倪乃忠

摘 要：教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該基于學(xué)生的理解層次、水平，學(xué)生對(duì)“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”運(yùn)算的理解是有不同層次的。本文將學(xué)生在未進(jìn)行課堂教學(xué)前對(duì)“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”的理解由低到高分為直觀水平、程序水平、抽象水平和形式水平四個(gè)層次，進(jìn)行分類研究，找到課堂教學(xué)的最佳切入點(diǎn)，尋找可以借助的學(xué)生原有知識(shí)框架。按照學(xué)生的理解水平，進(jìn)行合理的教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)。從而，更好地解決造成學(xué)生錯(cuò)誤增加的算理與算法溝通的問題。

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì);理解層次;分類研究

一、問題提出

《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：“對(duì)數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，應(yīng)主要考察學(xué)生對(duì)概念、法則及運(yùn)算的理解與運(yùn)用水平”。義務(wù)教育教材除了較好地落實(shí)大綱精簡(jiǎn)繁難計(jì)算的要求外，還把教學(xué)的重點(diǎn)放到了讓學(xué)生較好地理解算理上。

兩三位數(shù)除以一位數(shù)是除法豎式計(jì)算的一次重要的擴(kuò)展。一方面是理解代數(shù)思想、體驗(yàn)函數(shù)思想、理解實(shí)數(shù)系統(tǒng)、進(jìn)行多項(xiàng)式除法等諸多后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，不得不學(xué);另一方面又由于除法豎式教學(xué)占有往往需要占用較多教學(xué)時(shí)間，且教學(xué)效果一般，學(xué)生錯(cuò)誤較多，給教與學(xué)都帶來了很大的挑戰(zhàn)，成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們不得不直面的問題。

從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，對(duì)課堂進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計(jì)是課程實(shí)施的重要環(huán)節(jié)。本文以“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”的課堂教學(xué)時(shí)間為基礎(chǔ)，探討如何基于學(xué)生的理解水平，適切進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。通過本研究，期待解決以下問題：

1.學(xué)生對(duì)兩三位數(shù)除以一位數(shù)運(yùn)算算理理解達(dá)到什么層次？

2.學(xué)生達(dá)到該理解水平的主要影響因素是什么？

3.通過上述問題的探索，基于學(xué)生的理解水平，我們應(yīng)該如何進(jìn)行適切的有效教學(xué)設(shè)計(jì)？

二、理論背景

（一）相關(guān)研究成果綜述

杭師大教育心理學(xué)教授鞏子坤老師領(lǐng)導(dǎo)的研究團(tuán)隊(duì)提出有理數(shù)運(yùn)算理解的四種類型：直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解?；谶@樣的理解層次論，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，開展本次課題的相關(guān)研究。

（二）“三位數(shù)除以一位數(shù)”的內(nèi)涵界定

本研究中“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”指乘法口訣表外的兩位數(shù)除以一位以及三位數(shù)除以一位數(shù)的運(yùn)算。對(duì)于“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”運(yùn)算的理解即為對(duì)以上運(yùn)算內(nèi)容的算理與算法的理解。

（三）“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”理解水平分層界定

結(jié)合國內(nèi)外研究成果，主要依據(jù)鞏子坤教授提出的有理數(shù)運(yùn)算理解的四種類型，本研究將“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”理解水平界定為以下四個(gè)層次：

（1）直觀水平：能夠用直觀圖像或現(xiàn)實(shí)情境來給出正確答案。

（2）程序水平：按照除法豎式運(yùn)算法則算出正確的答案。

（3）抽象水平：會(huì)計(jì)算，并結(jié)合算式，用語言描述結(jié)果的合理性。

（4）形式水平：會(huì)計(jì)算，并結(jié)合已知的規(guī)則、規(guī)律，用邏輯推理的形式，證實(shí)運(yùn)算結(jié)果的合理性。

三、研究過程

（一）研究對(duì)象

鑒于研究的代表性（選取學(xué)校位于城郊結(jié)合部，正在飛快融入大城市）和方便性，以所在學(xué)校作為研究對(duì)象。學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)整體水平處于該地區(qū)中等偏上水平。從這所學(xué)校所有年級(jí)中選取三年級(jí)（進(jìn)行兩三位數(shù)除以一位數(shù)教學(xué)之前）全體共 105名學(xué)生。為了縱向?qū)Ρ攘私?，尋求學(xué)生對(duì)“兩三位數(shù)除以一位數(shù)運(yùn)算”隨著年齡與知識(shí)增長而產(chǎn)生的理解層次水平的變化，又在這所小學(xué)選取了四年級(jí)全體 105 名（三年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)過兩三位數(shù)除以一位數(shù)）學(xué)生作為對(duì)比研究對(duì)象。

