薛潤(rùn)　蔡擇林

摘 要：2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)建模納入了高中學(xué)業(yè)質(zhì)量考察范圍，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)必然引起重視.本文嘗試將教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)的教學(xué)理念（簡(jiǎn)稱“三教”）與數(shù)學(xué)建模教學(xué)結(jié)合，以三角函數(shù)例題為例，通過教學(xué)活動(dòng)體現(xiàn)“三教”理念，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的目的.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)建模;“三教”;三角函數(shù)

2003年教育部頒發(fā)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，提出將數(shù)學(xué)建模內(nèi)容納入高中數(shù)學(xué)課程，因此數(shù)學(xué)教育學(xué)者紛紛響應(yīng)，不斷研究數(shù)學(xué)建模理論和教育實(shí)踐.2017年，教育部頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》落實(shí)了將數(shù)學(xué)建模作為高考考查內(nèi)容，在必修課程和選擇性必修課程以及部分選修課程中都有體現(xiàn)，新課標(biāo)中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的學(xué)業(yè)要求指出：“經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的全過程，整理資料，撰寫研究報(bào)告或小論文，并進(jìn)行報(bào)告交流，撰寫研究報(bào)告或小論文及其評(píng)價(jià)應(yīng)存入學(xué)生個(gè)人學(xué)習(xí)檔案，為大學(xué)招生提供參考和依據(jù).”這無疑錘石了高中數(shù)學(xué)建模的重要性，向一線教師提出挑戰(zhàn).

一、研究背景

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象，在從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗(yàn)和完善模型、分析和解決問題的過程中，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)邏輯語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題.

在應(yīng)試的壓力下，數(shù)學(xué)課堂往往成為訓(xùn)練解題的課堂，學(xué)生很難有自己獨(dú)立的思考和深入的理解，如同學(xué)習(xí)“啞巴數(shù)學(xué)”一樣.傳統(tǒng)灌輸式教學(xué)的課堂中學(xué)生缺乏思考，課堂氛圍沉悶，學(xué)生缺少參與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，哪里會(huì)有數(shù)學(xué)體驗(yàn)？何談?dòng)脭?shù)學(xué)語言表達(dá)自己的想法？因此，教學(xué)要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的來源過程，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)定理公式的理解而不是光靠死記硬背，通過學(xué)生自己的思考、理解、操作和感悟才能掌握運(yùn)用知識(shí).

二、“三教”理念與數(shù)學(xué)建模

2014年1月，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授提出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)（簡(jiǎn)稱‘三教）的教育理念.主張：教思考，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界，學(xué)會(huì)‘想數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生思辨能力的培育;教體驗(yàn)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會(huì)‘做數(shù)學(xué)，獲得個(gè)人學(xué)習(xí)體驗(yàn);教表達(dá)，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，學(xué)會(huì)‘說數(shù)學(xué)，表達(dá)、交流、加深思考.”數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題的全過程.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)的過程正是教學(xué)生思考、體驗(yàn)、表達(dá)的過程，與呂傳漢教授的“三教”教育理念極其契合.

課堂上教師提出的問題應(yīng)該是有意義的問題，要求能夠激發(fā)學(xué)生的思考.學(xué)生在小組討論交流中思維發(fā)生碰撞，訓(xùn)練活躍性的數(shù)學(xué)思維方式.數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，教師應(yīng)作為引導(dǎo)者，充分發(fā)揮學(xué)生主體性的地位，讓學(xué)生自主動(dòng)手動(dòng)腦切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，在學(xué)生請(qǐng)求幫助時(shí)協(xié)助解決問題.建?；顒?dòng)后教師應(yīng)要求學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)建模研究報(bào)告或小論文，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和交流，培養(yǎng)學(xué)生文字表達(dá)能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的體驗(yàn).

