樂海霞

【摘 要】類比是探究未知事物的工具，是數學活動中偉大的引路人。等比數列和等差數列僅一字之差，具有某種可比性，用類比思想去認識等比數列，體會類比是探究未知事物的引路人。

【關鍵詞】等比數列；類比；數學思維

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0061-02

1 教學內容解析

本課來自人教A版必修5中的2.4節(jié).學習了等差數列的定義、通項、性質及前項和，對于特殊數列要探究哪些知識，運用哪些方法，學生有了一些經驗。

本課研究內容是等比數列，等比數列和等差數列僅一字之差，具有某種可比性，引導學生用類比思想認識等比數列，體會類比是探究未知事物的引路人。

難點在等比數列與等差數列之間的差異使類比的結論有或然性，要引導學生分類討論。

2 教學目標設置

（1）從實際問題抽象出數列模型過程中理解等比數列定義，掌握等比數列的通項公式、等比中項，理解等比數列與指數函數的關系。（2）從等比數列通項公式的探討過程中感受研究特殊數列的思路與方法；會用定義判斷等比數列，會求等比數列的通項公式、等比中項。（3）類比指數函數圖象，探索等比數列通項公式的圖象特征及與指數函數之間的關系[1]。

3 學生學情分析

學習《函數》，對函數的研究結構和方法有了體驗，對指數函數有一定的認識；學習等差數列的定義、通項公式、性質和前項和，經歷特殊數列研究的一般過程，有從特殊到一般、具體到抽象的思維經歷。

4 教學策略分析

采用問題啟發(fā)和自主探究的教學方式。學生研究過等差數列，熟悉特殊數列要探究的知識及所用的方法。重點是用類比的方法探究等比數列的定義和通項公式，嘗試用已有知識去類比，使學生經歷由表及里的探究

過程[2]。

5 教學過程

5.1 教學目標

（1）通過實例理解等比數列的概念。

（2）通過類比等差數列探索等比數列的通項公式，會根據定義判斷等比數列，會求等比數列的通項公式并簡單應用。

（3）類比指數函數圖象，探索等比數列通項公式的圖象特征。

5.2 教學重點

等比數列的定義和通項公式。

5.3 教學難點

等比數列與指數函數的關系。

5.4 教學過程

5.4.1 創(chuàng)設情境引入新課

師：《孫子算經》卷下有題：“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何?！?/p>

生：9，81，729，94，95，96，97，98。

師：從前后項來看，這列數有什么特點？

生：后一項比前一項是同一個常數。

師：有這個特點的數列在生活中很常見。細胞分裂個數組成數列1，2，4，8，……?！耙怀咧罚杖∑浒?，萬世不竭?！比舭选耙怀咧贰笨闯蓡挝弧?”，得到數列是：1，，，，……。還有銀行復利問題等。今天我們學習等比數列。

意圖：從《孫子算經》的名題引入，注重數學知識的歷史文化向度，讓學生體驗知識形成過程，享受數學的有用性、有趣性。

師：前面研究了等差數列的哪些內容？

生：等差數列的定義，等差中項的概念，等差數列的性質、通項公式及前項和。

意圖：溫故知新，對所學知識起到先導作用，滲透類比思想。

師：從名稱看，等比數列和等差數列僅一字之差，有某種可比性，用什么方法來研究等比數列的哪些內容？

生：用類比等差的方法學習等比數列的定義，等比中項的概念，等比數列的性質、通項公式以及前項和。

意圖：明確本節(jié)課的任務：學什么？怎么學？

5.4.2 小組合作探究新課

參考任務單，類比等差數列，小組對等比數列中的知識點加以探究，小組內討論、交流。

意圖：發(fā)揮學生主體性，體驗類比探究的過程，學生的獨立思考、同學間的合作交流，培養(yǎng)自主學習的能力。

5.4.3 成果展示推進新課

展示一等比數列的定義

生：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示（q1 0），其符號語言是。

意圖：通過學生的獨學、合作等方式，類比得出等比數列的定義，嘗試用遞推公式描述等比數列。

追問：（1）說出三個等比數列的公比；（1）9，81，729，94，95，96，97，98（2）1，2，4，8，……。（3）1，，

，，……。

舉例：（1）一個公比為的等比數列；（2）一個公比為的等比數列；（3）一個不是等比數列的數列；（4）一個既是等差數列又是等比數列的數列。

師生小結：，

意圖：引導學生理性思考，突出等比數列本質屬性，加深對等比數列定義的理解。

聚焦一 等比中項的概念

師：要構成一個等比數列，項數最少幾項？

生：3項

師：3項成等比，有什么發(fā)現？

生：在與b中間插入一個數G，使，G，b成等比數列，那么G叫做與b的等比中項.其符號語言表示為：G2=b，

生：任意兩個數都有等比中項？若G2=b，則，G，b成等比數列嗎？

生：不成立，當，時，不成立。

師生完善小結。

意圖：等比中項是等比數列的特殊情況，通過學生的類比、探究，理解等比中項的概念。

探究二 等比數列的通項公式

師：若聚焦到等比數列的特定項，研究什么？

生：通項公式。（學生上臺板演推導過程）

老師提煉：若確定了一個等比數列的首項和公比，就可以求出通項公式。

意圖：類比等差數列通項公式推導方法，經歷等比數列通項公式的推導，感受類比是偉大的引路人。

師：可從幾個角度來認識等比數列的通項公式呢？

生：方程角度和函數角度。

師：很好！從方程角度來看，有什么啟發(fā)？

聚焦二 等比數列與指數函數的關系

師：若從函數角度來看，等比數列與什么函數有關？（請學生成果展示）

教師借助信息技術，幫助學生認識等比數列通項公式的圖象特征，歸納等比數列通項公式與指數函數間的聯系。

意圖：體會等比數列與指數函數間的聯系，加強直觀感受，體驗數列是一種特殊的函數。

5.4.4 成果運用內化新課

例1.已知數列滿足：，求的通項公式。

變式：已知數列滿足：，，

（1）證明：是等比數列；（2）求的通項

公式。

意圖：通過變式提高學生對知識的運用水平，熟練用定義判斷或證明數列是等比數列。

例2.一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第5項。

拓展：求例2中的第5項，除用知三求一的基本量思想，還有其他辦法嗎？

意圖：熟練知三求一過程，讓學生理解公式的本質，拓展為下節(jié)課對性質研究鋪墊。

5.4.5 歸納總結收獲新課

（1）歸納研究特殊數列的思路

生：知識體系上可學習特殊數列的定義、通項、性質、前項和；思想方法上可用類比的方法學習新數列，推導通項公式時可用特殊到一般的歸納法。

（2）類比對你有什么啟發(fā)嗎？

生：學習了等差數列、等比數列，可用類比的方法學習等和數列、等積數列。

生：在學習等差數列時，若、是等差數列，則數列也是等差數列，若、是等比數列，則數列也是等比數列嗎？呢？

6 結束語

師：我們用類比等差數列的方法，完成本節(jié)課的探究。我們感嘆：類比，一個偉大的引路人！但類比，僅僅是引路，怎么走，得靠自己一步一個腳印地走！只有這樣，我們才能領略到人生不一樣的風景！

【參考文獻】

[1]閆桂琴.中學數學教學論[M].北京：北京師范大學出版社，2010（7）.

[2]張奠宙，宋乃慶.數學教育學（2版）[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.