張君

摘 要：數(shù)學(xué)是源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，理解和表達(dá)世界中事物的本質(zhì)和規(guī)律。2017版的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所提到的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)其包含的第一點(diǎn)就是：數(shù)學(xué)抽象，抽象就是把握住不同現(xiàn)象的共同點(diǎn)，將這個(gè)共同點(diǎn)所體現(xiàn)的問題解決掉，從而解決一類問題乃至幾類問題，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展、應(yīng)用的始終。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)概念;概念課;函數(shù)單調(diào)性;教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)研究的是抽象的概念并加以運(yùn)用，事實(shí)上學(xué)生在高一、高二時(shí)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)其主體內(nèi)容就是數(shù)學(xué)概念，而數(shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)題目的來源、前提和邏輯基礎(chǔ)，所以必須重視數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)。數(shù)學(xué)概念的得出絕不是教師灌輸?shù)慕Y(jié)果，概念應(yīng)該是學(xué)生作為主體對某個(gè)知識點(diǎn)由直觀到抽象的結(jié)果，與此同時(shí)，將具體事物抽象的越深入，那么抽象出來的定義和方法就更具有解決問題的普遍性。抽象主要包含兩點(diǎn)：一是找對象間的關(guān)系（找共性），二是建立數(shù)學(xué)模型（發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，解決問題），但是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中往往缺乏抽象的能力，不能把直觀的現(xiàn)象抽象成結(jié)構(gòu)和規(guī)律，更不用說舉一反三加以應(yīng)用。以下是筆者以人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第一章第三節(jié)《函數(shù)的單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計(jì)片斷為例，淺談關(guān)于在數(shù)學(xué)概念課中怎樣幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一點(diǎn)想法。

一、基本情況分析

教材在單調(diào)性的前一節(jié)的內(nèi)容是函數(shù)的定義，學(xué)生已經(jīng)知道函數(shù)的概念以及函數(shù)的表示方法，知道函數(shù)是表示物體變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，掌握了函數(shù)的變化規(guī)律也就掌握了物體的變化規(guī)律，因此在求了函數(shù)的定義域之后入手研究函數(shù)的變化規(guī)律以及如何求函數(shù)的值域就勢在必行。研究函數(shù)的單調(diào)性承載著研究函數(shù)變化規(guī)律、求函數(shù)值域的重要使命，也直接為之后學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)建立研究模型，單調(diào)性是函數(shù)中最為重要的性質(zhì)之一，這就需要學(xué)生對單調(diào)性本身有透徹的理解。但是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的函數(shù)相關(guān)的描述基本以靜態(tài)為主，他雖然已經(jīng)具備了通過幾何直觀把圖形語言歸納為“ 隨 的變化而變化”的自然語言的能力，但是還未能掌握把“ 隨 增大而增大”或者“ 隨 增大而減小”抽象為數(shù)學(xué)的符號語言的能力，也尚未掌握把“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”的能力，對“任意”的理解也還不夠到位，這就需要教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，去探索單調(diào)性的本質(zhì)，抽象出單調(diào)性的定義，并能夠運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性。

二、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠理解并抽象出函數(shù)單調(diào)性的概念，能夠利用定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性。

2、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)片段

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：著名的艾賓浩斯遺忘曲線，反映了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律，大家說說看，它反映了我們大腦記憶的什么變化規(guī)律？

生1：說明我們記憶力會(huì)下降，能記住的內(nèi)容會(huì)越來越少。

師：能不能說的詳細(xì)一點(diǎn)？如何描述記憶力下降這一變化規(guī)律？

生1：隨著天數(shù)的增加，人所能記住的內(nèi)容越來越少。

師：是的，記憶力下降就是隨著天數(shù)的增加，記住的內(nèi)容反而減少了，所以古人云：溫故而知新其實(shí)是符合我們的認(rèn)知規(guī)律的。

設(shè)計(jì)意圖：概念的獲得本就是從直觀到抽象的過程，把知識點(diǎn)承載到情境里既貼近生活又有實(shí)際意義，學(xué)生在觀察艾賓浩斯遺忘曲線之后，聯(lián)系生活實(shí)際，很自然地就可以把下降的變化趨勢描述為記憶力隨著日子的增加而降低，為函數(shù)單調(diào)性中“y隨x的增大而增大”、“y隨x的增大而減小”的表述做好鋪墊。

