常秦

摘要：“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是高校許多專業(yè)重要的數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課。本著“以學(xué)生的學(xué)習(xí)成果為中心評價教育”的原則，本文分析了課程的目標(biāo)教學(xué)效果，提出除了由知識點掌握情況代表的基本教學(xué)效果外，還應(yīng)實現(xiàn)包括提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、對學(xué)科體系有大致了解、提高解決實際問題的能力、深入理解重要思想等更高層次的教學(xué)效果。結(jié)合對教學(xué)現(xiàn)狀的分析，本文提出以精細(xì)化的教學(xué)設(shè)計全面提升教學(xué)效果，并歸納出四種易于應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計模式。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計;教學(xué)效果;教學(xué)設(shè)計;數(shù)學(xué)素養(yǎng);案例教學(xué)

中圖分類號：G642.0? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1002-4107（2019）05-0019-04

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科，在眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是高等院校許多專業(yè)都開設(shè)的數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課。它以另外兩門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”為先導(dǎo)，是大學(xué)本科生接觸到的第一門探討和研究隨機現(xiàn)象的學(xué)科，具有與實際問題聯(lián)系極其密切、應(yīng)用廣泛的特點，并且蘊含許多與確定性數(shù)學(xué)研究所不同的思想和解決問題的方法。數(shù)學(xué)家拉普拉斯說過：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題。”[1]統(tǒng)計學(xué)家C. R. Rao說：“在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué);在理性的世界里，所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué)?！憋@然，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”能夠使學(xué)生收獲的，要遠(yuǎn)多于課本上的公式、定理和知識點，也不僅僅關(guān)系到后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，甚至能夠影響到學(xué)生的一生。2018年6月，陳寶生部長在新時代全國高等學(xué)校本科教育工作會上的講話中強調(diào)，“把‘培養(yǎng)人作為根本任務(wù)”，“以學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果為中心評價教育，以學(xué)生學(xué)到了什么、學(xué)會了什么評判教育的成效”。那么，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”能夠和應(yīng)當(dāng)使大學(xué)生學(xué)會什么，收獲什么，達到什么樣的教學(xué)效果？如何實現(xiàn)？這正是本文要探討的。

一、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”能夠?qū)崿F(xiàn)的教學(xué)效果

最基本也是最為師生重視的教學(xué)效果，是對知識點的掌握，是通過課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法等重要知識點，并初步掌握運用概率統(tǒng)計方法分析和解決問題的能力。這類教學(xué)效果是相對容易通過考試、作業(yè)等方式評價的。然而，雖然我們稱之為“基本的教學(xué)效果”，它卻并不能夠輕松達成。一方面，總有學(xué)生由于不夠用功、不夠重視或?qū)W習(xí)不得法等原因，在課程結(jié)束時不能夠達到理想的學(xué)習(xí)成效;另一方面，即使當(dāng)時達到了，結(jié)課一段時間之后，由于印象不深容易遺忘，學(xué)生又把所學(xué)知識“還給”教師的現(xiàn)象也普遍存在。

除了上面所述的基本教學(xué)效果，我們總結(jié)了以下幾條可期望的成效，它們在教學(xué)過程中容易被忽略，不易評價，又恰恰能夠真正對學(xué)生的成長起到長期的影響作用，本文稱之為“更高層次的教學(xué)效果”。

（一） 提升包括符號表示、抽象思維、邏輯推斷等在內(nèi)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在教學(xué)過程中，教師為了讓學(xué)生容易理解晦澀的公式和定理，往往先用較形象化的方式進行講解，或用案例教學(xué)的方式幫助學(xué)生理解。這都能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)過程起到很好的促進作用。但需要強調(diào)的是，在形象化的解釋之后，仍然應(yīng)當(dāng)回到符號中來，引導(dǎo)學(xué)生明白其中符號表示的目的和作用。能夠讀懂公式和較熟練地進行符號表示是大學(xué)生可以從數(shù)學(xué)類課程中獲取的一種非常重要的能力，尤其對于將攻讀研究生和從事科研工作的學(xué)生，這一能力甚至影響到其科研工作所能達到的高度。類似的，抽象思維、邏輯推斷等等這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都可以并且應(yīng)當(dāng)在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”等數(shù)學(xué)類課程中得到鍛煉和提升[2]。

