葉伸章

【摘 要】幾何定理是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，定理探究是得出幾何定理的必要手段。定理探究的步驟如下：從圖形中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題;分析結(jié)構(gòu)關(guān)系和探究?jī)?nèi)容、根據(jù)探究需求，規(guī)劃探究方案，歸納結(jié)論，掌握數(shù)學(xué)思想方法;總結(jié)方法和步驟，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同一堂課經(jīng)過(guò)多遍的教學(xué)，但每次教學(xué)都能發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題，總感覺(jué)有那么多的“遺憾”。幾何定理在教學(xué)中的探究實(shí)踐研究，既迫切又重要，是幾何教學(xué)的一個(gè)重要過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】發(fā)現(xiàn);探究;幾何定理;出發(fā)點(diǎn);科學(xué)設(shè)計(jì);引導(dǎo)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”，初中幾何定理探究式教學(xué)設(shè)計(jì)一般要遵循下面五原則：課題性、過(guò)程性、自主性、開(kāi)放性和創(chuàng)造性。但在實(shí)際教學(xué)中往往存在諸多問(wèn)題：探究形式上搞花樣式探究，形式花樣但內(nèi)容空洞，探究效率得不到有效發(fā)揮;探究過(guò)程趕場(chǎng)式，重過(guò)程但效果差，學(xué)生深入探究的效程度不夠，得不到全面發(fā)掘;探究組織熱烈式，課堂上很是熱鬧，注重氛圍但課堂缺失探究深度，限制了學(xué)生的思維發(fā)展;探究?jī)?nèi)容偏離太遠(yuǎn)、探究指導(dǎo)不到位等。這些都會(huì)導(dǎo)致學(xué)生缺乏足夠的熱情，得不到有效發(fā)展。各種因素都會(huì)影響到課堂探究的有效性，所以，要想提高定理探究的有效性，在教學(xué)、過(guò)程設(shè)計(jì)與教學(xué)引導(dǎo)上都要研究深入。本文通過(guò)兩個(gè)探究教學(xué)課例探討幾何定理探究教學(xué)有效性策略及面臨的問(wèn)題。

案例一：“含30°角的直角三角形的性質(zhì)”

教材特點(diǎn)：本節(jié)課是八年級(jí)上“13.3.2等邊三角形——含30°角的直角三角形的性質(zhì)”，本節(jié)課主要是“含30°角的直角三角形”概念、性質(zhì)定理的證明和定理的應(yīng)用，所以本節(jié)課是一節(jié)幾何性質(zhì)定理探究課。

復(fù)習(xí)提問(wèn)：1.等邊三角形的性質(zhì)有哪些？2.如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形？

學(xué)生小學(xué)對(duì)等邊三角形有了初步認(rèn)知，能輕松說(shuō)出性質(zhì)，但判定“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”這條知識(shí)是學(xué)生不大掌握的，但這條卻是本節(jié)課用得最多的判定定理，所以在學(xué)這個(gè)判定定理時(shí)，需要透徹探究，才能理解掌握。

第一次活動(dòng)：

第二次活動(dòng)：

教學(xué)預(yù)設(shè)：從學(xué)生感興趣的折紙入手，拿一個(gè)等邊三角形，思考如何折疊？折痕是什么？折疊后成什么圖形？圖形有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：折痕（底邊上的高、頂角平分線、底邊上的中線）所在的直線;“三線合一”。

得到一個(gè)含30°角的直角三角形。

教師：在Rt△ABC中∠A=30°，猜想∠A所對(duì)的直角邊BC和斜邊AB的大小關(guān)系。

學(xué)生：因?yàn)镽t△ABC是從等邊三角形ABD折疊得到的，△ABC和△ACD重合且全等，所以得到BC是BD的一半，從而猜想BC也是AB的一半。

學(xué)生在拼接三角形或折疊等邊三角形的過(guò)程中，自然地由特殊30°角的直角三角形引導(dǎo)到邊的關(guān)系;學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，使得對(duì)于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解更加直觀。

證明猜想：（本節(jié)課的重難點(diǎn)，也是重要的教學(xué)探究過(guò)程）

得到結(jié)論：含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

這個(gè)定理的探究過(guò)程方法較多，需要用到之前學(xué)過(guò)的定理也很多，所以孩子在做探究的前提是要掌握定理。絕大部分孩子都能夠掌握第一、二種的輔助線添加法，三、四種比較困難，涉及到輔助線添加方法（通常有倍長(zhǎng)法、截取法、作高、角平分線等方法），構(gòu)造等邊三角形或者全等三角形進(jìn)行證明。幾何定理跟幾何圖形是緊密聯(lián)系的，添輔助線的方法通常是憑借經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，緊抓題意（比如：角平分、高、取長(zhǎng)補(bǔ)短等），將基本圖形補(bǔ)充完整的方法，因此“添加輔助線”也可以稱(chēng)為“補(bǔ)圖”，根據(jù)題目的條件和圖形的特點(diǎn)，結(jié)合要證明的結(jié)果，都有一定得引導(dǎo)思路，防止亂添線。

案例二：探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系（“大邊對(duì)大角”“大角對(duì)大邊”）

通過(guò)觀察圖形，猜想性質(zhì)。在△ABC中，邊AC對(duì)∠B，邊AB對(duì)∠C，同學(xué)們通過(guò)肉眼觀察可得到∠C大于∠B，故猜想大邊對(duì)大角。

驗(yàn)證猜想：我們通過(guò)折紙和添加輔助線驗(yàn)證了猜想是否正確，并能否用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)證明你的猜想？