師：請大家觀察以下函數(shù)，作圖并指出其圖像變化趨勢或者變化規(guī)律。

例1.f（x）=x;2.f（x）=-2x+1;3.f（x）=x2

（畫圖過程略）

生2：f（x）=x的圖像呈上升的趨勢。

師：請具體描述一下何謂上升的趨勢？

生2：隨著x的增大，y的值也增大。

師：確實(shí)，隨著x的增大，f（x）的值也增大，那么函數(shù)f（x）=-2x+1呢？

生2：它的圖像呈下降趨勢，隨著x的增大，f（x）的值反而減小了。

師：那函數(shù)f（x）=x2呢？

生2：f（x）=x2它的圖像先下降后上升，也就是說在（-∞，0）上f（x）隨x的增大而減小，在（0，+ ∞）上f（x）隨x的增大而增大。

師：很好，這就是函數(shù)的單調(diào)性，如果一個(gè)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間D上滿足f（x）隨x的增大而增大，我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增，是增函數(shù)，區(qū)間D是函數(shù)的增區(qū)間，同理，如果它在另一個(gè)區(qū)間E上滿足f（x）隨x的增大而減小，我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間E上單調(diào)遞減，是減函數(shù)，區(qū)間 是函數(shù)的減區(qū)間。大家想象一下，如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，那函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上有什么值？

學(xué)生集體回答：最大值

師：是的，所以如果我們掌握了函數(shù)的單調(diào)性，不僅可以知道函數(shù)的具體變化趨勢，還可以直接求出函數(shù)的值域，所以單調(diào)性是函數(shù)很重要的一個(gè)性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：一方面強(qiáng)化單調(diào)性的本質(zhì)是研究“f（x）隨 變化而變化的規(guī)律”，另一方面，通過具體例子讓學(xué)生潛移默化地知道函數(shù)的單調(diào)性是局域性的，不一定是整個(gè)定義域里都單調(diào)，幫助學(xué)生全面理解單調(diào)性定義。

（二）抽象概括，突破難點(diǎn)

師：那若已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，那f（1）和f（2）相比哪個(gè)值大？

f（2）和f（3）相比呢？

生3：因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，1<2，所以f（1）

師：那如果反過來，如果函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減呢，那f（1）和f（2）相比哪個(gè)值大？f（2）和f（3）相比呢？

生4：因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以x取值大的函數(shù)值反而小了，因?yàn)?<2，所以f（1）>f（2），同理f（2）>f（3）。

師：大家能不能就增函數(shù)為例把這個(gè)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)語言概括一下？

生5：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)，只要a

師：那如果在區(qū)間上為減函數(shù)呢？

生5：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，只要af（b）。

設(shè)計(jì)意圖：潛移默化地讓學(xué)生知道利用函數(shù)的單調(diào)性是兩個(gè)數(shù)字比大小的常用方法，另一方面利用具體兩數(shù)比大小幫助學(xué)生抽象出以“若af（b）”來描述減函數(shù)。

師：反之，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上滿足f（2）

生6：不能，比如（略）。

師：我們把條件改為f（1）

生6：不能，比如（略）。

師：我們把條件改為在區(qū)間[1，4]有n個(gè)數(shù)，滿足x1

f（x1）

生6：不能，比如（略）。

師：那如果改成無數(shù)個(gè)呢？

這個(gè)時(shí)候有很多學(xué)生認(rèn)為可以，此時(shí)教師讓持反對意見的學(xué)生回答反對的理由，并強(qiáng)調(diào)無數(shù)不等于所有。

師：對的，“無數(shù)”不等于“所有”，從這“無數(shù)”個(gè)里面我們?nèi)∠噜彽膬蓚€(gè)，再用放大器把這兩個(gè)數(shù)字之間的區(qū)間放大，顯然還有無數(shù)個(gè)函數(shù)值無法比大小，那么到底如何用數(shù)學(xué)符號來描述函數(shù)在f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增？請大家以小組為單位，統(tǒng)一小組意見后，我們一起展示大家的意見。

設(shè)計(jì)意圖：拆分、剖析“在某個(gè)區(qū)間上，f（x）隨著x的增大而增大”，把定義細(xì)化，以便學(xué)生全面理解函數(shù)單調(diào)性的定義，強(qiáng)化學(xué)生對“所有”的理解，同時(shí)引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)了學(xué)生鉆研定義的積極性。

師展示學(xué)生某小組研究的成果：在區(qū)間D上，只要x1

師：這里的兩個(gè)數(shù)x1，x2是確定的嗎？

生7：這兩個(gè)數(shù)是不確定的，我們可以任意選擇。

師：那能不能再斟酌一下，如何精準(zhǔn)地用符號語言描述增函數(shù)的定義？

生7：在區(qū)間D上，任取兩個(gè)數(shù)x1，x2，若x1

師：非常好，有限個(gè)哪怕無限個(gè)自變量x滿足x1

然后繼續(xù)叫學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言描述減函數(shù)的定義。

設(shè)計(jì)意圖：這一段是本節(jié)課的難點(diǎn)，學(xué)生在用數(shù)學(xué)符號語言描述單調(diào)性定義的時(shí)候經(jīng)歷了“從2個(gè)——有限個(gè)——無限個(gè)——所有——任意兩個(gè)”的構(gòu)建經(jīng)歷，對高一新生而言是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，需要教師層層設(shè)計(jì)精心提問，引導(dǎo)學(xué)生由直觀抽象出單調(diào)性的本質(zhì)。

