李衛(wèi)

◆摘 ?要：數(shù)學(xué)解題的目標(biāo)絕不是為了解題，而是通過數(shù)學(xué)問題解決，獲得學(xué)生更長遠(yuǎn)的發(fā)展，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行拓展研究，達(dá)到舉一反三，融會(huì)貫通的目標(biāo)。習(xí)題課要設(shè)計(jì)出“問題串”的題系，要講習(xí)題的核心所在，講試題承載的思想方法。

◆關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)習(xí)題課;平行;專題復(fù)習(xí);問題串

《解題學(xué)引論》羅增儒教授對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題課的認(rèn)識(shí)是這樣說的：題——即是問題，特征是概念的抽象概括、定理的發(fā)現(xiàn)證明、數(shù)學(xué)的應(yīng)用。數(shù)學(xué)題——練習(xí)型的題具有教學(xué)性，研究型的題具有學(xué)術(shù)性，考慮一種為狹義。解題：傳統(tǒng)意義的“解題”注重結(jié)果、注重答案，而現(xiàn)代意義的“問題解決”則更注重解決問題的過程、策略及思維方法。因此數(shù)學(xué)習(xí)題課嚴(yán)格意義上應(yīng)該是練習(xí)型數(shù)學(xué)問題解決的課堂，我們可以從三個(gè)層次深入理解習(xí)題課：認(rèn)識(shí)習(xí)題課，從課到題;建構(gòu)習(xí)題課，從題到解;反思習(xí)題課，從解到思。下面，將通過《平行專題復(fù)習(xí)》這個(gè)案例來讓我們重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)習(xí)題課。

案例：中考專題復(fù)習(xí)《玩轉(zhuǎn)平行》

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

中考?？疾鞂W(xué)生對(duì)兩條直線特殊位置的應(yīng)用，其中平行尤為常見，啟發(fā)學(xué)生巧用平行線的性質(zhì)給解題帶來很大的幫助。這節(jié)課重點(diǎn)探討平行線的兩類應(yīng)用：①平行在多邊形變換中的應(yīng)用;②平行在函數(shù)中的應(yīng)用。難點(diǎn)是平行在函數(shù)中的應(yīng)用。希望通過這節(jié)課能幫助學(xué)生有效利用平行的性質(zhì)快速尋找到解相關(guān)題的思路。

二、教學(xué)環(huán)節(jié)

（一）平行在中考中的重要性

PPT展示近幾年中考數(shù)學(xué)試卷中涉及到平行的考題所占比例，明確學(xué)生需熟練掌握平行性質(zhì)解題的重要性。

提到平行，學(xué)生常聯(lián)想到以下相關(guān)的知識(shí)：角的關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）、距離相等（平行線之間的距離）、平行線分線段成比例、直線表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)相等（[k1=k2]）等。老師板書關(guān)鍵點(diǎn)在黑板上。平行的相關(guān)知識(shí)掌握容易，但從這些基本性質(zhì)出發(fā)，到熟練運(yùn)用平行線相關(guān)知識(shí)解題的這條鴻溝確是很多學(xué)生感到為難的地方，我們?cè)撊绾伟盐兆☆}目的關(guān)鍵，快速破題呢？

（二）玩轉(zhuǎn)平行

第四題：由平行與中點(diǎn)聯(lián)想到構(gòu)造全等的三角形。

本環(huán)節(jié)精選了四類題型：利用平行線構(gòu)造相似的三角形，A型、X型等;利用平行線、角平分線構(gòu)等腰三角形;利用平行線之間的距離處處相等進(jìn)行等積變換;利用平行線、中點(diǎn)構(gòu)全等三角形。通過這四類幾何題型的練習(xí)，讓大家對(duì)平行的基本性質(zhì)的應(yīng)用有個(gè)更系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)，如果我們?cè)俳o它加一個(gè)函數(shù)的背景，那么又該如何運(yùn)用平行來解題呢？

