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        以“冪函數(shù)”教學為例,談初中數(shù)學的教學思路

        2019-06-22 05:47:36沈裕梅
        數(shù)學教學通訊·初中版 2019年4期
        關鍵詞:冪函數(shù)情境創(chuàng)設教學設計

        沈裕梅

        [摘? 要] 數(shù)學是一門嚴謹而富有理性的學科,教師在組織課堂時,一定要按照科學的思路展開分析和設計. 文章以“冪函數(shù)”的教學為例,探討了初中數(shù)學教學的基本思路.

        [關鍵詞] 情境創(chuàng)設;數(shù)學教學;冪函數(shù);教學設計

        初中數(shù)學的教學應該循著怎樣的思路進行,才能更好地服務于學生的探究和認知呢?筆者認為,我們在導入環(huán)節(jié)要善于創(chuàng)設情境,同時還要注意學生探究思路的引導,在學生進行探索和討論時,我們務必要讓學生真正發(fā)揮其主體地位. 下面,筆者就以“冪函數(shù)”的教學為例,探討一下初中數(shù)學教學的基本設計思路.

        教師創(chuàng)設問題情境:現(xiàn)有兩組數(shù),請比較它們的大小關系:(1)0.5-1.2和0.5-1.5;(2)log和log.

        生:這兩個都可以建立相應的函數(shù)模型,然后利用函數(shù)的單調(diào)性討論數(shù)據(jù)的大小,第一組對應的函數(shù)模型為y=0.5x,可得結(jié)論0.5-1.5更大;第二組對應的函數(shù)模型為y=logx,可得結(jié)論log更大.

        設計思路 以上內(nèi)容主要為復習,并且讓學生進一步熟悉運用函數(shù)性質(zhì)來分析和研究問題的常規(guī)操作,這也為我們的新課教學奠定了基礎.

        師:現(xiàn)又有兩組數(shù),請試著比較它們的大小關系:(1)5.23-2和5.25-2;(2)(-0.72)3和(-0.75)3.

        生:按照之前的思路,我們依然建立一些函數(shù)模型,第一個對應y=x-2,第二個對應y=x3,但是……

        設計思路 這里學生的思維按照我們的預設在推進,既然其他在形式上類似的數(shù)據(jù)比較大小可以用到函數(shù)模型,那么在這里也可以用,但是建立起來的函數(shù)卻不在已有的知識框架內(nèi),認知沖突由此產(chǎn)生,學生產(chǎn)生了繼續(xù)探索的愿望,冪函數(shù)的基本概念呼之欲出.

        師:以上所建立的函數(shù)屬于怎樣的函數(shù)類型呢?對于A=BC,如果B是一個常數(shù),那么A是C的什么函數(shù),C是A的什么函數(shù)?現(xiàn)有情形是C為一個常數(shù),那么A是C的什么函數(shù)?

        生:如果B是一個常數(shù),則A是C的指數(shù)函數(shù),C則是A的對數(shù)函數(shù),至于后面的內(nèi)容就不清楚了.

        師:后面一類函數(shù)正是我們今天所要研究的內(nèi)容——冪函數(shù). 你能類比指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義方式,來給冪函數(shù)下一個定義嗎?

        設計意圖 給一個數(shù)學概念下定義是一項高難度的工作,但是我們在這里完全立足于學生的經(jīng)驗和基礎,讓他們從類比的方法著手實施操作,這完全在學生的能力范圍以內(nèi). 這項操作兼具模仿性和創(chuàng)新性,對學生掌握數(shù)學知識和探索方法大有裨益.

        生:形如y=xα的函數(shù)就是冪函數(shù).

        師:還有什么需要補充的嗎?

        生:α是一個常數(shù).

        師:我們在定義數(shù)學概念時,務必要做到嚴謹?shù)轿? (隨后開始板書定義:一般地,形如y=xα(α∈R)的函數(shù)叫作冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù) )

        例題? 請確定以下函數(shù)的定義域和奇偶性:(1)y=x-2;(2)y=x3;(3)y=x-;(4)y=x.

        學生分析并展開討論,然后在交流和展示中給出答案.

        設計意圖 函數(shù)的定義域和奇偶性是研究函數(shù)性質(zhì)的基本思路,學生對此都有相應的基礎. 教學過程中,我們提出上述例題,就是幫助學生建立正確的探究方向,這也有助于學生在后續(xù)圖像和性質(zhì)的研究中簡化過程.

        師:前段時間,我們研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)時,一般采用怎樣的步驟?

        生:先畫出一些具體的函數(shù)圖像,然后結(jié)合圖像的觀察和分析歸納性質(zhì).

        設計思路 在初中數(shù)學的學習過程中,我們一方面要指導學生學習數(shù)學知識,另一方面也要啟發(fā)學生對探究方法進行總結(jié). 一般來說,知識是很容易遺忘的,但是方法卻將長期地留存下來. 在上述設計中,我們引導學生回顧以往的研究方法,其實也有助于學生進一步了解函數(shù)知識的內(nèi)涵.

        師:很好,剛才你們給出了一個正確的研究思路,下面請大家自主選擇幾個冪函數(shù),并利用圖形計算器畫出圖像,研究性質(zhì).