探究：“大邊對(duì)大角”，將邊、角大小進(jìn)行比較，通過(guò)折疊轉(zhuǎn)移的方法。

（1）沿角平分線折疊：作∠BAC的角平分線AD，將△ADC沿AD翻折（或?qū)ⅰ鰽DB沿AD翻折）（圖5、6）;（2）沿高翻折：作BC邊的高AD，將△ADC沿AD翻折（或?qū)ⅰ鰽DB沿AD翻折）（圖7）。

探究：“大角對(duì)大邊”，讓學(xué)生模仿“大邊對(duì)大角”的探究方法，說(shuō)明：“在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對(duì)的邊也不等，大角對(duì)大邊”（圖8）。

從對(duì)“大邊對(duì)大角”“大角對(duì)大邊”的探索過(guò)程中，你有何收獲？（1）折紙對(duì)我們添加輔助線的啟發(fā);（2）利用等腰三角形和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)（截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等，將角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化為“一個(gè)角為另一個(gè)角所在三角形的外角”。將邊進(jìn)行轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化為“兩邊之和大于第三邊”。

對(duì)兩次課堂的實(shí)際探究教學(xué)效果比較，可以肯定幾何定理的探究必須以學(xué)生為教學(xué)的主要對(duì)象，努力激發(fā)學(xué)生探索的欲望，使其積極參與整個(gè)探究過(guò)程，并能從發(fā)現(xiàn)中總結(jié)規(guī)律，發(fā)表探究意見(jiàn)。要取得這樣的較好的效果，重點(diǎn)在于學(xué)生有效地感知知識(shí)的生成過(guò)程。

幾何定理探究教學(xué)的有效性，在實(shí)施教學(xué)中要注意以下幾個(gè)方面：

1.找準(zhǔn)探究的出發(fā)點(diǎn)，符合學(xué)生探究的認(rèn)知水平，是有效探究的前提

學(xué)生所面臨的學(xué)習(xí)環(huán)境和新的學(xué)習(xí)任務(wù)不是在零碎的空間里開(kāi)始的，而是從他們現(xiàn)在的特定行動(dòng)傾向和獨(dú)特的經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始。這明確地揭示了學(xué)生現(xiàn)在的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、興趣等基礎(chǔ)是探索的起點(diǎn)。正確理解學(xué)生的認(rèn)知水平要求，并滿足他們的要求才是有效授課的前提。以現(xiàn)有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)、信息為基礎(chǔ)，通過(guò)簡(jiǎn)單的思考整理得出自己的解釋和結(jié)論。

2.掌握要點(diǎn)，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)是有效探究幾何定理的要求

一節(jié)課也就是45分鐘，涉及講評(píng)、復(fù)習(xí)、新課、練習(xí)、布置作業(yè)、總結(jié)等多個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，要想在有限的時(shí)間里取得最大的教學(xué)效益，就必須對(duì)教學(xué)進(jìn)行科學(xué)、合理的設(shè)計(jì)。從復(fù)習(xí)引入，到活動(dòng)方案，再到定理探究和證明，每一個(gè)步驟都要設(shè)計(jì)好，把握探究的難點(diǎn)，理清教學(xué)程序，避免無(wú)效的教學(xué)環(huán)節(jié)。對(duì)于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有時(shí)需要設(shè)置兩三個(gè)教學(xué)活動(dòng)，一個(gè)教學(xué)活動(dòng)，有時(shí)也需要設(shè)計(jì)兩三個(gè)探究。因此，找到探索的關(guān)鍵，簡(jiǎn)化和避免無(wú)效環(huán)節(jié)是一個(gè)重要的策略。

3.有效的引導(dǎo)方法是學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)

教師的指導(dǎo)行為在學(xué)生的探究中起關(guān)鍵作用，教師是學(xué)生研究的支持者。不僅要對(duì)課程進(jìn)行科學(xué)合理的預(yù)測(cè)，而且要有效地規(guī)范和指導(dǎo)正在進(jìn)行的探究。此外，學(xué)生也必須事先準(zhǔn)備好課堂所需的材料。學(xué)生的思維各有差異，好的學(xué)生很快就可以進(jìn)入分析和解答，但很大一部分學(xué)生是沒(méi)辦法的，特別是對(duì)于缺乏學(xué)習(xí)興趣或基礎(chǔ)較薄弱的，這時(shí)就需要教師用更加精確的語(yǔ)言營(yíng)造課堂氛圍，用更加合理的點(diǎn)播方式啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，語(yǔ)言是教師指導(dǎo)思想的主要載體，語(yǔ)言的精確性直接影響到教師的指導(dǎo)力量。課堂中，要注意適當(dāng)?shù)刂赋鰧W(xué)生的不足之處，也要及時(shí)肯定學(xué)生的閃光點(diǎn)。

筆者在近幾年的幾何定理探究教學(xué)過(guò)程中，取得了很多成效，所任教的兩個(gè)班級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，在圖形建模、問(wèn)題情境、邏輯能力、創(chuàng)新思維等方面都有很大提升。在初中數(shù)學(xué)幾何定理教學(xué)中實(shí)施探究教學(xué)符合現(xiàn)在的學(xué)情，也是有效提升課堂教學(xué)效率的重要途徑。在新課標(biāo)的大環(huán)境下，讓我們做一個(gè)課堂探究引路者，讓我們的學(xué)子走得更好更遠(yuǎn)，也讓幾何課堂變得高效、合理。

【參考文獻(xiàn)】

[1]余美霞.“初中數(shù)學(xué)幾何概念和定理教學(xué)探討”[J].快樂(lè)閱讀，2015（10）