黃瑤

摘 要：離心率是刻畫圓錐曲線性質(zhì)的一個(gè)重要幾何量，是圓錐曲線的一個(gè)重要的性質(zhì)。歷年來，求圓錐曲線離心率的值或其取值范圍，是圓錐曲線客觀題的考查重點(diǎn)，也是高考中解析幾何的高頻考點(diǎn)。因此，在離心率問題二輪復(fù)習(xí)過程中，除了要加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)鞏固、通法訓(xùn)練，還可特別設(shè)置提升微專題，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合和方程思想的滲透，簡(jiǎn)約思維、簡(jiǎn)化計(jì)算、優(yōu)化過程，幫助考生提高巧解圓錐曲線離心率問題的能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；離心率；數(shù)形結(jié)合；橢圓

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容多，教學(xué)進(jìn)度快，高中內(nèi)容學(xué)習(xí)完結(jié)后，學(xué)生對(duì)眾多知識(shí)點(diǎn)的掌握還不夠透徹，因此，需要進(jìn)行一、二輪復(fù)習(xí)，梳理所學(xué)，強(qiáng)化訓(xùn)練。大多數(shù)文科學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平比理科學(xué)生要低，而全國(guó)卷對(duì)文科的要求卻與理科相當(dāng)，甚至出現(xiàn)不少同題，由于復(fù)習(xí)內(nèi)容多，時(shí)間跨度大，如何提升文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的大面積提高有極其重要的意義。

一年來，經(jīng)過高考第一輪復(fù)習(xí)，教師通過帶領(lǐng)學(xué)生回歸課本，理清知識(shí)系統(tǒng)，夯實(shí)基礎(chǔ)，注重思維訓(xùn)練。一輪復(fù)習(xí)之后，學(xué)生基本能夠掌握高中階段所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和解題技能。但這些知識(shí)經(jīng)過梳理，只是加深了理解，還是比較分散和獨(dú)立。而全國(guó)卷高考的每一考題，都不只是針對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，往往是幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合，因此要求考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握是透徹、綜合的。第二輪復(fù)習(xí)為專題復(fù)習(xí)，教師必須帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)第一輪復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整合，使之更具備條理性、系統(tǒng)性和完整性，同時(shí)鞏固、提煉，構(gòu)建高中數(shù)學(xué)解題的思想方法，最終達(dá)到提高解題能力，提升實(shí)戰(zhàn)技巧的目的。

本人從教十年，六次經(jīng)歷高三畢業(yè)班教學(xué)，始終致力于探索精準(zhǔn)教學(xué)，提升復(fù)習(xí)效率的方法。微專題的特點(diǎn)是“切入點(diǎn)小、角度新穎、有很強(qiáng)的針對(duì)性”。微專題復(fù)習(xí)可以從一個(gè)定理、一個(gè)公式、一種方法入手，也可以從學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)展開，單獨(dú)授課或在復(fù)習(xí)課上穿插講解，形式也可以多樣化，常態(tài)課、微課等，針對(duì)一個(gè)高頻考點(diǎn)或典型問題，一題多解開拓思維，變式訓(xùn)練舉一反三，都可以很大程度提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對(duì)于學(xué)生知識(shí)的掌握和應(yīng)用也是很有幫助的。

離心率是刻畫圓錐曲線性質(zhì)的一個(gè)重要幾何量，是圓錐曲線的一個(gè)重要的性質(zhì)。歷年來，求圓錐曲線離心率的值或其取值范圍，是圓錐曲線客觀題的考查重點(diǎn)，也是高考中解析幾何的高頻考點(diǎn)。本文主要針對(duì)求解圓錐曲線的離心率的值或其取值范圍進(jìn)行微專題復(fù)習(xí)，探索離心率的巧解策略。接下來，通過幾道典型問題的解析說明，和大家一起探索“以形助數(shù)”巧解圓錐曲線離心率的策略。

例1.設(shè)橢圓C： + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作x軸的垂直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B于y軸相交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的率心率等于 。

