王淼生 黃勇

摘 要：數(shù)學運算是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)之一，歷來是課程和教學的重點內容.教師在教學中可以通過一題多解，充分展示培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)的精髓，理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求出運算結果，反思運算歷程.

關鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學運算；一題多解

一、數(shù)學運算

核心素養(yǎng)是我國新一輪課程改革的主要方向，體現(xiàn)高中課程的總體目標，標志著我國基礎教育進入以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為中心的新階段.數(shù)學核心素養(yǎng)是未來合格公民應具備的最基本、最重要的學科素養(yǎng).基于數(shù)學學科特點，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》首次明確提出數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據分析等六大數(shù)學核心素養(yǎng)，其中數(shù)學運算歷來是課程和教學的重點內容.數(shù)學運算是指依據運算法則，對數(shù)字、式子和量等運算對象進行代換或變換，強調解決問題的過程.數(shù)學運算并不僅僅是指數(shù)學計算，也不能理解為一般意義上的數(shù)學計算.數(shù)學運算不僅包括數(shù)字的簡單計算，還包括各種數(shù)學式子及方程的變形，以及極限、微積分、邏輯代數(shù)的運算等.因此數(shù)學運算的核心就是理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果.下面以一道題的一題多解為例，闡述數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、題目呈現(xiàn)

如圖1所示，[AB]是半圓[O]：[x2+y2=1]（[y≥0]）的直徑，點[C]為半圓上任意一點，延長[AC]到點[P]，使得[CP=CB].

當點[C]從點[B]運動到點[A]時，動點[P]的軌跡的長度是（ ）.

A.[2π] B.[322π]

C.[22π] D.[42π]

三、題目分析

（一）運算對象

理解運算對象是實施數(shù)學運算的前提，否則數(shù)學運算就成為無源之水、無本之木.例題涉及解析幾何中的直線、圓及它們之間的位置關系；涉及直線的方程、傾斜角、斜率；涉及平面幾何中的圓、等腰三角形、直角三角形相關性質；涉及動點軌跡及弧長等運算對象.

（二）運算法則

掌握運算法則是實施數(shù)學運算的基礎.對于直線與圓相交可以聯(lián)立并解方程組，或運用韋達定理，或借助點到直線的距離公式；對于斜率可以利用[k=tanα]，也可以利用點的坐標來表示；對于幾何問題，可以借助平面幾何中的性質、定理（如三角形全等、相似）來處理.

（三）運算方向

實施數(shù)學運算關鍵在于探究運算方向，只有方向明確，才能保證運算在正確的軌道上運行.厘清問題本質是探究運算方向的基石.例題本質就是求滿足條件的動點軌跡，主要有定義法、代入法、參數(shù)法、幾何法、交軌法等，其中尤其關注軌跡純粹性.

（四）運算方法

在明確運算方向的背景下，任何數(shù)學運算最終必須落實到具體方法與操作流程.解題教學中不僅要向學生闡述構思歷程，而且要展示詳細運算過程，這既是數(shù)學運算核心素養(yǎng)的基本要求，也是培養(yǎng)運算能力的具體操作，更是優(yōu)化思維品質，提升核心素養(yǎng)的途徑.

（五）運算程序

實施數(shù)學運算是理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法之后面臨的關鍵問題.設計有效、恰當、簡捷的運算程序是破解具體問題的必由之路，更是解決同類及相似問題的普遍方法，達到舉一反三、觸類旁通的效果，是實施高效解題教學的重要策略.

（六）運算結果

數(shù)學運算最終目的是求解結果，不僅運算結果正確，而且追求最佳、最簡結論，同時要善于反思、勇于質疑.反思是解題教學的核心.反思解題思路，培養(yǎng)思維發(fā)散性；反思解題過程，培養(yǎng)思維嚴謹性；反思解題結果，培養(yǎng)思維批判性；反思解題規(guī)律，培養(yǎng)思維創(chuàng)造性.

四、一題多解

五、感悟反思

（一）命題陷阱

從上述剖析過程可知，動點[P]的軌跡方程為[（x-0）2+（y-1）2=2]（[x>-1]，[y≥0]），因此其軌跡為半圓，軌跡長度為圓周長的一半，這正是選項A.不少學生沒有注意到軌跡的純粹性，誤以為軌跡就是整個圓，這正是命題專家故意設置干擾項C的緣由.部分學生注意到[y≥0]，誤以為軌跡就是圓[（x-0）2+（y-1）2=2]在[x]軸上方的部分，從而得到軌跡長度為該圓周長的四分之三，這是命題專家設置干擾項B的依據.正如上述解法3，不少學生誤以為軌跡是兩個圓，這是設置干擾項D的理由.針對選擇題，我們必須研究命題專家設置干擾項的“理由”，這是精準解答選擇題的關鍵，也是預防錯誤并得到正確結果的必經之路.

