芳

【摘要】長期以來，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)重邏輯、輕直覺。對如何正確理解數(shù)學(xué)直覺思維的內(nèi)涵及價值，如何建構(gòu)有效的數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)策略等一系列問題進(jìn)行探究具有非常重要的現(xiàn)實意義。扎實的“四基”是數(shù)學(xué)直覺思維形成的源泉，圖形結(jié)合是數(shù)學(xué)直覺思維發(fā)展的途徑，合理猜想與科學(xué)驗證能增大數(shù)學(xué)直覺思維的寬度與深度，當(dāng)直覺思維與邏輯思維有機結(jié)合，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)才是完整的。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 直覺思維 邏輯思維

如果去了解一些偉大的科學(xué)家與發(fā)明家，我們不難發(fā)現(xiàn)，直覺發(fā)揮著不可忽視的作用。歐幾里得幾何學(xué)的五個公式都是基于直覺，阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法，凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個直覺思維的成功典范。說起“直覺”，總給人一種神秘的感覺，它往往與“頓悟”“靈感”等詞聯(lián)系在一起。實際上，兒童最初認(rèn)識世界主要就依靠直覺。如孩子往往能一眼看出兩個蘋果的大小，能直覺認(rèn)識3比2大，他們也能意識到從一個地方到另一個地方，走直線最近……

德國數(shù)學(xué)家伊恩·斯圖加特曾說：“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西?！庇纱丝梢?，直覺思維與邏輯思維一樣，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有其不可忽視的重要作用。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感，在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時，應(yīng)注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。然而，長期以來，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)重邏輯、輕直覺的現(xiàn)象普遍存在。美國教育心理學(xué)家布魯納就曾尖銳地指出：“我們的教學(xué)對分析思維太過于強調(diào)了，而直覺的訓(xùn)練又太多地被忽視。教學(xué)往往不是從直覺水平開始，而是向?qū)W生提供高于他們思維水平的‘超分析模型’，這不僅不利于直覺思維的發(fā)展，也不利于分析思維的訓(xùn)練。”對如何正確理解數(shù)學(xué)直覺思維的內(nèi)涵及價值，如何建構(gòu)有效的數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)策略等一系列問題進(jìn)行探究具有非常重要的現(xiàn)實意義。

一、直覺思維的內(nèi)涵意蘊

直覺思維與抽象思維一樣，是人類的一種基本思維方式，它以一定的知識、經(jīng)驗、技能為基礎(chǔ)，通過一定的觀察、類比、聯(lián)想等方式對問題提出猜想或做出迅速判斷與敏銳想象，是一種不受邏輯規(guī)則約束而直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的思維方式。它具有非邏輯性、創(chuàng)造性、簡約性等特點。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)的過程實際是一種自我建構(gòu)的過程，在原有知識的基礎(chǔ)上對新知識進(jìn)行加工和重新組合，形成新的知識結(jié)構(gòu)，而要熟知這個新結(jié)構(gòu)就必須對納入的新知有直覺的認(rèn)識。

1.數(shù)學(xué)直覺思維在教學(xué)中經(jīng)常發(fā)生

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)常會通過直覺思維找到問題的答案或?qū)栴}有新的發(fā)現(xiàn)。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“3的倍數(shù)的特征”這一內(nèi)容后，練習(xí)中要求在百數(shù)表中圈出9的倍數(shù)，進(jìn)而研究9的倍數(shù)的特征，因為有了對3的倍數(shù)特征的認(rèn)識，學(xué)生馬上憑直覺感覺到9的倍數(shù)可能會有與3的倍數(shù)有相似的特征，即“各位上數(shù)的和是9的倍數(shù)，這個數(shù)就是9的倍數(shù)”。

2.數(shù)學(xué)直覺思維的結(jié)果不一定正確

由于直覺思維缺少嚴(yán)密的邏輯分析，常常缺乏嚴(yán)密性與可靠性。例如，蘇教版五年級下冊“解決問題的策略”單元有一道練習(xí)：用分?jǐn)?shù)表示下面涂色部分的面積（見圖1）。學(xué)生往往會在頭腦中將中間涂色的正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，簡單地認(rèn)為它與邊長3格的正方形大小相等，占整個圖形的[]，這就是直覺帶來的偏差。