（二）對“概率論”“數(shù)理統(tǒng)計”學(xué)科發(fā)展的過程有系統(tǒng)性的大致了解

學(xué)習(xí)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的同時，也應(yīng)當(dāng)是了解這一學(xué)科發(fā)展歷程的過程，同時也是見證學(xué)科發(fā)展史上一個個難題如何被解決的過程。這實際上是要求學(xué)生除了掌握課程基本內(nèi)容之外，還要對這些內(nèi)容存在的必要性，對這些內(nèi)容之間的聯(lián)系有所了解，對它們在整個學(xué)科發(fā)展中的地位和作用有一個宏觀的認(rèn)識。一旦達到了這一成效，好處是顯而易見的，一方面，這些被“線”貫穿起來的知識，更容易被深入的理解，而且不容易忘記;另一方面，學(xué)生了解了這些概念、定理產(chǎn)生的背景，體會到它們能夠發(fā)揮的作用，才能夠理解它們的產(chǎn)生背后蘊含的解決問題的方法。例如，“隨機變量”這個概念，僅僅是教學(xué)中的“魚”，而“通過定義隨機變量這樣一種工具，把具體的隨機試驗都轉(zhuǎn)移到實數(shù)軸上，使其可以用高等數(shù)學(xué)的方法來研究”這樣一種通過抽象化和數(shù)量化解決問題的思路才是“漁”，顯然后者對于學(xué)生來說是更加寶貴的財富。

（三）進一步提高靈活運用理論，解決實際問題的能力

概率統(tǒng)計具有和實際問題聯(lián)系極其緊密的特點，由于應(yīng)用極廣，還產(chǎn)生了大量交叉學(xué)科，包括“地質(zhì)統(tǒng)計”“生物統(tǒng)計”“醫(yī)藥統(tǒng)計”“經(jīng)濟統(tǒng)計”“大數(shù)據(jù)分析”等等。因此，有大量的應(yīng)用課程知識解決實際問題的案例，可以引入課程教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過借鑒和練習(xí)，提高解決實際問題的能力。特別要說明的一點是，在真正解決實際問題的時候，“靈活”二字非常重要?，F(xiàn)實中的問題往往非常復(fù)雜，如何將復(fù)雜問題拆分為多個簡單問題，如何針對具體實際問題做出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)以及簡化假設(shè)從而使理論可行，這種“靈活運用所學(xué)知識”的能力，也可以通過“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中的案例教學(xué)得到提高。

（四）理解“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中獨特的思想方法和原理，理解生活中的隨機現(xiàn)象，建立科學(xué)的世界觀

作為大學(xué)生接觸到的第一門探討和研究隨機現(xiàn)象的學(xué)科，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中包含了一些與確定性數(shù)學(xué)所不同的、獨特的思想和解決問題的方法，例如統(tǒng)計推斷的思想，貝葉斯方法和后驗的思想，極大似然估計的思想，實際推斷原理等等。深入的理解這些思想和方法，能夠幫助學(xué)生更好的理解充滿隨機現(xiàn)象的自然、社會，以及生活，建立科學(xué)的世界觀。正如嚴(yán)加安院士的詩《隨機與概率》中所說，“隨機事件發(fā)生并非隨意，概率破解其中奧秘玄機。境況復(fù)現(xiàn)催生稀有事件，歷史長河沉淀自然奇跡”，“日常生活常遇概率問題，學(xué)點概率知識終身受益”。

二、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)現(xiàn)狀

（一）學(xué)生和專業(yè)重視程度不夠

與另兩門重要的數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”比較起來，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”顯得不那么“基礎(chǔ)”，重要性易被忽視，而且由于開課時間晚（往往在大學(xué)第三學(xué)期或第四學(xué)期開設(shè)），學(xué)生已經(jīng)開始學(xué)習(xí)一些較重要的專業(yè)課，所以部分學(xué)生不愿意多花精力在本課程中。另外，以本校各專業(yè)培養(yǎng)方案為例，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程普遍存在學(xué)時少、學(xué)分少、選修課多、必修課少的問題，這就體現(xiàn)了專業(yè)的不夠重視，也進一步減弱了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。由此造成教師課內(nèi)教學(xué)任務(wù)繁重，學(xué)生投入精力不足等問題。

