周功揚
關(guān)鍵詞:變式教學(xué)? 多題歸一? 一質(zhì)多表? 一題多變? 一題多解
自顧冷沅教授開展變式教學(xué)實驗以來,變式教學(xué)已獲得了人們的普遍關(guān)注,“變式教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)特征,已成為我國數(shù)學(xué)教師的日常行為規(guī)范?!睆埖熘?變式就是通過變換研究對象的非本質(zhì)特征,變換觀察事物的角度或方法,來突出事物的本質(zhì)特征,幫助學(xué)生認(rèn)識、理解和把握這些本質(zhì)特征。變式教學(xué)能夠在不改變事物本質(zhì)的情況下,轉(zhuǎn)變問題的呈現(xiàn)方式,巧妙運用各類素材進(jìn)行變式訓(xùn)練,對概念、例(習(xí))題、解法、結(jié)論不斷地進(jìn)行拓展和深化,有利于啟迪學(xué)生思維,觸類旁通,提高教學(xué)效率。
通過設(shè)計不同現(xiàn)實情境下的變式問題,發(fā)現(xiàn)共同特征,突出概念的本質(zhì)屬性,從而引入概念或獲得結(jié)論。
案例1:冪函數(shù)概念引入
(1)購買每千克1元的商品a千克,需要支付P = ______
(2)正方形邊長為 a,它的面積S = ____
(3)立方體邊長為a,它的體積V = ____
(4)面積為 S的正方形場地的邊長a = _____
(5) t 時間內(nèi)車行1 km,車的平均速度v=_______
把各題的自變量和因變量分別換成x和y,得y=x,y=x2,y=x1/2,y=x3,y=x-1
讓學(xué)生尋找以上問題中的函數(shù)有什么共同特征?
都是函數(shù);均是以自變量為底的冪;指數(shù)為常數(shù);自變量前的系數(shù)為1;冪前的系數(shù)也為1。
上述問題中涉及的函數(shù),都是形如的函數(shù),進(jìn)而引出冪函數(shù)的概念。
通過變式題組多題辨析或多種表征,更加精準(zhǔn)把握概念的內(nèi)涵和外延,從而理解概念的本質(zhì)。
1.案例2: 函數(shù)概念的辨析
講授函數(shù)定義時,設(shè)計以下一組對應(yīng)關(guān)系f:A→B,讓學(xué)生辨別能否構(gòu)成函數(shù):
根據(jù)函數(shù)的定義,分析上述六種對應(yīng)關(guān)系中,“一對一、一對一且B有余、多對一、多對一且B有余”四種對應(yīng)可以構(gòu)成函數(shù),“A有余”不能滿足定義中的“任意性”,“一對多”不滿足定義中的“唯一性”,都不能構(gòu)成函數(shù)。對“一對多”“多對一”的對比講解也為后面學(xué)習(xí)反函數(shù)留下伏筆。
教材中還有諸多例子,如用函數(shù)的解析法、表格法、圖像法三種表示來辨析函數(shù)概念中的“某種對應(yīng)關(guān)系”;二次函數(shù)的三種表示:當(dāng)a≠0,一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;零點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2);頂點式y(tǒng)=a(x-m)2+n;直線方程有點斜式、兩點式、斜截式、截距式四種表達(dá)式。
通過對原問題的條件改變、結(jié)論改變、一般化、特殊化等作引申或鋪墊。對例(習(xí))題的變式訓(xùn)練,要重視探究問題的變化,在變化中更深刻理解概念的本質(zhì),在變化中獲得更多的方法和結(jié)論,在變化中培養(yǎng)更具靈活創(chuàng)新的思維。
1.案例3: (弦的中點軌跡問題)拋物線y2=4x的弦AB的斜率為1,求AB中點的軌跡方程
解:設(shè)弦的兩個端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x,y)。
由題意可得(1),(2)
由(2)-(1)可得(y2+y1)(y2-y1)=4(x2-x1),
又y2+y1=2y,k==1,
則2(在拋物線內(nèi)部,即x≥1)。
變式1(把拋物線改為橢圓)橢圓x2/2+y2=1的弦AB的斜率為1,求AB中點的軌跡方程。
解:設(shè)弦的兩個端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x,y)。
由題意可得(1),(2)
由(2)-(1)可得2(x2+x1)(x2-x1)+2(y2+y1)(y2-y1)=0,
又x2+x1=2x,y2+y1=2y,k==1,
則x+4y=0(在橢圓內(nèi)部,即)。
變式2(把斜率改為過定點)過定點P(2,3)作直線交拋物線y2=4x于A、B兩點,求AB中點的軌跡方程。
解:設(shè)弦的兩個端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x,y)。
由題意可得(1),(2)
由(2)-(1)可得(y2+y1)(y2-y1)=4(x2-x1),
又y2+y1=2y,k==,
則y2-3y=2x-4(在已知拋物線y2=4x內(nèi)部,即y〈2或y〉4)。
本例還可在橢圓、雙曲線、拋物線,斜率、定點、定弦長等之間作組合變式,延伸出各種不同的題。從解題中還可發(fā)現(xiàn)這類題都可以使用“點差法”(把弦的兩個端點坐標(biāo)帶入已知曲線方程再作差)求解。