解法一：不妨設(shè)點(diǎn)A在X軸上方，則令x=c，得A（c， ）、B（c，- ）

∵F1（-c，0），則直線F1B的方程為：y=- （x+c）

令x=0，則y=- ，∴D（0，- ）

∴ =（-c，- ）， =（2c，- ）

∵AD⊥F1B，∴ · =0？圯-2c2+ =0

？圯3b4=4a2c2？圯3（a2-c2）=4a2c2？圯3c2-10a2c2+3a4=0

？圯3e4=10e2+3=0？圯（3e2-1）（e2-3）=0

∵0

評(píng)注：解法一先利用F1、B的坐標(biāo)求出直線F1B的方程，并利用“F1B于y軸相交于D”求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定向量 和 的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式得到關(guān)于a，b，c的齊次式，進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，并根據(jù)橢圓離心率的取值范圍確定e的取值。用這樣的求解方式，思路易得，計(jì)算過程較復(fù)雜，但無疑較全面地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功。

思考：確定D點(diǎn)坐標(biāo)，除了利用直線方程，還能不能通過圖的特征尋求更快捷的方式呢？

解法二：由題意可知：A（c， ）、B（c，- ）、F1（-c，0）

∵AB//y軸，D為F1B的中點(diǎn)∴D（0，- ）

（以下同解法一，利用 · =0？圯e）

評(píng)注：解法二利用了圖像特征，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，快速得出D點(diǎn)坐標(biāo)，簡(jiǎn)化了計(jì)算，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。

思考：既然易知D為中點(diǎn)，還有沒有其他方式列出a，b，c的齊次式，從而求解出e呢？

解法三：由題意易知AD是△ABF1的垂直平分線。

∴AF1=AB，即AF12=AB2

∴（2c）2+（ ）2=（ ）2？圯4c2+ = ？圯4c2=

？圯4c2= ？圯3c4-10a2c2+3a4=0

？圯3e4-10e2+3=0？圯e=

評(píng)注：解法三利用垂直平分線的性質(zhì)，得到線段相等的結(jié)論，從而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得出a，b，c的齊次式，從而求解出e，再次體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。

例2.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足 · =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，求橢圓離心率的取值范圍。

解析：∵ · =0，易知點(diǎn)M的軌跡為以F1F2為直徑的圓，且半徑為c。

設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則OP≥b>c

∴b2>c2？圯a2-c2>c2？圯a2>2c2？圯0

評(píng)注：本例從 · 入手，構(gòu)造出以F1F2為直徑的圓，并根據(jù)題意結(jié)合圓與橢圓的幾何性質(zhì)，找出不等關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡有深刻理解，對(duì)圖形幾何特征掌握到位，并將知識(shí)融會(huì)貫通。本例也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在求解離心率取值范圍問題中的巧妙應(yīng)用。

例3.已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)焦點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍（ ）

A.（1，2] B.（1，2） C.[2，+∞） D.（2，+∞）

解析：如圖所示，作l1和l2分別與雙曲線的兩條漸近線平行，直線l為過F且傾斜角為60°的直線.

要使l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則 ≥tan60°= ，e= ≥2

評(píng)注：此處利用雙曲線的幾何性質(zhì)，用所給定的直線和漸近線的關(guān)系確定漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍，數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)化計(jì)算。

例4.已知雙曲線C： - =1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A.以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P、Q兩點(diǎn)，△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°，則C的離心率（ ）

A. B. C. D.

解析：如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為F1，設(shè)圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，由題意可知，△APQ是等邊三角形∠PAB=30°

∵在圓F中，PA⊥PB，∴∠PFB=60°

且FA=FP=FB=PB=a+c

∴∠AFB=120°

由雙曲線定義可知：PF1-PF=2a，∴PF1=3a+c

在△PFF1中，由余弦定理得：

PF12=PF2+FF12-2PF·FF1·cos120°

（3a+c）2=（a+c）2+（2c）2-2·（a+c）·2c·（- ）

整理得：3c2-ac-4a2=0？圯3e2-e-4=0

∵e>1，∴e=

評(píng)注：本題利用雙曲線及圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義確定線段長(zhǎng)，并在三角形中利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式，從而求解出雙曲線的離心率。整道題解答過程充分體現(xiàn)了用圖的重要性，足見數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的重要應(yīng)用。