（二） 需要一些高等數(shù)學(xué)的知識為先導(dǎo)，部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生信心不足

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中需要用到一些高等數(shù)學(xué)的知識，例如在連續(xù)型隨機變量的部分，就要用到一些微積分的知識。一些學(xué)生覺得自己“高等數(shù)學(xué)”沒有學(xué)好，也就喪失了學(xué)好“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的信心。事實上，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中涉及的數(shù)學(xué)知識僅限于微積分和線性代數(shù)中的基礎(chǔ)部分，學(xué)習(xí)本課程的過程，恰恰可以幫助學(xué)生查漏補缺的鞏固微積分等重要知識，更深刻地體會到高等數(shù)學(xué)的知識是如何應(yīng)用于解決實際問題的。

（三）一些思想原理較難理解

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門研究隨機現(xiàn)象的學(xué)科，課程中包含的一些與確定性數(shù)學(xué)所不同的、獨特的思想和解決問題的方法，對于剛開始接觸的學(xué)生，不容易理解。學(xué)生一旦形成這門課很難的印象，學(xué)習(xí)的后勁就不足了。例如，課程中提到這樣一個事實，“不可能事件的概率是零，概率是零的事件不一定不發(fā)生”，這對于剛接觸隨機和概率的學(xué)生的確是很難理解的。這就需要教師有針對性的，把這樣的難點講透。再比如，后驗概率的概念，極大似然估計的思想，實際推斷原理等等，都是學(xué)生容易產(chǎn)生疑問的地方。

三、以精細(xì)化的教學(xué)設(shè)計多方位提升教學(xué)效果

基于以上對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)的目標(biāo)效果和現(xiàn)狀的分析，筆者提出以精細(xì)化的教學(xué)設(shè)計提升教學(xué)效果。這里說的“精細(xì)化”設(shè)計，既包括每堂課的知識內(nèi)容本身，也包括各部分的講解方法、課堂安排等等。首先，由于課時有限，并且學(xué)生在課堂上集中精力的時間也有限，內(nèi)容安排“干貨”不可過多，必須有所取舍，重點突出。其次，“干貨”如何講出來，也需要精心設(shè)計。 以下列出幾種便于應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計模式，期望以精細(xì)化的教學(xué)設(shè)計全面提升教學(xué)效果。

（一） 以“形象——抽象——形象”的模式，加強對符號表示和抽象思維的訓(xùn)練

對于公式、定理等一些較抽象的內(nèi)容，可以通過實際應(yīng)用案例、產(chǎn)生背景等引入。在形象化的講解之后，強調(diào)其中符號表示的目的和作用，使學(xué)生知其然，且知其所以然，這是“形象——抽象”的過程，也是學(xué)生讀懂公式的過程。更進一步，引導(dǎo)學(xué)生掌握將“抽象”的符號用于表示“形象”的能力，這是“抽象——形象”的過程。

以本校教材[3]為例，一個典型的例子是表示離散型隨機樣本的聯(lián)合分布時，雙重下標(biāo)的應(yīng)用：“若是離散型隨機變量，其概率分布為，則的聯(lián)合概率分布為.” 很多學(xué)生可能一看到雙重下標(biāo)就犯了難?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生思考，“這里為什么要用雙重下標(biāo)”，“可不可以直接用表示聯(lián)合分布”，“可不可以用”？ 一旦清楚，這兩種形式的不適合，在于第一種形式中的等容易和中的混淆，而第二種形式中的不如更能清楚的表示出（變量）下標(biāo)的個數(shù)，學(xué)生就完全理解了這里使用雙重下標(biāo)的好處和意義，同時本身也學(xué)會了這種表示方法。