三、課本建模案例

（一）問題提出

例4：“海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭;卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：

1.選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值（精確到0.001）

2.一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？

3.若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，問該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？”

（二）從分析問題中學(xué)會(huì)“想數(shù)學(xué)”，訓(xùn)練思維方式

教學(xué)片斷一：

師：假設(shè)同學(xué)們都是船長(zhǎng)，航海歸來遇到何時(shí)停船靠岸的問題，我們現(xiàn)在該怎樣解決問題呢？以這道題目為例，看看誰是咱們班上最聰明的船長(zhǎng).

師：第一個(gè)問題要求描述港口水深y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系.首先，請(qǐng)船長(zhǎng)們觀察一下表格中的數(shù)據(jù)，大家能發(fā)現(xiàn)什么？

生1：表中水深米數(shù)的數(shù)值是5，7.5，2.5這三個(gè)數(shù)值.

生2：觀察記錄的時(shí)刻間隔為3小時(shí).

生3：在24小時(shí)中，水深米數(shù)以5.0，7.5，5.0，2.5循環(huán)了兩次.

師：有同學(xué)提到“循環(huán)”，也就是說出現(xiàn)了一種規(guī)律，這是什么樣的規(guī)律呢？

生：24小時(shí)內(nèi)，每3小時(shí)觀察一次的水深數(shù)據(jù)以5.0，7.5，5.0，2.5為周期循環(huán).

師：總結(jié)得非常好，經(jīng)過同學(xué)們的思考發(fā)現(xiàn)了規(guī)律具有“周期性”.

簡(jiǎn)評(píng)：教師通過設(shè)置問題情境，使學(xué)生參與到解決問題的活動(dòng)中，調(diào)動(dòng)學(xué)生上課積極性并且活躍了課堂氛圍.教師通過訓(xùn)練學(xué)生一般地解題思路培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，教師引導(dǎo)學(xué)生分析題干信息是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生在分析題干信息中先觀察再思考最后有解題思路.

教學(xué)片斷二：

師：題目中第二個(gè)問題主要告訴我們什么信息？

生1：船在安全水深的時(shí)候才能駛?cè)敫劭?，否則船會(huì)擱淺.

生2：安全水深要大于或等于貨船吃水深度加上安全間隙，即水深要大于或等于5.5米船才可以駛?cè)敫劭?

師：那如何在函數(shù)圖像上刻畫出水深大于等于5.5米呢？

生：正弦函數(shù)的縱坐標(biāo)在數(shù)值5.5以上，就表示水深大于等于5.5米.

師：可以建立模型幫助解決問題嗎？該怎樣嘗試建立模型？

生：可以構(gòu)造常數(shù)函數(shù)g（x）=5.5與正弦函數(shù)相交，g（x）圖像以上的部分表示安全水深.

師：很好，通過構(gòu)造常數(shù)函數(shù)g（x）=5.5，我們可以清晰直觀地表示出安全水深的范圍，建立合適的模型有助于我們分析問題解決問題.

簡(jiǎn)評(píng)：提問的設(shè)計(jì)旨在培養(yǎng)學(xué)生分析題干信息的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式思考問題，讓學(xué)生知道為什么這樣做以及怎樣做.教學(xué)充分利用討論的環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行思維的碰撞和思想的交流.

（三）在問題情境中體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)”，積累建模經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)片斷三：

師：那船長(zhǎng)們選擇用什么方式刻畫表格中水深與時(shí)間的規(guī)律呢？

生：作圖.

師：好，請(qǐng)完成的同學(xué)展示一下你們的作品.

師：（點(diǎn)名表揚(yáng)作圖規(guī)范的同學(xué)）聰明的船長(zhǎng)們根據(jù)所作的散點(diǎn)圖聯(lián)想到什么函數(shù)圖像呢？

生1：正弦函數(shù).

生2：余弦函數(shù)也可以.

師：補(bǔ)充得很好，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都可以，我們一般選擇更方便解題的函數(shù)模型.

