王洪蓮

摘要：高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，時常需要安排一些習(xí)題課。本文從向量的坐標(biāo)化策略入手，通過課程設(shè)計(jì)的過程，闡述針對初接觸高中數(shù)學(xué)的學(xué)生，設(shè)計(jì)習(xí)題課的橫向與縱向思考角度。

關(guān)鍵詞：向量坐標(biāo)化策略;建系;轉(zhuǎn)化與劃歸

平面向量，作為有向線段而言，涉及到的問題主要還是幾何圖形中的線段長度、夾角大小、圖形面積等問題。所以，向量問題的解決策略之一還在于基底化向量。

整個高中知識中，與坐標(biāo)相關(guān)的除了解析幾何方面，還有空間向量。這兩個方面，對于建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系與坐標(biāo)運(yùn)算都有一定的要求。設(shè)計(jì)一節(jié)習(xí)題課，讓學(xué)生初識坐標(biāo)法，體會解決問題的幾個過程。而通過數(shù)學(xué)建模，把向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，求解其中的最值，又是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程的一個很好的經(jīng)歷。

這節(jié)課，我決定把課堂內(nèi)容設(shè)定為：兩種策略對照----合理建系探究----常見點(diǎn)坐標(biāo)處理----引入變量，建立數(shù)學(xué)模型----嘗試應(yīng)用這樣幾個過程。

一、策略對照，引入課題

在日常教學(xué)中我多注重對學(xué)生的邏輯表達(dá)進(jìn)行培訓(xùn)。鼓勵他們主動到講臺上講解自己的思路。這樣的過程會讓學(xué)生在表達(dá)的過程中逐步清晰思路，同時也學(xué)習(xí)一類問題的思考方向。這次我依然準(zhǔn)備設(shè)計(jì)兩個作業(yè)題目，其作用首先是通過作業(yè)中基底化方法解決問題，允許學(xué)生進(jìn)一步思考其他方法，從而在比較中引出坐標(biāo)化向量這一策略。另外，可以通過兩個策略的比較，分析每一種策略更適合哪類問題。第二個作業(yè)題一方面是完成基底化講析，更重要的是在策略分析結(jié)束之后，返回來應(yīng)用新策略解題，從而進(jìn)一步體會兩種策略的對比。

把向量來作為基底，基底化向量，可以計(jì)算得出結(jié)論?？紤]到向量之間互相垂直關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到直角坐標(biāo)系。設(shè)計(jì)幾個設(shè)問問題：你準(zhǔn)備怎樣建立直角坐標(biāo)系？其中關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)分別是什么？你覺得這樣坐標(biāo)化向量解決問題，需要哪些過程？

已知條件中給出的模長與夾角，以這兩個向量作為基底，比較容易進(jìn)行計(jì)算。

二、觀察判斷，合理建系

在這一部分設(shè)計(jì)中，我想讓學(xué)生形成一定的常規(guī)認(rèn)識，了解針對圖形特征怎樣建立直角坐標(biāo)系比較合理，有助于計(jì)算。初期設(shè)計(jì)四個問題，其中包括已經(jīng)存在垂直關(guān)系，尋找垂直關(guān)系，多位置建系選擇，高頻點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇方式。斟酌之后，發(fā)現(xiàn)引例特別適合作為垂直關(guān)系的說明，于是引例1又有了另一個作用，提示學(xué)生建系選擇在A點(diǎn)的原因。此間設(shè)計(jì)了余下的三個問題，實(shí)際操作過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生把專注力轉(zhuǎn)移到了對問題的計(jì)算中來，沖淡了對建系合理性判斷的探討。所以我在其中提出一個要求：根據(jù)已知條件分析建系方法，并且驗(yàn)證自己的合理性，不需要計(jì)算最后結(jié)果。

