章國(guó)菲

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出將模型作為學(xué)生的核心素養(yǎng)。模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，模型的產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過(guò)程，是數(shù)學(xué)知識(shí)建立和應(yīng)用的過(guò)程，也是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開、推進(jìn)、提升的過(guò)程。本文將小學(xué)幾何直觀能力發(fā)展大致分為四個(gè)階段：孕育階段、過(guò)渡階段、萌發(fā)階段、生長(zhǎng)階段。各個(gè)階段培養(yǎng)的側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所不同，本文基于小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐，嘗試對(duì)不同水平的建模素養(yǎng)以二年級(jí)除法單元教學(xué)為例進(jìn)行解釋探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；幾何直觀；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終生發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了十大核心詞：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。其中，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。這里的解釋并非嚴(yán)格的概念界定，但我們可以從中把握幾個(gè)關(guān)鍵特征：其一，幾何直觀是一種描述和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，它與“直觀幾何”的區(qū)別在于，后者是指幾何學(xué)中的一個(gè)研究領(lǐng)域，主要研究包括認(rèn)識(shí)圖形，進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換等內(nèi)容。其二，“幾何”二字應(yīng)理解為研究工具，即幾何直觀是借助幾何圖形的形象關(guān)系來(lái)研究問(wèn)題的，這就體現(xiàn)了與實(shí)物直觀（以實(shí)物為直觀工具，如小棒，正方體盒子，茶杯等）的差異。

要想使學(xué)生有效建構(gòu)模型，首先要引導(dǎo)學(xué)生從生活原型中提煉出數(shù)學(xué)模型，并在初步感知模型的基礎(chǔ)上逐步向建構(gòu)模型過(guò)渡。而幾何直觀無(wú)疑是幫助學(xué)生直接感知模型的有效載體。

環(huán)節(jié)一：借助幾何直觀，孕育模型

幾何直觀能力的孕育階段主要是指一、二年級(jí)。這個(gè)階段的兒童以動(dòng)作思維、形象思維為主，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很大程度上依賴直觀教學(xué)。這時(shí)的直觀教學(xué)主要借助實(shí)物、圖片、符號(hào)等直觀載體，從嚴(yán)格意義上講還不能稱之為幾何直觀，因而適當(dāng)進(jìn)行抽象和提煉，由實(shí)物、符號(hào)直觀逐步向圖形直觀過(guò)渡，模型思想主要體現(xiàn)在從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量以及用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的過(guò)程中。

尋找圖形代替實(shí)物，表征除法算式的意義。

課件出示情境圖，小朋友們仔細(xì)觀察，并引出問(wèn)題。

提問(wèn)：觀察主題圖，你知道了哪些信息？

生：要把12個(gè)蘋果分成三堆，每堆一樣多。

師：當(dāng)我們沒(méi)有蘋果的時(shí)候該怎么辦？可以用什么代替它？如果用圓片，需要幾個(gè)圓片，為什么？

生：用圓片，因?yàn)樘O果是圓的。要和蘋果的數(shù)量一樣多，就是12個(gè)。

師：除了圓片，還可以用什么代替？只要怎么樣就可以？

生：用三角形的卡片。數(shù)量要和蘋果的數(shù)量一樣。

師：請(qǐng)從盒子里拿出你需要的材料來(lái)分一分。

以上環(huán)節(jié)，從幾何直觀的角度看，由實(shí)物抽象出數(shù)量，并且一一對(duì)應(yīng)。除法在應(yīng)用時(shí)一般出現(xiàn)兩種情況：一種是把一個(gè)數(shù)按每幾個(gè)分成一份，求分成幾份；另一種是把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每份是多少。由于問(wèn)題角度不同，因此引出分的方法也不同，但所分得的每份是均等的，因此建立除法的基本模型是把一些物體進(jìn)行平均分。

環(huán)節(jié)二：借助幾何直觀，過(guò)渡模型

直觀是對(duì)事物的直接判斷，是屬于經(jīng)驗(yàn)層面的。從某種意義上來(lái)說(shuō)，幾何直觀就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷積累所形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要包括兩類：即實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn)，兩者都有賴于學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得切身的過(guò)程性體驗(yàn)。這個(gè)環(huán)節(jié)是學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的重要階段。

畫圖表征除法算式的意義

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了除法，出示除法算式“18÷6=3”，這道除法算式表示什么意思？你能不能畫圖表示？

（1）學(xué)生畫圖表示18÷6=3的意思。

（2）收集學(xué)生不同的作品進(jìn)行展示。

在這一環(huán)節(jié)中，教師先組織學(xué)生完成畫圖，引導(dǎo)學(xué)生整體觀察，自主發(fā)現(xiàn)畫圖這一解決問(wèn)題的實(shí)用性，又讓學(xué)生體會(huì)到玩數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。而通過(guò)畫圖表征，可以直觀形象地解釋“等分除”與“包含除”，幫助學(xué)生理解除法算式的意義。

練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，筆者選擇了對(duì)比練習(xí)和題組訓(xùn)練，讓學(xué)生嘗試練習(xí)，并在練習(xí)的過(guò)程中抽概括轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用除法模型，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，體會(huì)形式變，本質(zhì)不變，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)。

學(xué)生獨(dú)立練習(xí)、核對(duì)，分析算式表示的意思。教師引導(dǎo)體會(huì)解決問(wèn)題的三步驟：知道了什么？怎么解答？解答正確嗎？不同的練習(xí)有不同的定位目標(biāo)。此題重在對(duì)比分析，鞏固平均分的兩種分法，加深對(duì)除法算式意義的理解，同時(shí)滲透完整的應(yīng)用解題過(guò)程。

題組訓(xùn)練

（1）猴媽媽給4只小猴分桃子，每只小猴分到6個(gè)桃，猴媽媽一共有幾個(gè)桃？

（2）猴媽媽有24個(gè)桃子，被小猴吃了4個(gè)，現(xiàn)在還有幾個(gè)桃子？

（3）猴媽媽有24個(gè)桃子，平均分給4只小猴，每只小猴分到幾個(gè)？

（4）猴媽媽原來(lái)有24個(gè)桃子，又買來(lái)4個(gè)桃子，現(xiàn)在有多少個(gè)桃子？

學(xué)生獨(dú)立完成以上的加減乘除一步計(jì)算問(wèn)題，重點(diǎn)分析為什么可以用除法計(jì)算。

在以上教學(xué)中，教師不僅僅滿足于能正確解決這個(gè)問(wèn)題，而是結(jié)合學(xué)生的解題思路，用幾何直觀去解決問(wèn)題。實(shí)踐證明，在小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)中借助幾何直觀，不僅可以豐富學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生解決問(wèn)題的視野，更重要的是通過(guò)“式”與“形”的一一對(duì)應(yīng)，以及做實(shí)做厚規(guī)則教學(xué)過(guò)程，提升建模素養(yǎng)。

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