林碧智

摘 要 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)知識，其在高考中的考查方式多種多樣，其中，運(yùn)用錯(cuò)位相減法對數(shù)列進(jìn)行求和是一個(gè)非常重要的考查方式。本文先簡單介紹了錯(cuò)位相減法的背景，并對錯(cuò)位相減求和在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用做了簡單分析，旨在探究該方法的有效運(yùn)用。

關(guān)鍵詞 錯(cuò)位相減求和;高中數(shù)學(xué);運(yùn)用探究

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）13-0184-01

高中數(shù)列求和的基本方法有很多，比如：求和公式法，倒序相加法，裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法，累加法等等。其中，錯(cuò)位相減法是一種非常重要的、要求學(xué)生必須熟練掌握的求和方法，也是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容?，F(xiàn)筆者就錯(cuò)位相減法在高中教材中的設(shè)計(jì)與其應(yīng)用進(jìn)行簡單論述，希望能為廣大數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供一些理論性的支持。

一、錯(cuò)位相減法的背景

高中階段的教材中，錯(cuò)位相減法最先出現(xiàn)在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一節(jié)中：假設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，那么其前n項(xiàng)和就為S_n=a₁+a₂+a₃+……+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+……+a₁q^n-2+a₁q^n-1，此時(shí)在該等式兩邊同時(shí)乘以公比q，就能得到式子qS_n=a₁q+a₁q²+……+a₁q^n-1+a₁qⁿ，把這兩個(gè)式子作差，如果q的值不是1，那么就能得到式子（1-q）S_n=a₁-a₁q ⁿ，從而推導(dǎo)出公式（）。在這個(gè)過程中，我們可以在將求和等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，并將得到的新等式和原等式進(jìn)行作差時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果錯(cuò)開一位項(xiàng)，那么兩個(gè)等式之間就會有一部分是完全相同的，這樣一來，就會更加方便地計(jì)算。這樣的方法就是錯(cuò)位相減法，即錯(cuò)開一位再進(jìn)行兩式相減。

二、錯(cuò)位相減求和方法在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

（一）運(yùn)用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和問題

對于由一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等差數(shù)列的乘積構(gòu)成的數(shù)列，運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行計(jì)算往往是最快捷有效的方法。

例如，在數(shù)列{an}中，a_n=（n+1）·10ⁿ，可以明顯看出這個(gè)數(shù)列是由等差數(shù)列b_n=n+1和等比數(shù)列c_n=10ⁿ的乘積構(gòu)成的。那么要求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，就可以先列出其前n項(xiàng)和的展開式：S_n=2·10+3·10²+4·10³+……+n·10^n-1+（n+1）·10ⁿ，在此基礎(chǔ)上在等式兩邊同時(shí)乘以公比10，就得到了10·S_n=2·10²+3·10³+……+n·10ⁿ+（n+1）·10ⁿ⁺¹，然后進(jìn)行錯(cuò)位相減，就能快速求出解。

（二）運(yùn)用錯(cuò)位相減法拓展對數(shù)列結(jié)構(gòu)的認(rèn)識

高考的問題往往考查的是綜合性的知識，因此，對于有些靈活性比較高的數(shù)列問題，往往需要先去分析數(shù)列的結(jié)構(gòu)，有時(shí)就會發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)構(gòu)是“換湯不換藥”，依然可以用錯(cuò)位相減求解。

例如，在問題“設(shè)a_n=2n+1，b_n=4ⁿ，S_n=a_nb₁+a_n-1b₂+……+a₂b_n-1+a₁b_n，求S_n”中，因?yàn)檫@個(gè)求和等式并不是常見的到按照順序相乘即S_n=a₁b₁+a₂b₂+……+a_n-1b_n-1+a_nb_n的形式，所以很多學(xué)生認(rèn)為這個(gè)問題不能再用錯(cuò)位相減法去進(jìn)行求解，從而便沒有了思路，覺得無從下手。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去思考：a_n是否是一個(gè)等差數(shù)列，b_n是否是一個(gè)等比數(shù)列，學(xué)生都給出了肯定的回答。接著教師再引導(dǎo)，由于等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式都已經(jīng)給出來了，那么是否可以將這些具體數(shù)字代入等式中，讓等式更具體明晰一點(diǎn)。這樣一來，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這種新結(jié)構(gòu)還是可以應(yīng)用錯(cuò)位相減法來解決。

（三）錯(cuò)位相減法的變式應(yīng)用

很多數(shù)列問題具有靈活性，有些數(shù)列在錯(cuò)位相減之間之后會得到另一種形式，就是我們常說的“裂項(xiàng)相消”形式，姑且可以把這種新形式看作是錯(cuò)位相減法的變式應(yīng)用。以下是其具體的推導(dǎo)過程和具體應(yīng)用。

假設(shè)數(shù)列{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是一個(gè)等比數(shù)列，由于a_n+1b_n+1=（a_n+d）b_nq=qa_nb_n+dqb_n=a_nb_n+（q-1）a_nb_n+dqb_n，那么通過移項(xiàng)之后，可以得到（q-1）a_nb_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n-dqb_n，當(dāng)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，，這樣數(shù)列{a_nb_n}就被拆分成了兩個(gè)部分，前面的部分明顯可以用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，后面的部分直接用公式求和即可。那么這個(gè)形式就可以用來去求解諸如“等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)分別為a_n=2n+1，b_n=3ⁿ，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和”這樣的問題。在求解時(shí)，可以直接根據(jù)推導(dǎo)公式寫出，這樣一來，等式就被分作了兩個(gè)部分，第一個(gè)部分明顯可以用裂項(xiàng)相消法來求和，裂項(xiàng)之后可以得到和為T_n=，后面的部分直接用求和公式求解即可。

通過以上對錯(cuò)位相減法的由來分析和例題探究，我們可以看到錯(cuò)位相減法的應(yīng)用是非常靈活且廣泛的。因此，教師在數(shù)列教學(xué)中一定要注重該方法的講解，并且多去分析實(shí)際學(xué)情，找到學(xué)生容易犯錯(cuò)的地方，比如學(xué)生在做題時(shí)往往由于格式不正確導(dǎo)致項(xiàng)數(shù)不正確等問題，然后多設(shè)置具有針對性的經(jīng)典問題，讓學(xué)生在有效的練習(xí)中牢固地掌握錯(cuò)位相減求和方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]王永成.錯(cuò)位相減求和方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的拓展[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（07）：93-94.

[2]李志輝.數(shù)列求和的幾種常用方法和技巧[J].中國高新區(qū)，2018（11）：73.