師：請同學(xué)們結(jié)合剛剛研究過的幾個(gè)函數(shù)思考一下這個(gè)單調(diào)區(qū)間D和函數(shù)定義域是什么關(guān)系？

生8：單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的某個(gè)子集。

師：既然單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的某個(gè)子集，請結(jié)合剛剛我們對單調(diào)性定義的研究總結(jié)一下增函數(shù)以及減函數(shù)的完整定義

生8回答，師板書定義。

設(shè)計(jì)意圖：再次強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性具有局域性，單調(diào)區(qū)間不等同于定義域，鞏固單調(diào)性定義。

例2：接下來請同學(xué)觀察函數(shù) 的圖像，根據(jù)圖像回答以下問題：

⒈該函數(shù)在定義域里單調(diào)嗎？

⒉請說出它的單調(diào)區(qū)間

學(xué)生回答過程略。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過觀察圖像很容易把反比例函數(shù)兩條分支各自單調(diào)遞減誤解為在整個(gè)定義域上為減函數(shù)，實(shí)質(zhì)上還是因?yàn)閷瘮?shù)單調(diào)性的定義其本質(zhì)理解不夠到位，此時(shí)就需要教師多提問學(xué)生多啟發(fā)學(xué)生，使學(xué)生明確判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否單調(diào)必須嚴(yán)格按照定義出發(fā)，定義是檢驗(yàn)單調(diào)與否的根本標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)調(diào)解題必須立足于定義，而證明不單調(diào)只需舉個(gè)特例就行。同時(shí)使學(xué)生明確單調(diào)區(qū)間不能用并集表示。

（三）探索應(yīng)用，加深理解

師：剛才我們研究了單調(diào)性的定義，那拿到一個(gè)陌生函數(shù)，大家說說看我們可以通過哪些方法來判斷該函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的的單調(diào)性？

生9：如果有圖像，那就可以通過圖像直接判斷，如果沒有圖像可以通過定義判斷證明。

師：通過圖像我們判斷出函數(shù) 在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，下面請大家以小組為單位討論如何用單調(diào)性定義來證明這個(gè)結(jié)論。

該題學(xué)生證明過程略，學(xué)生在經(jīng)過了小組討論后來證明結(jié)論相對簡單，然后請一位同學(xué)總結(jié)從定義出發(fā)證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：

1.設(shè)值：在給定區(qū)間上任取兩數(shù)x1，x2，且x1

2.作差：f（x1）-f（x2）

3.變形：基本方法有通分、因式分解、配方等

4.定正負(fù)：判斷f（x1）-f（x2）的正負(fù)

5.下結(jié)論

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生明確判斷單調(diào)性的辦法是直觀函數(shù)圖法像或定義法，之后叫學(xué)生通過小組討論解題后總結(jié)用定義證明單調(diào)性的基本步驟，實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生對單調(diào)性定義的再一次抽象并加以應(yīng)用的過程，所以要養(yǎng)成學(xué)生適時(shí)總結(jié)的習(xí)慣。

四、教學(xué)小結(jié)、反思

本節(jié)課的教學(xué)目的非常明確，就如何引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生通過觀察圖像到認(rèn)識函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律再到具體函數(shù)值比大小到最后抽象出函數(shù)單調(diào)性的概念，以及如何利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性而展開，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)貫穿整堂課的始終。學(xué)生在經(jīng)歷了情景導(dǎo)入，直觀抽象，探索運(yùn)用的幾個(gè)環(huán)節(jié)之后，對函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)該說有了整體、系統(tǒng)的認(rèn)識及掌握。