2.案例4: 作正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的圖像
難點在于取哪五點來作圖。有學(xué)生作圖時取x=0,π/2,π,-π/2,2π,為此設(shè)計以下題:
(1)作函數(shù)y=sinx的圖像
(2)作函數(shù)y=sin2x的圖像
(3)作函數(shù)y=2sin2x+1
(4)作函數(shù)y=2sin(2x+π/4)+1
解決題(2)后,學(xué)生頓時明白y=sin2x與y=sinx “五點”作圖時x的取值是不同的,進(jìn)而更加深刻掌握“五點”是函數(shù)最大值點、最小值點和三個零點組成的。這樣就大大降低了y=2sin(2x+π/4)+1的作圖難度。
將同一個問題的不同解法作為變式,去聯(lián)結(jié)各種不同的知識點,從而提高學(xué)生對知識的整合能力,有利于形成完整系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò),舉一反三,觸類旁通。
案例5:關(guān)于x的二次方程 2(m+1)x2-4mx+
3(m-1)=0至少有一個正根,求m的值
在有實根的前提下,依題意,可以按正根個數(shù)來分類:(1)有兩個正根,(2)只有一個正根,(3)沒有正根。從正向求解,分別求解(1)(2)兩種情形,再取并集即可;從方向求解,只需求解情形(3),取其補集即可。
解法一:首先要滿足2(m+1)≠0且△=(-4m)2-4×2(m+1)×3(m-1)≥0,得-≤m≤且m≠-1 (1)。
(1)有兩個正根,則 解得m<-1或m>1(2)。
由式(1)(2)得解-≤m<-1或1
(2)只有一個正根,則x1x2=≤0,解得-1
由式(1)(3)得解m的取值 -1
綜合情形(1)(2),得-≤m≤且m≠-1。
解法二:首先要滿足2(m+1)≠0且△=(-4m)2-4×2(m+1)×3(m-1)≥0,得-≤m≤且m≠-1 (1)
再解“沒有正根”情形,即 解之得無解(2)。
由式(1)(2),得m的取值-≤m≤且m≠-1。
用同一具體解題方法解決不同知識點的問題。
案例6: 曲線系方程可用在下列題解中
(1)證明雙曲線x2/25-y2/9=1和x2/9-y2/25=1不相交;
(2)不論m為何值,曲線kmx2+my2+x+y-6m+4=0均過定點,求k的值;
(3)求圓2x2+2y2+4x-y-7=0與2x2+2y2-3=0的公共弦所在的直線方程;
(4)求經(jīng)過點(2,-3),且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點的橢圓方程。
兩曲線C1:f(x,y)=0和C2:g(x,y)=0的公共交點一定在方程為f(x,y)+λg(x,y)=0的曲線上,因此可設(shè)經(jīng)過曲線C1和C2交點的曲線系方程為f(x,y)+λg(x,y)=0,但曲線系中不包括C2。這種共交點的曲線系方程具有廣泛的應(yīng)用??捎盟鼇斫馍鲜鲞@組題。
(1)兩式相減,化簡得x2+y2=0,則x=y=0,而點(0,0)不在已知兩曲線上,故無交點。
(2)原方程可整理為
x+y+4+m(kx2+y2-6)=0
這是直線x+y+4=0與曲線kx2+y2-6=0的曲線系方程,那么也必定經(jīng)過該直線與曲線的所有交點。由方程組化得(k+1)x2+8x+10=0,△=-40k+24
當(dāng)△=0,即k=時,原曲線均過定點。
(3)兩個原方程相減,即得公共弦方程4x-y-4=0.
(4)該題運用結(jié)論:
與橢圓=1(半焦距為c)共焦點的橢圓系方程:=1(λ>c2)
解:因已知橢圓焦點在y軸上,則可設(shè)所求橢圓方程為=1
易求c2=5,又所求橢圓過點(2,-3),代入解得 =10或-2(舍去)
則所求橢圓方程為=1
說明:曲線系方程應(yīng)用有一定條件要求,應(yīng)用需謹(jǐn)慎,本文不展開。
還有本文例3“點差法”可以解決橢圓、雙曲線、拋物線的弦的中點軌跡問題;一元二次方程根的判別式可以解決一元二次方程求根、一元二次函數(shù)與x軸交點、一元二次不等式解集、二次三項式的因式分解以及直線與拋物線的交點等方面的問題;高等數(shù)學(xué)中“微元法”可以用來解決“分割化小,以直代曲”的問題等。
在變式教學(xué)中要帶領(lǐng)學(xué)生參與到問題認(rèn)知、探究、發(fā)現(xiàn)過程中,多方位、多層次認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征,對問題有更深層次的理解,開拓思維能力。通過變式教學(xué),能優(yōu)化課堂教學(xué)方式,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,提高課堂效率。
參考文獻(xiàn):
[1]張奠宙.中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)[M].上海:上海教育出版社,2006.
[2]溫麗紅.數(shù)學(xué)概念的變式教學(xué)方略[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2017(5).
(作者單位:杭州輕工技師學(xué)院)