熊慧玲

[摘 ?要] 核心素養(yǎng)背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例的設(shè)計，需要將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大要素，與具體的教學(xué)環(huán)節(jié)聯(lián)系起來，思考每一個環(huán)節(jié)可能對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育起著什么樣的作用. “事件的獨立性”是高中數(shù)學(xué)概率知識的重要組成部分，與學(xué)生的生活具有一定的聯(lián)系. 從具體的實例中進(jìn)行抽象，然后通過邏輯推理建立模型，并在問題解決的過程中強化知識理解，是有效構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，實現(xiàn)核心素養(yǎng)落地的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);教學(xué)案例設(shè)計;事件的獨立性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見稿）明確指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析. 這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體[1]. 從理論的角度來看，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是自洽的，符合邏輯的，這一點毋庸置疑. 而從實踐的角度來看，一線教師最關(guān)心的是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)如何從理論變成可操作的步驟. 很顯然，這個步驟首先體現(xiàn)在教師的教學(xué)設(shè)計上，而根據(jù)筆者的經(jīng)驗，在理解一個新的學(xué)習(xí)理論的時候，最佳的方式就是選擇一個案例進(jìn)行深度研究，在研究的過程當(dāng)中不斷地吸納理論知識，不斷地對可能發(fā)生的教學(xué)實際情況進(jìn)行預(yù)測，這樣往往能夠促進(jìn)對理論的理解，也能夠?qū)嵺`產(chǎn)生真正的指導(dǎo)作用. 我們僅以高中數(shù)學(xué)“事件的獨立性”教學(xué)案例的設(shè)計為例，談?wù)劰P者的思考.

■以生為本，理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)是面向?qū)W生的核心素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大要素是面向?qū)W生需要的培養(yǎng)目標(biāo)，因此，在理解學(xué)科核心素養(yǎng)的時候，必須堅持以生為本的教學(xué)理念. 只有確定了這一出發(fā)點，才能讓學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落到實處. 高中數(shù)學(xué)是高中所有文化學(xué)科的基礎(chǔ)性學(xué)科，其對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、思維習(xí)慣，具有不可替代的作用. 高中數(shù)學(xué)事件的獨立性這一知識，與學(xué)生的生活有著密切的聯(lián)系，但是學(xué)生在生活當(dāng)中體驗事件的獨立性的時候，往往是基于生活經(jīng)驗而非嚴(yán)密的邏輯推理，因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)這一知識的時候，是會遇到不少困難的. 有同行發(fā)現(xiàn)：有些學(xué)生特別容易混淆新舊概念，又因所求事件與已知事件相互關(guān)系較復(fù)雜，剛開始學(xué)習(xí)時很可能掉進(jìn)各事件間的“蜘蛛網(wǎng)”，茫然找不到頭緒[2]. 其實在筆者的教學(xué)當(dāng)中，也遇到過這種情況. 因此本節(jié)課的教學(xué)，很容易將教學(xué)的重心確定，即在梳理其邏輯關(guān)系以及概率知識上. 問題在于，如果只重視其中的邏輯關(guān)系以及概率知識，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的時候會感覺十分的抽象，影響其學(xué)習(xí)興趣不說，其學(xué)習(xí)結(jié)果也不會很好.

在核心素養(yǎng)視角下，筆者發(fā)現(xiàn)本課的教學(xué)可以另外尋找一個重心，那就是學(xué)生的能力培養(yǎng)，或者說素養(yǎng)培養(yǎng). 盡管素養(yǎng)和能力不是同一個概念，但是在面向?qū)W生，想讓學(xué)生知道通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)可以獲得的一些素養(yǎng)的時候，不必過于強調(diào)能力與素養(yǎng)的區(qū)別. 也就是說對于學(xué)生而言，我們告訴他們是在為了培養(yǎng)他們的能力，而在教師的教學(xué)目的當(dāng)中，教師應(yīng)當(dāng)知道是為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng). 這就是“以生為本”理念的體現(xiàn).

從數(shù)學(xué)知識邏輯的角度來看，理解事件的獨立性，需要讓學(xué)生理清概念. 數(shù)學(xué)上將“事件的獨立性”定義為“一個事件的發(fā)生對另外一個事件發(fā)生的概率沒有影響”，其概率公式為P（AB）=P（A）·P（B）. 其經(jīng)常與另外兩個事件進(jìn)行對比、學(xué)習(xí). 一是互斥事件——不可能同時發(fā)生（當(dāng)然有可能都不發(fā)生）的事件，其概率公式為P（A+B）=P（A）+P（B）;二是對立事件——兩個不可能同時發(fā)生的事件，而且是A事件發(fā)生的時候，B事件必不發(fā)生，反過來，B事件發(fā)生的時候，A事件必不發(fā)生，其概率公式為P（A+B）=P（A）+P（B）=1.

這樣的定義與比較，對于學(xué)生來說，絕大多數(shù)情況下是感覺到比較抽象的. 抽象的原因是因為學(xué)生的大腦當(dāng)中沒有形象的事件作為支撐. 因此，從核心素養(yǎng)培育的角度來看，這里的教學(xué)設(shè)計可以通過給學(xué)生提供形象事件的方法，讓學(xué)生對事件的獨立性的理解有表象可以支撐，同時還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，而數(shù)學(xué)抽象正是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分;至于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的邏輯推理，在本內(nèi)容的教學(xué)當(dāng)中更是非常豐富;而建立起來的對事件的獨立性的理解，本身就可以作為一個數(shù)學(xué)模型在其他的場合使用. 因此在事件的獨立性這一內(nèi)容的教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模非常充分，而根據(jù)史寧中教授的觀點，有了這三個方面，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育就可以得到保證了.

