劉國君

【摘 要】數(shù)學(xué)是高中階段的一門基礎(chǔ)學(xué)科，也是極其重要的一門學(xué)科，而三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是學(xué)生理解困難的知識(shí)之一。如何構(gòu)建高效的高中數(shù)學(xué)課堂，降低課堂教學(xué)難度，是數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)思考的問題。數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想，在三角函數(shù)教學(xué)和問題解答中有效利用數(shù)形結(jié)合，能夠幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)，可提高學(xué)生的解題能力。本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)，分析數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的實(shí)踐和思考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);數(shù)形結(jié)合;實(shí)踐思考

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想方法，數(shù)與形是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的基本概念。高中數(shù)學(xué)問題解答的過程中，常利用圖形表示數(shù)學(xué)內(nèi)容，思考數(shù)學(xué)問題。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，知識(shí)內(nèi)容非常抽象，學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解存在一定的困難，教師需合理利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生深入學(xué)習(xí)和理解三角函數(shù)知識(shí)，解決三角函數(shù)問題。教師可借助數(shù)形結(jié)合將三角函數(shù)直觀展示，從不同角度解決三角函數(shù)問題，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

一、三角函數(shù)定義教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)中，教師可合理利用數(shù)形結(jié)合方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，提高學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力。可在實(shí)際教學(xué)中結(jié)合三角函數(shù)實(shí)際問題，在求解的過程中對(duì)取點(diǎn)法和單位圓兩種解題方式進(jìn)行對(duì)比，單位圓方式更加的簡(jiǎn)單、方便，且解題效率更高。

解析：通過對(duì)問題已知條件進(jìn)行分析，可以使用取點(diǎn)法、單位圓的方式完成解答。在解答過程中，應(yīng)用取點(diǎn)法：將角放入相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中，并在角的邊上任意取一點(diǎn)p，向x軸作垂線，構(gòu)建相應(yīng)的直角三角形，結(jié)合p的坐標(biāo)計(jì)算出三角形各個(gè)邊的邊長，結(jié)合三角函數(shù)的定義，求解出角的正弦值、余弦值和正切值。單位圓法：將角放入到直角坐標(biāo)系中，并畫出一個(gè)單位圓，角和單位圓相交于點(diǎn)p，從p點(diǎn)向x軸引出垂線，結(jié)合三角函數(shù)在單位圓的特殊性質(zhì)，可以更加輕松地解決角的正弦值、余弦值和正切值。在此種類型三角函數(shù)問題的解答中，采取上述兩種方式需要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，畫出直角坐標(biāo)系和單位圓，通過觀察和分析，做出相應(yīng)的計(jì)算。相比較而言，單位圓法更的簡(jiǎn)單，利用p點(diǎn)坐標(biāo)可以求解答案。

二、三角函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多數(shù)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)已經(jīng)有所了解，但在實(shí)際問題解答中，依然不夠靈活，導(dǎo)致問題解決不夠順利，導(dǎo)致問題解答出現(xiàn)錯(cuò)誤。在三角函數(shù)問題解答中，三角函數(shù)性質(zhì)是重要的切入點(diǎn)，想要靈活合理利用三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)有效利用數(shù)形結(jié)合方法，將數(shù)形結(jié)合方法滲透到三角函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)與形的關(guān)系，降低數(shù)學(xué)問題難度，保證三角函數(shù)問題的有效解答。三角函數(shù)在不等式、方程等問題中，可將問題轉(zhuǎn)化成圖形，有效解決數(shù)學(xué)問題。

分析：在解答過程中，僅從已知條件入手難以有效解答，如果有效利用三角函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)的圖形，結(jié)合圖形觀察，可以有效解答數(shù)學(xué)問題。在解題中，首先需要根據(jù)題目內(nèi)容構(gòu)建關(guān)于x的函數(shù)，創(chuàng)設(shè)平面直角坐標(biāo)系，畫出函數(shù)cosx的圖象，解題題意以及三角函數(shù)性質(zhì)，得出滿足 的角的集合。在此種類型問題解答中，將問題轉(zhuǎn)化為求解角的問題，需要合理利用數(shù)形結(jié)合方法，將余弦圖象和代數(shù)運(yùn)算有效結(jié)合。在解答此種類型的問題時(shí)，需要深入理解和掌握三角函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，將函數(shù)圖像形象展示，有效降低三角函數(shù)題目的難度，不斷擴(kuò)展學(xué)生的思維。