簡(jiǎn)評(píng)：在教師設(shè)置的情境中，學(xué)生體驗(yàn)用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題的過程正是一種通過“做數(shù)學(xué)”獲得知識(shí)的過程，設(shè)置展示學(xué)生作圖環(huán)節(jié)目的是培養(yǎng)學(xué)生良好的作圖習(xí)慣，問題的設(shè)置主要通過誘導(dǎo)的方式訓(xùn)練學(xué)生如何用數(shù)學(xué)思維解決問題.

教學(xué)片斷四：

師：同學(xué)們得出了通過構(gòu)造常數(shù)函數(shù)g（x）=5.5與三角函數(shù)的圖象結(jié)合解決問題的思路，請(qǐng)船長(zhǎng)們動(dòng)手構(gòu)造這樣的函數(shù)，小組討論貨船何時(shí)進(jìn)出港最合適，為什么？

生：我們通過分析兩個(gè)函數(shù)相交的交點(diǎn)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)貨船應(yīng)該在A點(diǎn)或者C點(diǎn)這兩點(diǎn)進(jìn)港比較合適，由圖像可以觀察到A、C兩點(diǎn)是安全水深的最小值且隨著時(shí)間的增加安全水深逐漸增大，因此B、D 兩點(diǎn)不適合貨船進(jìn)港口，因?yàn)槿绻洿贐、D兩點(diǎn)進(jìn)港會(huì)發(fā)生擱淺，并且貨船應(yīng)該最晚在B點(diǎn)或者D兩點(diǎn)出港，否則也會(huì)出現(xiàn)擱淺.

師：非常好，大家借助計(jì)算器計(jì)算各點(diǎn)的值是多少.

簡(jiǎn)評(píng)：這一教學(xué)片斷是在引導(dǎo)學(xué)生思考的基礎(chǔ)上體現(xiàn)“做數(shù)學(xué) ”，學(xué)生在思考和討論的過程中體驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生對(duì)于這種體驗(yàn)的記憶和感受會(huì)更加深刻.教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生合理地運(yùn)用計(jì)算工具解決問題，提高解題效率.

（四）在探討交流中鼓勵(lì)“說數(shù)學(xué)”，培養(yǎng)表達(dá)能力

教學(xué)片斷五：

師：第三問也是安全水深的問題，與第二問不同的是貨船的吃水深度隨著時(shí)間的變化而變化.該如何刻畫變量呢？請(qǐng)同學(xué)們自主探究.

生：貨船吃水深度與時(shí)間的關(guān)系就是一個(gè)簡(jiǎn)單的一次函數(shù)關(guān)系，如果單憑想象很難理解問題的涵義，我們感受到建立函數(shù)模型對(duì)于解決問題的重要作用.

生：第三問看似復(fù)雜，思路是和第二問一樣的，考察我們將三角函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合分析問題的能力.

師：同學(xué)們的感受非常棒，老師建議同學(xué)們課后寫一份報(bào)告，談?wù)勀銈兘?jīng)歷這次建模的所思所想，下節(jié)課請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行報(bào)告交流.

簡(jiǎn)評(píng)：表達(dá)能力包括書面文字的表達(dá)能力和口頭語言的表達(dá)能力，課堂上給學(xué)生充分的表達(dá)時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言交流的習(xí)慣，從而使學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)、促進(jìn)思考.

四、小結(jié)

該例題的教學(xué)思路以創(chuàng)設(shè)問題情境激發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生討論交流，教師作為引導(dǎo)者和輔助者讓學(xué)生充分參與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的課堂，通過撰寫學(xué)習(xí)報(bào)告或者論文加深理解，感悟數(shù)學(xué)學(xué)科的精神和思想方法.

學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中首先要有自主思考，才會(huì)有深刻的課堂體驗(yàn)，有了課堂體驗(yàn)才會(huì)有表達(dá)的內(nèi)容，并且在表達(dá)中進(jìn)行思考.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)需要教師自身不斷的學(xué)習(xí)，在生動(dòng)而豐富的教學(xué)活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)，將信息技術(shù)手段與數(shù)學(xué)學(xué)科融合，提高課堂的效率和質(zhì)量，更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展.

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