■內(nèi)容導(dǎo)向，實現(xiàn)教學(xué)案例高效設(shè)計

確定了學(xué)生是學(xué)習(xí)的根本，那么在事件的獨立性這一教學(xué)中，教學(xué)設(shè)計需要堅持的另一個思路，就是內(nèi)容導(dǎo)向. 也就是根據(jù)數(shù)學(xué)知識發(fā)生的邏輯去設(shè)計教學(xué)，當(dāng)然，這一設(shè)計過程中，對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的把握是不可缺少的. 實際上這一點早就有人提出，比如有人認(rèn)為：將高中數(shù)學(xué)的“六大核心素養(yǎng)”培育有效地融入數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，落實到教育的主體（學(xué)生）身上，成為目前數(shù)學(xué)教學(xué)亟待解決的重要工作，甚至可以說是教育教學(xué)的核心工作[3]. 筆者在設(shè)計這一課的時候，重點設(shè)計了三個方面：

一是幫學(xué)生回顧條件概率的知識. 實踐表明，在概率知識的學(xué)習(xí)中，如果忽視了對基礎(chǔ)的把握，那么學(xué)生構(gòu)建新的概率知識就比較困難了. 事件的獨立性這一知識的學(xué)習(xí)與條件概率的知識有著密切的關(guān)系，所以必須讓學(xué)生非常熟悉條件概率. 關(guān)于這一點，本文不再贅述.

二是給學(xué)生提供生活案例，讓學(xué)生去辨別分析. 筆者提供的例子有：在籃球比賽過程當(dāng)中，通常有罰球. 那“第一次罰球進(jìn)了”與“第二次罰球進(jìn)了”這兩個事件有沒有互相影響？在一個不透明的箱子當(dāng)中有三個顏色不同而其他都相同的球，其中兩個球是白球. 如果采用不放回的取球方式，那么“第一次任取一個球是白球”，與“第二次任取一個球是白球”，這兩個事件有沒有互相影響？在一個不透明的箱子當(dāng)中有三個顏色不同而其他都相同的球，其中兩個球是白球. 如果采用放回的取球方式，那么“第一次任取一個球是白球”，與“第二次任取一個球是白球”，這兩個事件有沒有互相影響？

這三個例子都是學(xué)生比較熟悉的例子，因而學(xué)生的思維容易加工，而在這個環(huán)節(jié)學(xué)生思維加工的時間短，就可以保證其可以將自己的注意力集中到對事件的互相影響的判斷上來，從而保證學(xué)生的思維圍繞“判斷兩個事件的相互獨立”而展開. 事實證明，學(xué)生基本上能夠做出正確的判斷，即第一種和第三種情況是互相獨立的，而第二種不是互相獨立的.

這樣的話，學(xué)生對“事件A是否發(fā)生對事件B是否發(fā)生的概率沒有影響”就容易產(chǎn)生理解，這種理解是不需要付出太多努力的，因為有事例的支撐，他們幾乎可用自己的直覺去進(jìn)行理解與判斷，這會進(jìn)一步理解獨立事件的性質(zhì)而奠定堅實的基礎(chǔ). 由于第一點對條件概率的知識進(jìn)行了回顧，這里建立P（AB）=P（A）P（B）也就不會遇到太多的困難.

三是理解相互獨立事件的性質(zhì). 實踐表明，對獨立事件的性質(zhì)的理解，可以在比較中進(jìn)行. 這涉及的事件通常有互斥事件、必然事件、不可能事件、任何事件，等等. 當(dāng)然，這里要注意的是，只有學(xué)生對其他事件相對比較熟悉的情況下，他們才能在比較的過程當(dāng)中更好地理解獨立事件的性質(zhì).

■問題解決，學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容精加工

問題解決是鞏固知識的重要途徑，問題解決也是核心素養(yǎng)體現(xiàn)的重要環(huán)節(jié)[4]. 在事件的獨立性這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者設(shè)計的問題也來源于生活. 比如，一個電子元件正常工作的概率r稱之為這個元件的可靠性，由多個元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性. 假如每個元件工作的可靠性都是0

（1） ■

（2） ■

（3） ■

這個例子具有學(xué)科融合的特征，需要學(xué)生通過邏輯推理去判斷各個系統(tǒng)的組成形式，進(jìn)而思考事件獨立性的性質(zhì)，在本問題的解決當(dāng)中起著什么樣的作用. 當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⑹录莫毩⑿缘南拗婆c此問題解決進(jìn)行良好的結(jié)合時，通常可以認(rèn)為學(xué)生的邏輯推理是成功的，對事件的獨立性這一數(shù)學(xué)模型的掌握是成功的.

總的來說，學(xué)科核心素養(yǎng)背景下設(shè)計高中教學(xué)案例，需要將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素與具體的教學(xué)內(nèi)容對應(yīng)起來，然后重點設(shè)計培育這些素養(yǎng)內(nèi)容的環(huán)節(jié)，做到這一點，就邁開了核心素養(yǎng)培育的第一步.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?張先龍，肖凌戇. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計——以函數(shù)的單調(diào)性新授課為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（z1）.

[2] ?趙蘇琴. 找準(zhǔn)目標(biāo) 對癥下藥——談怎樣理解事件的獨立性[J]. 新高考：高二數(shù)學(xué)，2015（04）.

[3] ?莊志剛，于鶯彬. 基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計研究與實踐[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2017（24）.

[4] ?胡先富. 事件獨立性的教學(xué)中應(yīng)該注意的兩個問題[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2003（23）.