        隨后,教師即可安排學生展開自主探索,并在時機成熟時,安排學生進行交流匯報. 考慮到學生對圖形計算器的操作不一定嫻熟,教師可以將基本步驟投影在前面,讓學生有一個參考,當然其間也需要鼓勵學生在相互協(xié)作中探討具體的操作是否正確.

        設計意圖 教師通過及時的評價來對學生進行肯定,讓學生能夠以更加飽滿的熱情參與到下一階段的學習過程之中. 學生的活動包括觀察、猜想、推理、驗證等操作,我們希望學生通過這一過程得到最為深刻的認識,同時也希望學生能夠在體驗過程中獲得切實的提升.

        學生以小組為單位進行探究,學生在探究過程中遇到了很多情況,教師要以平和的心態(tài)對待學生探索過程中出現(xiàn)的意外. 畢竟學生才剛剛接觸冪函數(shù),各種意外或失誤都應該在情理之中,所以教師只能適當?shù)匾龑Ш蛦l(fā),絕不能代替學生進行研究.

        師:很多小組已經(jīng)完成了冪函數(shù)性質(zhì)的探究,下面咱們就請各組的代表來匯報一下研究成果. (匯報過程往往是幾個學生搭配操作,比如一個學生繪制圖像,另外一個學生進行口頭表述 )

        生1:我們組所選定的函數(shù)是y=x2,y=x,y=x3,這些函數(shù)存在以下性質(zhì):它們的圖像都經(jīng)過兩個固定點(0,0)和(1,1);它們在第一象限都屬于增函數(shù),其他象限各不一樣,而且這些函數(shù)的圖像沒有出現(xiàn)在第四象限.

        師:很好,其他小組有沒有不一樣的答案?

        生2:剛才這一小組的同學所選定函數(shù)中的α都是正數(shù),我們組還探索了取負數(shù)的情形,因此得到的結(jié)論有所不同.我們組所選定的函數(shù)包括y=x2,y=x,y=x3,y=x-1,y=x-2,這些函數(shù)存在以下性質(zhì):當α是正數(shù)時,基本性質(zhì)和剛才他們的結(jié)論一致;但如果是負數(shù),則函數(shù)圖像不經(jīng)過原點,它們經(jīng)過點(1,1),且在第一象限為減函數(shù).

        師:你能解釋一下,為什么α是負數(shù)時,函數(shù)圖像沒有經(jīng)過原點嗎?

        生2:如果α是負數(shù),則0不在函數(shù)的定義域內(nèi).

        師:說得很好,有沒有其他發(fā)現(xiàn)?

        生2:沒有了.

        師:還有同學需要補充嗎?

        生3:我們組研究函數(shù)y=x的圖像時,發(fā)現(xiàn)它正好是第一象限和第三象限的角平分線,而且在第一象限它的圖像還將成為一個分界線,即α>1時,函數(shù)圖像會向上;0<α<1時,函數(shù)圖像會向右,但都屬于增函數(shù).

        師:剛才幾個同學的匯報都非常精彩,請大家對上述結(jié)論進行一下整合.

        設計意圖 在學生進行匯報和展示的過程中,教師要給予學生足夠的時間來進行展示和交流. 在學生展示時,教師不能隨意打斷,同時教師還要鼓勵其他小組的學生進行補充性的說明,最后要提供時間讓學生對各項展示成果進行匯總,整理出較為完整的結(jié)論.

        師:請同學來匯報一下你們的匯總結(jié)果.

        生4:我們要先對α的取值情況進行分類,然后進行說明. 對于α>0時,函數(shù)的圖像都會經(jīng)過點(0,0)和(1,1);在第一象限,函數(shù)圖像都會隨著x取值的增大而上升,即在[0,+∞)上屬于增函數(shù). 對于α<0時,函數(shù)的圖像都會經(jīng)過點(1,1);在第一象限,函數(shù)圖像都會隨著x取值的增大而減小,即在(0,+∞)上屬于減函數(shù). 冪函數(shù)圖像不會出現(xiàn)在第四象限,而且一般只研究第一象限的特點,對于其他象限,可以通過函數(shù)的奇偶性進行研究和分析.

        師:其他同學覺得這個總結(jié)如何?請大家回憶一下,我們在指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)等方面的研究,比較一下,這樣研究是否全面?

        學生展開比較和討論,基本過程略去不提.

        師:剛才我們分析了冪函數(shù)的性質(zhì),通過比較,我們發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)性質(zhì)的復雜程度遠遠超過了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),因此我們要找一些具有代表意義的函數(shù)進行研究,α取-2,-1,,1,2,3等等. 但是無論α取哪些數(shù)據(jù),我們都要畫出函數(shù)的大致圖像,然后結(jié)合定義域、奇偶性來進行研究. 下面,我們結(jié)合一些具體的例題展開分析和研究.

        隨后的環(huán)節(jié)是教師展示了一些例題,引導學生在例題的分析和研究中熟悉概念、鞏固認識.

        設計意圖 在匯報環(huán)節(jié),教師相當于一個主持人,學生才是真正的主角,他們用自己的語言來展示自己對函數(shù)性質(zhì)的理解. 當然,教師的串聯(lián)作用不能忽視,只有恰當?shù)匾龑?,學生才能獲得更加完善而嚴謹?shù)慕Y(jié)論.

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