三、同角三角函數(shù)關(guān)系教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法

三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)容教學(xué)中，同角三角函數(shù)關(guān)系是重要內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，借助數(shù)形結(jié)合思想，從數(shù)與形的角度對(duì)同角三角函數(shù)關(guān)系深入理解和掌握。在同角三角函數(shù)關(guān)系中，主要有平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，可以借助數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行推導(dǎo)。在實(shí)際解題過程中，不少學(xué)生難以靈活利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，對(duì)同角三角關(guān)系難以真正掌握，出現(xiàn)各種類型的問題，導(dǎo)致學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣和信心。

解析：面對(duì)這樣的習(xí)題，大多數(shù)學(xué)生會(huì)根據(jù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系的兩個(gè)關(guān)系式，構(gòu)建相應(yīng)的方程組，通過方程組的構(gòu)建，代入其中運(yùn)算，求解出α的正弦值和余弦值。此種計(jì)算方式的計(jì)算量比較復(fù)雜，常常出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的情況。因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知內(nèi)容，在直角坐標(biāo)系中構(gòu)建相應(yīng)的點(diǎn)，構(gòu)建相應(yīng)的直角三角形，結(jié)合題目已知和圖形，求解出α的正弦值和余弦值。因此，在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)同角三角函數(shù)關(guān)系問題的解答中，可結(jié)合已知條件，繪制相應(yīng)的三角函數(shù)圖像，根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)定義，在腦海中形成直觀的結(jié)果，避免復(fù)雜繁重的計(jì)算，提高學(xué)生的解題效率，避免問題解答錯(cuò)誤。

四、三角函數(shù)與其他函數(shù)交點(diǎn)求解中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，三角函數(shù)是重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)問題中，三角函數(shù)和其他函數(shù)結(jié)合是重要題型，此類型的題目對(duì)學(xué)生分析能力和邏輯能力有較高的要求，通過相應(yīng)的分析將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成圖像完成解題。因此，在高中三角函數(shù)問題的解答中，應(yīng)有效利用數(shù)形結(jié)合方法，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，提高課堂教學(xué)有效性。

五、三角函數(shù)大小比較中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)容，有一些角屬于特殊角，可以對(duì)其數(shù)值進(jìn)行記憶。對(duì)于一些任意角則難以掌握其值的大小，面對(duì)三角函數(shù)值的大小比較問題時(shí)，往往難以做出正確的判斷，因此，在對(duì)這些問題進(jìn)行解答時(shí)，需要靈活利用數(shù)形結(jié)合方法，有效判斷三角函數(shù)值的大小。

解析：面對(duì)這樣的例題，可以采取多種解題方式，不少學(xué)生通常將cos15°進(jìn)行轉(zhuǎn)化，cos15°=cos（90°-75°）=sin75°，假設(shè)y=sinx，x∈[0，90°]時(shí)，函數(shù)y是增函數(shù)，所以sin15°比cos15°小。此種方式通常對(duì)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角度進(jìn)行大小比較，做出準(zhǔn)確的判斷。同時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方法，構(gòu)建相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，在象限中找出相應(yīng)的角，對(duì)其進(jìn)行觀察和分析，做出相應(yīng)的判斷。因此，在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)大小比較的問題中，應(yīng)靈活利用數(shù)形結(jié)合方法，繪制函數(shù)圖像，完成題目解答。

六、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)容，涉及比較多的圖像、數(shù)量和數(shù)形結(jié)合的問題，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方式，可以很好地解決三角函數(shù)問題。但由于多方面因素的影響，學(xué)生不能靈活利用數(shù)形結(jié)合方法，難以有效解題。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想，在課堂教學(xué)中對(duì)其有效利用，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，降低數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)問題的難度，提高學(xué)生解題效率，提高課堂教學(xué)有效性。

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