（二）? 以“案例——方法——推廣”的模式，提高學(xué)生靈活運用所學(xué)，分析問題、解決問題的能力

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”極其貼近現(xiàn)實生活，應(yīng)用的例子較容易尋找，容易引導(dǎo)學(xué)生從生動的案例出發(fā)，學(xué)習(xí)重要的思想方法。從案例出發(fā)的教學(xué)模式，可以在第一時間引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而后提煉、推廣的過程對學(xué)生解決實際問題能力的提高有很大的促進作用[4-5]。

例如要講解點估計中的矩估計思想，可以從這樣一個案例“德軍有多少輛坦克”[6]開始。首先給出問題：“假設(shè)德軍制造的坦克從‘1開始進行了連續(xù)編號，能否從盟軍繳獲的坦克編號推斷出德軍制造的坦克總數(shù)？”，引導(dǎo)學(xué)生給出幾種不同的估計，從而認(rèn)識到“估計并不是唯一的，也無法保證一定正確”這一統(tǒng)計推斷與非隨機數(shù)學(xué)不同的理念。由其中的一種估計方法，即“認(rèn)為繳獲編號的均值也是全部編號的均值，也就是用樣本均值乘以2作為總數(shù)的估計”，歸納出矩估計的方法（用樣本矩估計對應(yīng)的總體矩），進而將矩估計方法推廣到其他的估計問題。可以采用類似模式進行設(shè)計的內(nèi)容，還包括古典概型、全概率公式（將復(fù)雜事件拆分為多個互不相容的積事件的和）等等。

（三）以“問題——工具（概念）——作用”模式，加深對概念的理解和強化知識的系統(tǒng)性

這種模式特別適用于對概念的講解，且可以在教學(xué)過程中融入學(xué)科發(fā)展的歷史[7]及數(shù)學(xué)文化[8]。數(shù)學(xué)是一門形式科學(xué)，其中的概念的提出是有目的的，是起到特定作用的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計也具有這樣的特點，了解其中概念的作用對概念的理解至關(guān)重要。由此本文提出這種教學(xué)模式：由問題導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生思考解決問題的方法，從而引出能夠解決問題的“工具”，總結(jié)體會這種工具（概念）的作用。適用這種教學(xué)設(shè)計模式的內(nèi)容，包括概率的公理化定義、隨機變量、期望、方差、t分布等等。

以前面提到過的“隨機變量”這個概念為例。在學(xué)習(xí)了基本的事件和概率的概念之后，向?qū)W生拋出問題“怎么能更進一步，更好地開展對隨機性的研究？” 引導(dǎo)學(xué)生思考，得到把一些相似的具體隨機試驗歸納起來的抽象化數(shù)量化的解決問題的思路，從而引入“隨機變量”這一概念。認(rèn)識到通過定義隨機變量這樣一種工具，能夠 “把具體的隨機試驗都轉(zhuǎn)移到實數(shù)軸上，使其可以用高等數(shù)學(xué)的方法來研究”，學(xué)生將對隨機變量有更深刻的理解，更學(xué)習(xí)到了這種“引入工具”解決問題的方法。

（四）用“問題——討論——歸納”的模式，突出重要的思想方法

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中，有一些思想非常獨特也較難理解，是需要通過教學(xué)設(shè)計重點強調(diào)的。對這些獨特思想的理解，是課程教學(xué)的一個重要目標(biāo)。例如，前文提到過的“概率是零的事件不一定不發(fā)生”。要講好這個課程中較難理解的內(nèi)容，一個好的引入方式可能就成功了一半。為了使沒有測度論基礎(chǔ)的非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生更好的理解，可以在學(xué)習(xí)幾何概型部分時引入問題，“完全隨機的向一個確定區(qū)域投點，落在某一個點的概率是多少”。引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，通過“區(qū)域內(nèi)有無窮點”和“落在每個點的可能性相等”這樣的推斷，結(jié)合概率的性質(zhì)推算出“落在任意一點的概率為零”。進而，由學(xué)生自己歸納出“概率是零的事件也可能發(fā)生”這個結(jié)論。在后續(xù)的課程內(nèi)容當(dāng)中，還會碰到關(guān)于這個結(jié)論的其他反例，包括“連續(xù)型隨機變量取到每一個點的概率為零”“存在概率為零但概率密度非零的點”等等，可以再次引導(dǎo)學(xué)生思考和理解。