（二）研究工具

1.問卷調(diào)查。對(duì)沒有進(jìn)行任何兩三位數(shù)除以一位數(shù)教學(xué)的三年級(jí)的學(xué)生，進(jìn)行問卷調(diào)查。問卷要求嘗試解決以下問題：用自己喜歡并且熟練地方式，比如用文字解釋、畫直觀圖展示、用算式計(jì)算等盡可能多的方法闡述計(jì)算結(jié)果的正確性。整個(gè)過程，闡述地越詳細(xì)越好。問卷調(diào)查一共三個(gè)習(xí)題。

（1）這些小立方體要分裝到 3 個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里需要裝幾個(gè)小立方體？

（2）一共有 72 人參加會(huì)議，分為 6 個(gè)分會(huì)場(chǎng)，平均每個(gè)場(chǎng)地需要容納多少人？

（3）648÷6 你會(huì)計(jì)算嗎？

2.個(gè)別訪談。問卷調(diào)查結(jié)束以后，隨即對(duì)問卷進(jìn)行閱卷分析。同時(shí)，結(jié)合問卷答題情況，即刻對(duì)學(xué)生進(jìn)行談話訪問。

（三）數(shù)據(jù)分析

1.定性分析。對(duì)問卷進(jìn)行歸納整理。分析錯(cuò)誤理解的結(jié)果及類型，并對(duì)產(chǎn)生錯(cuò)誤理解的原因進(jìn)行分析。

2.定量分析。 分類整理每一個(gè)學(xué)生的問卷答案，對(duì)其理解層次水平進(jìn)行界定。得到全體參與問卷調(diào)查學(xué)生理解水平的分布圖。

四、研究結(jié)果

（一）正確的理解

1.直觀水平。畫出直觀圖，并在圖上請(qǐng)學(xué)生圈一圈，平均分，得到正確結(jié)果。（典型學(xué)生作品見圖 1）

2.計(jì)算水平。列豎式，通過除法運(yùn)算法則算出正確結(jié)果。（典型學(xué)生作品見圖 2）

3.抽象水平。

（1）正確計(jì)算，用畫圖法驗(yàn)證結(jié)果的正確性。（典型學(xué)生作品見圖 3）

（2）正確計(jì)算，用語言來說明結(jié)果的正確性。例：324 里包含了 3 個(gè)百，2 個(gè)十，4 個(gè)一，三個(gè)百先平均分給 3 個(gè)人，每人得 100，2 個(gè)十平均分給 3 個(gè)人，每人得 6，還多 2 個(gè)（一），2 個(gè)加 4 個(gè)是 6 個(gè)，平均分給 3 個(gè)人，每人得 2 個(gè)，合起來是108 個(gè)。

（3）正確計(jì)算，用乘法來驗(yàn)證結(jié)果的正確性。例：因?yàn)?2*6=72，所以 72÷6=12 是對(duì)的。

（4）正確計(jì)算，用減法來驗(yàn)證結(jié)果的正確性。例：648—108—108—108—108—108—108=0，減了 6 次就減完了，沒有多也沒有少。

4.形式水平。正確計(jì)算，能夠用乘法分配率的延伸了驗(yàn)證結(jié)果的正確性。例：324÷3=（300+24）÷3=100+8=108

（二）錯(cuò)誤的理解

1. 除法計(jì)算僅限于表內(nèi)試商，超過范圍就不知如何計(jì)算。（典型學(xué)生錯(cuò)誤見圖 4）

2. 簡(jiǎn)單的能夠畫圖，在圖上分一分，有一個(gè)數(shù)位不夠分的，就無能為力了。（典型學(xué)生錯(cuò)誤見圖 5）

3.只會(huì)用機(jī)械地法則進(jìn)行計(jì)算，并出現(xiàn)錯(cuò)誤，不能發(fā)現(xiàn)。（典型學(xué)生錯(cuò)誤見圖 6）

（三）學(xué)生理解水平現(xiàn)狀

根據(jù)以上對(duì)于學(xué)生理解正確與錯(cuò)誤的判斷，以及水平層次劃分，得出兩三位數(shù)除以一位數(shù)運(yùn)算學(xué)生理解水平現(xiàn)狀如下表：

五、結(jié)論

（一）對(duì)于兩三位數(shù)除以一位數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生在學(xué)習(xí)之前就有比較好的直觀認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。有接近一半（45.7%）的學(xué)生在無明確暗示的情況下，選擇了用畫圖等直觀的方法來解決現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的問題，其中的大部分都能得到正確的結(jié)果。