在應(yīng)試教育中，無論是老師還是學(xué)生都在分?jǐn)?shù)與時(shí)間的壓力下負(fù)重前行，高中三年，有很多老師、學(xué)生都想通過題海戰(zhàn)術(shù)來提升數(shù)學(xué)成績，但是我隨著接觸的孩子越多就發(fā)現(xiàn)很多孩子其實(shí)很努力但是根本不會(huì)學(xué)習(xí)，他拼命刷題但是任然對知識一知半解，題目稍微變一變就又不會(huì)做了，所以我認(rèn)為在教師層面提升學(xué)生數(shù)學(xué)成績最根本有效的方法就是提升學(xué)生的抽象思維的能力，因?yàn)槌橄笏季S能力決定學(xué)力的高低，真正拉開學(xué)霸與普通學(xué)生間的差距的也正是抽象思維能力的高低。而如何通過課堂教學(xué)提高學(xué)生的抽象思維能力、讓學(xué)生從根本上認(rèn)識數(shù)學(xué)并利用知識解決問題，這就需要教師牢記使命的同時(shí)提升自身的教學(xué)水平，精心備課服務(wù)于學(xué)生。數(shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)題目的來源、前提和邏輯基礎(chǔ)，也是對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的溯源以及抽象，所以必須重視數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)。以下幾點(diǎn)是我以數(shù)學(xué)概念課為例，如何提升學(xué)生的抽象思維能力的一點(diǎn)想法，歡迎老師批評指正。

1、由具體情景引入新課。抽象不是憑空出現(xiàn)的，它絕大部分來自于直觀，這就要求教師在引進(jìn)新概念時(shí)要尋找、設(shè)計(jì)貼近生活的、有典型意義的例子或情景，讓學(xué)生帶著興趣去觀察、比較，然后從這些常見的例子發(fā)現(xiàn)其含有的共性，以便從這些共性中抽象出概念的本質(zhì)。

2、必要時(shí)可以選擇導(dǎo)向型教學(xué)。針對比較復(fù)雜的概念，當(dāng)學(xué)生還不具備抽象能力時(shí)，教師可以通過具體問題引導(dǎo)學(xué)生從某個(gè)角度入手，建立一定的研究模型，通過某種模式分析因果和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來得出最終的結(jié)果，從某種角度來講利用模型研究更為快速、有效，因?yàn)樗哂忻鞔_的導(dǎo)向性。如本堂課，高一新生很難直接抽象出通過在給定區(qū)間上任取兩數(shù)比較其對應(yīng)函數(shù)值大小來體現(xiàn)單調(diào)性的本質(zhì)這一技巧，所以筆者就在學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號語言來描述單調(diào)性的定義以前，就引入了反復(fù)運(yùn)用單調(diào)性來比兩個(gè)數(shù)的大小這個(gè)教學(xué)片斷，有意讓學(xué)生建立可以通過兩個(gè)數(shù)比大小這個(gè)模型來定義單調(diào)性的意識。

3、加強(qiáng)定義要素的結(jié)構(gòu)訓(xùn)練。數(shù)學(xué)的概念、定義是用最精煉的語言描述一件事物，它沒有一個(gè)字是多余的，所以教師備課時(shí)一定要精讀、細(xì)解定義，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生把定義拆解、細(xì)化，拆分地越細(xì)致學(xué)生思維就越嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)化知識就越徹底。

4、知行合一。學(xué)習(xí)概念定義最簡單的驗(yàn)證的方法就是讓學(xué)生用自己的話把這個(gè)概念或者定義復(fù)述清楚，如果能夠復(fù)述清楚的，那么就說明基本懂了，如果復(fù)述不清楚那么應(yīng)該沒有掌握 。在運(yùn)用一個(gè)概念定義解題前連定義本身描述的是怎樣一件事情都說不清楚又何談?wù)莆漳?？解題就是知行合一，能夠說清楚是最簡單的行，知而不行就是未知。

5、必須培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)、歸納的習(xí)慣。通過總結(jié)歸納，可以把已有的知識點(diǎn)聯(lián)系起來，梳理整齊形成體系。總結(jié)歸納的本質(zhì)是對知識的深度思考，深度思考不僅使學(xué)生對該知識點(diǎn)記得更牢而且運(yùn)用得更靈活自如，很多時(shí)候成績好的學(xué)生確實(shí)比成績較差的學(xué)生更擅于總結(jié)歸納。

數(shù)學(xué)的教育不只是灌輸數(shù)學(xué)方法，比如歸納、類比、數(shù)形結(jié)合、整體換元等，這些都只是解題時(shí)的手段和工具，我們所要培養(yǎng)的是讓學(xué)生認(rèn)識到這些解題方法的背后是什么？為什么要解決該問題？這個(gè)問題它代表的是哪類問題？它的本質(zhì)是什么？大象無形，大音希聲，大道至簡，這就需要學(xué)生具備應(yīng)有的抽象能力，能抽象出復(fù)雜問題的本質(zhì)，所以一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)老師應(yīng)該立足于培育學(xué)生的抽象思維能力，把提高學(xué)生的核心素養(yǎng)作為根本任務(wù)落實(shí)到位，這樣，數(shù)學(xué)必不會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)途中的攔路虎。教學(xué)相輔，在提升學(xué)生素養(yǎng)的同時(shí)，相信老師自身都會(huì)有長足的進(jìn)步。