（二）反思質疑

波利亞將解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實施計劃、回顧反思等四個階段.弄清問題即剖析條件之間的關聯(lián)，理解運算對象，掌握運算法則；擬定計劃就是在探究運算方向的前提下，設計運算程序；實施計劃就是選擇運算方法并求得運算結果；回顧反思是最重要也是最容易忽略的一個環(huán)節(jié)，通過回顧所完成的解答，并重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的思路，鞏固知識，提高解題能力，優(yōu)化思維品質，提升運算素養(yǎng).

比如，對于解法2，軌跡為何是半圓呢？源于點[C]本身只能在半圓[O]上運動.對于解法3中的①→⑥，為何這樣配方呢？有何依據？因為解法2從本源上確定其軌跡是圓的一部分，既然是圓就一定可以這樣配方.解法3中怎么會出現(xiàn)兩個圓呢？事實上，已知三角形一邊與其對角，其動點軌跡本來就是兩段圓弧，只是因為動點[C]在半圓[O]上運動，因此其軌跡只能是一個圓的一段弧.為何解法4中可以將[x2+y2]看作一個整體呢？其實，這并非是簡單的換元法，而是因為解法2已經明確軌跡為圓的一部分.既然是圓，依據圓的一般方程特點：[x2]與[y2]的系數(shù)相同且不為零，這才是看作一個整體的緣由；客觀地講，由（9）與（10）消去參數(shù)[α]以及由（12）消去參數(shù)[k]并不容易，正是解法2作為鋪墊，使得我們明確了運算方向，于是在（10）式與（12）式兩邊同時減去1，為后續(xù)消去參數(shù)奠定基礎.這也再一次說明探究運算方向、選擇運算方法（兩式平方相加）并非空穴來風，而是建立在縝密分析的基礎上.事實上，在解法6中，利用三角函數(shù)的值域，容易得到[x>-1]，[y≥0]，正好與題意吻合，也恰好體現(xiàn)軌跡的純粹性.上述解法6與解法8畢竟僅僅含有一個參數(shù)，相對不算太難，而解法10中含有兩個參數(shù)[x0]，[y0]，必須承認，從（14）（15）（16）及（17）中同時消去參數(shù)[x0]，[y0]是十分困難的，筆者也是經歷長時間摸索.遺憾的是，不少教師在實施運算時，往往重視運算方向、方法而忽視具體操作過程，不愿意甚至根本不舍得花時間來詳細演繹運算過程，導致學生一看會做、一算就錯、會而不對、對而不全.當涉及運算對象（[x]，[y]，[x0]，[y0]）較多，主要矛盾就是減元，這就是為何連續(xù)將（14）分別代入（15）（17），將（15）代入（16），將（18）代入（19），將（20）代入（21）的緣故，其終極目標依然是奔著解法2的結果（圓）而去.如果沒有這一目標，幾乎很難有效消去兩個參數(shù).

（三）不可分割

由上述分析過程，我們深刻感悟到數(shù)學核心素養(yǎng)之間你中有我，我中有你.它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，既各有側重又和諧統(tǒng)一.數(shù)學運算往往與直觀想象密切相關，上述解法3、解法4、解法6、解法8以及解法10（數(shù)學運算）都是建立在解法2以及解法7（幾何直觀）的基礎上，通過幾何直觀，啟迪解題思路；數(shù)學運算又與數(shù)據分析密不可分，數(shù)據就是信息，透過數(shù)據，發(fā)現(xiàn)本質，正是上述解法5中的數(shù)據，讓我們聯(lián)想到同弧上的圓心角為圓周角兩倍，進而緊扣目標（圓）；同時數(shù)學運算還與邏輯推理不可分割，通過邏輯推理，發(fā)現(xiàn)隱含規(guī)律，上述解法3、解法4、解法6、解法8，尤其解法10中的邏輯推理過程非常復雜，在推理的同時關注運算，在運算的過程中體會推理，使得數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據分析以及幾何直觀等核心素養(yǎng)融為一體，相得益彰，在解題活動中，感悟數(shù)學思想方法，積累數(shù)學思維的經驗，在潛移默化中形成和發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).