3.數(shù)學(xué)直覺思維可以后天培養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家徐利治教授曾說過：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學(xué)直覺也是在不斷提高的?！睌?shù)學(xué)直覺可以通過訓(xùn)練來提高。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)“圓柱與圓錐”單元，對等底等高的圓柱與圓錐的體積之間是3倍關(guān)系有清晰的認(rèn)識，但如果出現(xiàn)這樣的習(xí)題往往很容易混淆：圓柱與圓錐等積等底，圓柱的高是15厘米，圓錐的高是（? ）厘米。最初學(xué)生憑直覺填寫時就知道，所填的數(shù)不是15×3的積，就是15÷3的高，但到底是哪個并沒有十分清晰的感覺，通過演示對比，讓學(xué)生在頭腦中形成圓柱與圓錐底相等時，要使體積相等，圓錐的高必定是圓柱高的3倍的直觀認(rèn)識，并進(jìn)行相關(guān)訓(xùn)練，今后再解決類似問題時，前面的結(jié)論就成為學(xué)生的直覺，直覺思維是可以培養(yǎng)的。

二、數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)策略

1.厚積薄發(fā)，豐富數(shù)學(xué)直覺思維之源

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生如果不具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和嫻熟的基本技能，沒有豐富的基本活動經(jīng)驗，是無法進(jìn)行數(shù)學(xué)直覺思維的，更談不上頓悟或靈感的產(chǎn)生。直覺思維的出現(xiàn)具有一定的偶然性，但也不是空穴來風(fēng)。好比打籃球時，運動員在快速運動過程中對運球、投籃等是來不及進(jìn)行邏輯判斷的，他迅速做出的反應(yīng)都是下意識的，是基于平時的刻苦訓(xùn)練形成直覺反應(yīng)才能達(dá)成的。沒有一定的知識情景、知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知基礎(chǔ)與策略便不會有直覺產(chǎn)生的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗和基本數(shù)學(xué)思想的積累與儲備。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運算的簡便計算時，必須對分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化，四則運算的運算律、運算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識爛熟于心，同時對一些基本簡便計算的原型達(dá)到一定量的訓(xùn)練，直至熟練的程度，這樣積累起來的解題經(jīng)驗才能使學(xué)生面對復(fù)雜問題時，有效地把握關(guān)鍵，捕捉聯(lián)系，尋找簡算原型，進(jìn)而做出準(zhǔn)確的判斷。一般說來，小學(xué)生的基礎(chǔ)知識越扎實，基本技能越熟練，活動經(jīng)驗越豐富，越容易產(chǎn)生直覺思維。

2.數(shù)形結(jié)合，展現(xiàn)數(shù)學(xué)直覺思維之形

數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它是兼具數(shù)與形兩種屬性的。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！庇蓴?shù)想形，由形想數(shù)，利用圖形直觀展現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，直接引發(fā)數(shù)學(xué)直覺思維，對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀具有重要意義。

例如，蘇教版五年級“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”中有一道非常典型的數(shù)列求和題：[]+[]+[]+[]。教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生觀察，尋找數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，學(xué)生由算式的結(jié)構(gòu)特征敏銳地感受到后一個數(shù)總是前一個數(shù)的一半，由此構(gòu)圖（見圖2）可知原式=1-[]=[]。經(jīng)歷了這樣數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，學(xué)生在遇到類似的數(shù)列求和計算時，直覺想到這張正方形圖，將復(fù)雜的計算變得簡單。再比如1+3+5+7這樣的連加算式的和可以轉(zhuǎn)化成正方形邊長的平方，形成將算式轉(zhuǎn)化成正方形的數(shù)學(xué)直覺，真正達(dá)到“數(shù)形結(jié)合百般好”的目標(biāo)。

3.合理猜想，導(dǎo)引數(shù)學(xué)直覺思維之向

著名數(shù)學(xué)大師波利亞斷言：“要成為一個好的數(shù)學(xué)家，你必須是一個好的猜想家?！蓖ㄟ^對數(shù)學(xué)問題的情境特征、結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等方面的觀察、比較、分析、判斷，激發(fā)學(xué)生合理猜想是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的重要方法與途徑。

例如，在教學(xué)蘇教版四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容時，上課伊始，教師開門見山提出問題：“今天我們研究‘三角形的內(nèi)角和’，看了課題，你有什么疑問？”學(xué)生紛紛交流。教師結(jié)合學(xué)生交流聚焦兩個核心問題：三角形內(nèi)角和是多少度？所有的三角形內(nèi)角和都相同嗎？基于學(xué)生的思考，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想：三角形的內(nèi)角和可能是多少度？你是怎么想的？學(xué)生依據(jù)自己的直覺對三角形的內(nèi)角和進(jìn)行猜想，此時的猜想比較盲目，教師引導(dǎo)：同學(xué)們想一想，哪些猜想不夠合理？在教師的質(zhì)疑下，學(xué)生重新調(diào)整猜想的范圍，逐步摒棄諸如90度、360度之類的猜想，猜想范圍漸趨合理。接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考：猜想是否正確？我們可以怎樣做？學(xué)生基于原有實驗探究和規(guī)律發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗，即刻想到可以舉例驗證。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的三角尺入手，計算三角尺三個角的內(nèi)角和是180度，繼而再舉例驗證“是不是所有三角形的內(nèi)角和都是180度？”這一問題。