在這個三角形中，有D和B兩個點(diǎn)是學(xué)生常選作原點(diǎn)的位置，引導(dǎo)學(xué)生針對這兩個點(diǎn)作為原點(diǎn)的區(qū)別進(jìn)行分析。其合理性分別在于D點(diǎn)作為原點(diǎn)，則多個點(diǎn)都位于坐標(biāo)軸上，而B作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則題目中所有與B相關(guān)的向量坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)相同。學(xué)生可以通過計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)分析其中的合理性。同時，也提示學(xué)生，觀察每一個相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)求解是否可行可以作為建系方式是否恰當(dāng)?shù)囊粋€判斷依據(jù)。

這是一個相似模型，學(xué)生容易想到找中點(diǎn)去建立直角坐標(biāo)系。但是，在求點(diǎn)和向量的坐標(biāo)時候，又會看到幾個向量的坐標(biāo)求解并不是十分方便。進(jìn)而轉(zhuǎn)移到以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。因?yàn)镃在題目中屬于高頻點(diǎn)，作為原點(diǎn)易于計(jì)算，這也可以作為建系的一個合理性標(biāo)準(zhǔn)。

綜上，可以得到幾個常見建系合理性判斷標(biāo)準(zhǔn)：依據(jù)已經(jīng)存在的垂直關(guān)系;尋找隱藏的垂直關(guān)系;把大多數(shù)點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上;把出現(xiàn)高頻點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)。

建系及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)解決了之后，把對引例2的坐標(biāo)化在此處回歸求解。學(xué)生已經(jīng)可以對問題進(jìn)行建系、寫點(diǎn)、求值幾個簡單過程進(jìn)行分析求解。這個問題可以針對A與D作為坐標(biāo)原點(diǎn)的異同進(jìn)行分析，引發(fā)討論，拓寬學(xué)生的視野。

三、引入變量，轉(zhuǎn)化問題

在建立直角坐標(biāo)系之后，仍然會有問題對學(xué)生造成困擾，比如引入什么樣的變量比較適合。

首先就是圓上點(diǎn)的變量引入方法。

探究小問：圓心在原點(diǎn)O的單位圓上一點(diǎn)A，點(diǎn)M，求的取值范圍.

在這個問題中，坐標(biāo)系已經(jīng)存在，不需要建立坐標(biāo)系。而點(diǎn)A的坐標(biāo)如何設(shè)，就涉及到后面要求的問題取值范圍能否順利求解。設(shè)A（x，y），其中存在關(guān)系式，其中含有x、y兩個變量，這在后面求解取值范圍的時候是學(xué)生不很熟悉的范疇。聯(lián)想到三角函數(shù)的定義，在定義中有角的終邊與單位圓的交點(diǎn)表示方法（）。把要求的向量模長問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題就比較為學(xué)生所知了。設(shè)計(jì)這樣一個小問題，來探討引入角作為變量求解取值范圍時候的優(yōu)勢所在，讓學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)參數(shù)方程知識的時候，對引入角變量有一個初識，這也為后面的最值求解埋下一個伏筆。

通過這個問題的求解，使學(xué)生初步體會數(shù)學(xué)建模的一般過程。

課程小結(jié)：坐標(biāo)化向量策略適合于那些問題？坐標(biāo)化與基底化在方法上各有哪些優(yōu)勢？

本節(jié)課學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)方法？涉及到哪些思想？

關(guān)于數(shù)學(xué)習(xí)題課的設(shè)計(jì)，我有幾點(diǎn)反思。其一，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生夠得著，有的想。盡量避免把初等數(shù)學(xué)高深化。其二，為學(xué)生設(shè)計(jì)討論與思考的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生成為主體。其三，習(xí)題課注重知識點(diǎn)上的瞻前顧后。淺嘗輒止的安排一些即將學(xué)習(xí)到的知識，在這樣一些習(xí)題中解決掉后續(xù)問題中的某一些難點(diǎn)，這將會給學(xué)生很多時間進(jìn)行消化，也在接受新知識的時候沒有陌生感。

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個潛移默化、螺旋遞進(jìn)的過程。進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)多年之后，慢慢的發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)不需要很深刻的理論，而更加需要從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，站在學(xué)生角度共同學(xué)習(xí)探究。

參考文獻(xiàn)：

[1]洪麗敏.平面向量解題的兩大策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011，30（12）：34-36.

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