再比如，另一個重要的結(jié)論“即使是概率很小的事件，在大量重復(fù)試驗中也幾乎一定發(fā)生”。這一結(jié)論可以通過設(shè)計相關(guān)例題引入，例如“某人獨立重復(fù)射擊400次，每次命中概率為0.01，求擊中次數(shù)大于等于1的概率”。通過計算，這個概率高達0.982，由此學(xué)生就能夠歸納出這一結(jié)論。關(guān)于這一結(jié)論還有一個有趣的思想實驗“無限猴子定理”，內(nèi)容是“無限只猴子在打字機前敲擊無限時間可以打出莎士比亞的全部著作”，也可以用來活躍課堂和加深印象。另一方面，與之相關(guān)的另一個重要思想是，“如果只有一次試驗，那么小概率事件被傾向于認(rèn)為不發(fā)生”，這就是實際推斷原理了，是假設(shè)檢驗的依據(jù);它的逆否命題——事件已經(jīng)發(fā)生了就認(rèn)為其概率應(yīng)該比較大，正是極大似然估計的原理。從實際推斷原理和極大似然估計原理中，學(xué)生可以體會到，由于隨機性的存在，無法保證推斷一定正確，但可以使推斷正確的可能性盡量大，這正是統(tǒng)計推斷的重要思想。

除了一些有關(guān)隨機性的獨特思想，還有一些在數(shù)學(xué)乃至各門科學(xué)中可以廣泛應(yīng)用的重要思想方法，也包含在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中，包括全概率公式中蘊含的“化整為零”的思想，計算事件的概率時通過逆事件進行計算的“逆向”思維方式，假設(shè)檢驗中的“反證法”思想等等。這些都可以通過“問題——討論——歸納”的模式融入課程教學(xué)中。

本文將“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的目標(biāo)教學(xué)效果分為基本教學(xué)效果（知識掌握）和更高層次的教學(xué)效果兩大類，其中后一類是真正能夠?qū)W(xué)生的成長產(chǎn)生重要的長期影響的，包括提升符號表示能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)、對學(xué)科體系有大致了解、提高靈活解決實際問題的能力、理解學(xué)科中的重要思想和生活中的隨機事件，建立科學(xué)的世界觀等等。針對這些目標(biāo)教學(xué)效果以及對教學(xué)現(xiàn)狀的分析，本文提出了四種便于在教學(xué)設(shè)計中應(yīng)用的模式，其中“形象—抽象—形象”的模式能夠有效加強對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，“案例—方法—推廣”的模式有利于提高學(xué)生解決實際問題的能力，也增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣?！皢栴}—工具（概念）—作用”模式適用于講解概念，在講授中融入學(xué)科發(fā)展的歷史，加深學(xué)生的印象，幫助深入理解內(nèi)容?！皢栴}—討論—歸納”的模式，幫助學(xué)生深入理解學(xué)科中重要的思想和方法，理解自然、生活、人生中的隨機性，建立科學(xué)的世界觀。

本文在“教學(xué)現(xiàn)狀”部分提到學(xué)生不夠重視、不愿投入精力的問題。要改善這一現(xiàn)狀，對教師提出了更高的要求，除了要精細(xì)化合理安排課堂內(nèi)容，讓學(xué)生愛上課堂，也要求教師一方面對該專業(yè)學(xué)生的后續(xù)專業(yè)課程有一定了解，從而能夠進行更貼近學(xué)生專業(yè)需要的教學(xué)設(shè)計，使其認(rèn)識到“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的重要性，進一步引起學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性;另一方面，加強課下和學(xué)生的交流，了解學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的想法和需求，鼓勵和關(guān)注學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，實時調(diào)整教學(xué)計劃和安排。可以想見，憑借教師更多的投入精力做好教學(xué)設(shè)計，把握教學(xué)過程，學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提升是一種必然。

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