這一課例中，一開始學(xué)生的猜想沒有經(jīng)過周密思維，稚嫩無序，這是一種快速、直接、毫無邏輯的直覺反應(yīng)，但教師的點撥引導(dǎo)讓學(xué)生調(diào)整猜想的方向，由無理到有據(jù)，從盲目到清晰，進(jìn)而由直觀猜測到合情推理，與論證邏輯相輔相成。

4.實驗驗證，誘發(fā)數(shù)學(xué)直覺思維之思

科學(xué)研究的方法是“猜想+驗證”，它同時也是發(fā)明創(chuàng)造的必經(jīng)之路?；诖?，光有猜想的直覺是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，直覺思維善于抓住問題的本質(zhì)與關(guān)鍵，但反應(yīng)往往是模糊、不準(zhǔn)確、有偏差的。因此，引導(dǎo)學(xué)生對猜想加以驗證十分必要，而實驗驗證是其中重要的方法，經(jīng)歷實驗，誘發(fā)對問題本質(zhì)的探究與思考是規(guī)避直覺缺陷的有效方法。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐體積這一內(nèi)容時，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等底等高的圓柱猜想圓錐體積。此時，有學(xué)生站起來說：我猜想圓錐體積是等底等高圓柱體積的[]，并說明其猜想的理由：一個長方形以它的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周就得到了圓柱，如果把長方形沿對角線剪開得到一個三角形，再以三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個圓錐。因為三角形的面積是長方形面積的一半，所以圓錐的體積就是圓柱體積的一半。學(xué)生的猜想有理有據(jù)，得到了絕大部分同學(xué)的認(rèn)可，大家都覺得一定是[]（見圖3）。猜想后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實驗驗證，清晰地看到圓錐體積是等底等高圓柱體積的[]，但學(xué)生們?nèi)匀缓芤苫螅旱降讍栴}出在哪里？此時學(xué)生的思維處于困頓與不解中，如果草草了事，直接以實驗結(jié)果終結(jié)，那么對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)將大打折扣。此時教師依據(jù)學(xué)生的疑點采用反證法予以說明：相同的平面圖形，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的立體圖形體積一定相等嗎？借助多媒體動態(tài)演示可以發(fā)現(xiàn)，圖4右上的正方形旋轉(zhuǎn)后得到一個圓環(huán)柱，而圖4右下的正方形旋轉(zhuǎn)后得到一個圓柱，形狀、體積明顯都不同。這時引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：相同的兩個平面圖形，如果距離旋轉(zhuǎn)軸的遠(yuǎn)近不同，旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形的體積也會不同。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)觀察圖5兩個三角形旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果：圖5中的上、下兩個三角形雖然完全相同，但上面三角形的大部分離旋轉(zhuǎn)軸較遠(yuǎn)，而下面三角形的大部分離旋轉(zhuǎn)軸較近，借助動態(tài)演示得到圖6的兩個立體圖形。此時，學(xué)生終于明白問題所在。

實驗驗證之后引發(fā)的思考讓學(xué)生經(jīng)歷平面圖形向立體圖形發(fā)展的過程，理解了平面上的“相等量”在旋轉(zhuǎn)后會生成不等量，學(xué)生的空間能力從二維向三維發(fā)展。

扎實的“四基”是數(shù)學(xué)直覺思維形成的源泉，圖形結(jié)合是數(shù)學(xué)直覺思維發(fā)展的途徑，合理猜想與科學(xué)驗證能增大數(shù)學(xué)直覺思維的寬度與深度，但數(shù)學(xué)直覺思維具有嘗試的特點，只有將直覺思維與邏輯思維有機地結(jié)合起來，相互補充才能相映生輝。?

【參考文獻(xiàn)】

[1]周治金，趙曉川，劉昌.直覺研究述評[J].心理科學(xué)進(jìn)展，2005，13（6）.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]荀步章.兒童數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)實踐與思考[J].教育科學(xué)論壇，2014（9）.