例5.若F（c，0）是雙曲線 - =1（a>b>0）右焦點(diǎn)，過F作該雙曲線一條漸近線的垂線，與兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，△0AB的面積為 ，則該雙曲線的離心率e=（ ）

A. B. C. D.

分析：本題可利用點(diǎn)斜式求得直線AB的方程，聯(lián)立直線AB與兩漸近線方程可分別解得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，并利用面積建立關(guān)于a、b、c的齊次式，求得e。但坐標(biāo)運(yùn)算及面積計(jì)算顯然很復(fù)雜，不是最佳的解題辦法.不妨分析圖形，找出圖形特征，借助雙曲線及直角三角形的結(jié)合特征，尋求巧解本題的方法。

解析：設(shè)雙曲線漸近線y= x的傾斜角為α，

∵a>b>0，∴0< <1，則0<α<45°

由圖可知，BF是F（c，0）到漸近線y= x的距離，則BF=b，

又∵OF=c，則在Rt△OBF中，OB= =a

在Rt△OBF中，∠AOB=2α，且tanα=

則tan∠AOB=tan2α= =

∴S△AOB= ·a· = ？圯 = ，∴e=

評(píng)注：本題求解離心率的關(guān)鍵在于利用圖形建立a，b，c三者的關(guān)系式，利用圖形的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算，但圖形特征和幾何性質(zhì)的尋求是學(xué)生的難點(diǎn)，教師在教學(xué)過程中注重引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐漸滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

以上5道典型例題，無不反映出數(shù)形結(jié)合在求解圓錐曲線離心率中的重要應(yīng)用。通過數(shù)形結(jié)合，找出等式或不等關(guān)系，往往可以起到事半功倍的效果。

縱觀十年高考全國(guó)卷及各地模擬試題，圓錐曲線離心率或離心率的取值范圍，無疑是高頻考點(diǎn)，題型多樣，不斷翻新，內(nèi)涵豐富，立意新穎。大部分題型以客觀題的形式出現(xiàn)，其中有些題目綜合性強(qiáng)，解法極富靈活性。因此，在離心率問題二輪復(fù)習(xí)過程中，除了要加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)鞏固、通法訓(xùn)練，還可特別設(shè)置提升微專題，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合和方程思想的滲透，簡(jiǎn)約思維、簡(jiǎn)化計(jì)算、優(yōu)化過程，幫助考生提高巧解圓錐曲線離心率問題的能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，“微專題”是對(duì)“做、評(píng)、論、談”畢業(yè)班復(fù)習(xí)模式的有益補(bǔ)充和完善。同時(shí)對(duì)教師提高了要求，促進(jìn)教師研究、思考、總結(jié)，是作為促進(jìn)教師更快成長(zhǎng)的有效途徑之一。潛心研究高考題，理出高考常考點(diǎn)，根據(jù)學(xué)情，針對(duì)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)的薄弱環(huán)節(jié)、難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)的突破口進(jìn)行研究，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，并以微專題進(jìn)行強(qiáng)化和突破，幫助學(xué)生及時(shí)鞏固復(fù)習(xí)內(nèi)容，補(bǔ)缺補(bǔ)漏，夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題能力和解題技巧，這樣的授課方式更高效。這種高三微專題復(fù)習(xí)方式有利于學(xué)生突破學(xué)習(xí)困惑，彌補(bǔ)漏洞，提高學(xué)習(xí)成績(jī)，值得高三老師深入研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉蘭華.剖析圓錐曲線離心率的求法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（3）.

[2]武增明.求解圓錐曲線離心率的四種數(shù)學(xué)意識(shí)[J].數(shù)學(xué)金刊（高考版），2018（4）.

編輯 王彥清