三、玩轉(zhuǎn)函數(shù)中的平行

【活動(dòng)二】師生共同探究，先由學(xué)生獨(dú)立思考后，老師再提問點(diǎn)撥，學(xué)生講解解題方法。

老師可以設(shè)計(jì)問題串的形式啟迪學(xué)生思考：

問題1：這里的MN∥BD有何用處？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)內(nèi)錯(cuò)角相等、A型相似等，讓他們能夠迅速的對(duì)圖形作出分析判斷。）

問題2：那么要判定△DNM∽△BMD，它們的邊或角還需要滿足什么條件？（要么兩夾邊成比例，要么再找一組對(duì)應(yīng)角相等。）

問題3：如果用兩夾邊成比例，那么列成的比例式就是[MNDM=DMBD]，這里的DM、BD均可以表示出來。因?yàn)镸N長度隨著M點(diǎn)的移動(dòng)而變化，難點(diǎn)是如何用M的坐標(biāo)表示出MN的長度呢？

問題4：根據(jù)MN∥BD，得到平行的三角形相似，從而算出MN長度。代入之前的比例式中，得到關(guān)于m的方程，你能求解出答案是多少嗎？

問題5：根據(jù)MN∥BD，在表示MN時(shí)，你們有沒有別的方法？（根據(jù)兩條直線平行，[k1=k2]，那么可以求出直線MN表達(dá)式：y=-x+m，聯(lián)立兩條直線的表達(dá)式得到N坐標(biāo)，然后再求出MN長度）

問題6：如果我們選擇的是方法二：再找另一組角相等，你會(huì)找哪一組角？（45°的角相等）

問題7：由這兩個(gè)45°角相等，結(jié)合圖形分析，你又有了什么新的發(fā)現(xiàn)？（兩個(gè)銳角相等，它們的正切值也相等，那么構(gòu)造相似的直角三角形，利用邊角倍數(shù)關(guān)系列出方程，求得答案。這種解題方法非常新穎，計(jì)算也很簡(jiǎn)便，由角相等聯(lián)系到三角形相似解題，真是從相似中來，回到相似中去。這種方法妙得很?。?/p>

問題8：由這兩個(gè)45°角相等，大家還有沒有其他的發(fā)現(xiàn)？（分析圖形，結(jié)合一對(duì)45°角和一個(gè)公共角，得到兩個(gè)新的三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊的比，可求出AM長度。）

目前為止，我們給出了四種解題方法，這道深圳中考?jí)狠S題讓我們玩出了新高度，簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的平行線，可以承載這么重的分量。讓我們欣喜的是，只要抓住平行的基本性質(zhì)，由平行想到角相等，由平行構(gòu)造的相似三角形等，就可以像今天這樣快速破題。

四、鞏固提升

變式1：利用平行構(gòu)造相似三角形求出邊長，再根據(jù)邊長和平移距離，表示B的坐標(biāo)。最后帶入反比例函數(shù)的表達(dá)式中求出m的值。

變式2：由平行線之間的距離處處相等進(jìn)行等積變換，將四邊形面積轉(zhuǎn)換為三角形AKB的面積。從而求出面積的最大值。

我們知道題是數(shù)學(xué)習(xí)題課堂的主要載體，從溫習(xí)題設(shè)計(jì)到新授題探究，再到鞏固題提升，本節(jié)課選題準(zhǔn)確、題量適中、難度恰當(dāng)、方法多樣。反思本節(jié)習(xí)題課，授課者從幾個(gè)方面進(jìn)行精心設(shè)計(jì)：解題思路;切入角度;同質(zhì)變式;異題變式。但數(shù)學(xué)解題的目標(biāo)絕不是為了解題，而是通過數(shù)學(xué)問題解決，獲得學(xué)生更長遠(yuǎn)的發(fā)展，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行拓展研究，達(dá)到舉一反三，融會(huì)貫通的目標(biāo)。因此，習(xí)題課不要搞題海戰(zhàn)，要設(shè)計(jì)出“問題串”的題系;習(xí)題課不要就題講題，要講習(xí)題的核心所在，講試題承載的思想方法。