（二）要達(dá)到運(yùn)算理解的程序水平是比較容易的。在課堂教學(xué)前達(dá)到該水平的學(xué)生就有 34.3%，經(jīng)過訪談得知他們都是通過長輩教授、培訓(xùn)班學(xué)習(xí)等提前學(xué)習(xí)的方式達(dá)到了這種理解水平。在課堂教學(xué)后，達(dá)到該理解水平層次的百分比增長是最迅速的，增長了 25.7 個(gè)百分點(diǎn)。達(dá)到這一水平層次的學(xué)生，無論是課堂教學(xué)前還是課堂教學(xué)后，往往呈現(xiàn)出知其然（明確算法），而不知其所以然（不能與算理相溝通）的共同特點(diǎn)。

（三）從程序水平到抽象水平的提升，并未如我們想象中的那樣順利，特別體現(xiàn)在是課堂教學(xué)后，這一水平層次的增長幅度并不是很大，這與《新課標(biāo)》中強(qiáng)調(diào)的學(xué)生對(duì)于算理的理解，是不吻合的，急需我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)上有所改進(jìn)。

（四）要達(dá)到運(yùn)算理解的形式水平，學(xué)生存在很大困難，課堂教學(xué)前達(dá)到這一水平的學(xué)生不到 2%，即使經(jīng)過課堂教學(xué)后，達(dá)到這一水平的學(xué)生也不到 10%。這與學(xué)生所處年段以及知識(shí)儲(chǔ)備（如乘法與除法的關(guān)系了解的局限性）都是息息相關(guān)的。

六、教學(xué)建議

（一）重視直觀

雖然學(xué)生很難在形式層次上理解兩三位數(shù)除以一位數(shù)的算理，但卻有 45.7%的學(xué)生還是能夠從直觀層次來解決問題。依此，我們應(yīng)該在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)加強(qiáng)直觀教學(xué)，輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的開展，提升教學(xué)質(zhì)量。

從直觀情境引入，讓學(xué)生充分經(jīng)歷分一分的過程，從可以直接分的數(shù)據(jù)到不能直接分的數(shù)據(jù)，借助學(xué)生原有的直觀理解水平，造成矛盾沖突，為需要借位計(jì)算的除法在找到牢固的直觀操作經(jīng)驗(yàn)支撐，突破百位、十位余數(shù)的處理難點(diǎn)。

（二）強(qiáng)調(diào)估算

同樣是根據(jù)學(xué)生直觀理解水平達(dá)到的現(xiàn)狀，他們中的絕大部分都能在沒有提示或者簡(jiǎn)單提示的情況下，從直觀層面感知兩三位數(shù)除以一位數(shù)的商應(yīng)該是幾位數(shù)。如，324÷3，3 個(gè)百，2 個(gè)十，4 個(gè)一，分給 3 個(gè)人，每人能分到 100 嗎？又如：240個(gè)學(xué)生，6 個(gè)老師分坐 6 輛車，每輛車會(huì)有 100 個(gè)人嗎？那每輛車大概有多少人？

這樣溝通計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情境之間的聯(lián)系，無論是在計(jì)算前確定商的位數(shù)，還是計(jì)算后進(jìn)行反思檢查，都是是減少學(xué)生錯(cuò)誤的一個(gè)很好方法。

（三）不急簡(jiǎn)化

在教學(xué)后依然有近 40%的學(xué)生無法從程序水平提升到抽象水平，這與我們要求學(xué)生在初學(xué)時(shí)就采用最簡(jiǎn)便的豎式表示形式有很大的關(guān)聯(lián)。

兩三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計(jì)算是經(jīng)歷了數(shù)千年的發(fā)展，抽象和概括出來的。豎式計(jì)算中省略的部分，高于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知層次，要讓他短時(shí)間接受比較困難。因而，也就成為了學(xué)生理解上的難點(diǎn)，導(dǎo)致對(duì)知識(shí)的掌握囫圇吞棗，只知其一不知其二。

由此，兩三位數(shù)除以一位數(shù)的教學(xué)中，要還原豎式中隱去的數(shù)量。我們不能急于教學(xué)最簡(jiǎn)便的豎式表示形式，在教學(xué)初期，允許學(xué)生保留一些“原始”的豎式呈現(xiàn)形式（圖 6），讓學(xué)生經(jīng)歷逐步優(yōu)化豎式的過程，從而在感悟中不斷溝通算理和算法。

（四）分層設(shè)計(jì)

基于學(xué)生所處的年段以及知識(shí)儲(chǔ)備，形式理解層次不應(yīng)該成為教學(xué)設(shè)計(jì)中的人人必須達(dá)到的目標(biāo)。但是，我們可以在兩三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式教學(xué)中，將豎式試商的每一個(gè)步驟與橫式的拆分相結(jié)合（圖 7），呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓更多地學(xué)生能夠進(jìn)入形式理解的層次，實(shí)現(xiàn)真正意義上的分層設(shè)計(jì)，差異發(fā)展。

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浙江省杭州市蕭山區(qū)盈豐小學(xué)，浙江 杭州 311200