丁彬

【摘要】 我國(guó)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一般比較注重模式化的數(shù)學(xué)思維的推理演練，往往忽視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的思想體系和文化內(nèi)涵的培養(yǎng).在新課程改革的背景下，將數(shù)學(xué)史引入數(shù)學(xué)課堂，越來(lái)越受到有關(guān)教育部門的重視，已成為數(shù)學(xué)課程改革發(fā)展的必然要求.本文主要從數(shù)學(xué)方法的比較、結(jié)合某一體系，講授發(fā)展概況、從具體問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、利用數(shù)學(xué)史上的名題及軼聞趣事這五個(gè)方面論述了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)史有關(guān)知識(shí)的融合過(guò)程，最后提出了數(shù)學(xué)史與教學(xué)融合的要求.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)史;融合;數(shù)學(xué)教學(xué)

一、利用數(shù)學(xué)史的方法

（一）通過(guò)方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)

古往今來(lái)，數(shù)學(xué)思想方法不計(jì)其數(shù)，每一種數(shù)學(xué)思想方法都閃爍著人類智慧的火花，以史為源，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)發(fā)展的痕跡中尋找養(yǎng)料，對(duì)古今中外的解決方法進(jìn)行對(duì)比，以便使學(xué)生了解各種方法的特點(diǎn)或古今方法的演變，從而更好地習(xí)得一些處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.

例如，證明1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1）.

（1）數(shù)學(xué)歸納法證明：

① 當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立;

② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即1+2+3+…+k= 1 2 k（k+1）;

③ 當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2+3+…+k+k+1= 1 2 k（k+1）+k+1= 1 2 （k+1）（k+2）.

等式也成立，根據(jù)①②③，可知等式成立.

該題還可以用古代數(shù)學(xué)中形與數(shù)相結(jié)合的思想方法來(lái)解決.

（2）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)從1開(kāi)始，任意多個(gè)自然數(shù)之和構(gòu)成三角形數(shù)，一點(diǎn)代表1，二點(diǎn)代表2，三點(diǎn)代表3等，并且在三角形數(shù)旁補(bǔ)一個(gè)倒立的三角形數(shù)，如下圖.

根據(jù)圖1可以得到1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1），

畢達(dá)哥拉斯還用正方形數(shù)的構(gòu)成得出：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

數(shù)學(xué)史中的“圖說(shuō)一體”的例子很多隱含著數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)時(shí)的思想方法，然而在今天這類思想方法卻被遺忘或者忽略了，而這類涵蓋數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)思想的史料，在教學(xué)時(shí)是不應(yīng)被忽視的.

（二）結(jié)合某一體系，講授發(fā)展概況

數(shù)學(xué)每一個(gè)知識(shí)體系的形成都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史時(shí)期，教師在教學(xué)過(guò)程中，可根據(jù)教材中的數(shù)的理論體系、解析幾何的理論體系的形成等，談其發(fā)展概況.如數(shù)的發(fā)展概況自然數(shù)——整數(shù)——有理數(shù)——無(wú)理數(shù)——實(shí)數(shù)——復(fù)數(shù).原始人在分配獵取食物和制造打獵武器時(shí)，總要先“數(shù)一數(shù)”和“量一量”，然后進(jìn)行分配，并經(jīng)過(guò)多次實(shí)踐，才逐漸產(chǎn)生了自然數(shù)的概念.在分配食物和度量過(guò)程中，常有分不完和量不盡的情況，但仍然需要繼續(xù)分和更精確地量下去.為了解決這些矛盾，于是就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，為了表示相反意義的量，則又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，至此，就有了有理數(shù)這一家庭.

那么無(wú)理數(shù)是如何誕生的呢？以 2 誕生的危機(jī)為著手點(diǎn)，引出無(wú)理數(shù).

L老師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有一個(gè)門徒叫希帕索斯，發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形，根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)其對(duì)角線長(zhǎng)不是有理數(shù)而是我們之前所學(xué)過(guò)的無(wú)理數(shù)，正是因?yàn)檫@個(gè)發(fā)現(xiàn)而動(dòng)搖畢達(dá)哥拉斯學(xué)派神秘的信仰，由于泄露這一秘密，被拋進(jìn)大海，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.那么希帕索斯發(fā)現(xiàn)的究竟是個(gè)怎樣的無(wú)理數(shù)呢？我們一起來(lái)看看.

請(qǐng)同學(xué)們填寫下面表格.

L老師：上述的問(wèn)題已知和要求的分別是什么呢？

生（眾）：已知的是正方形的面積，求的是正方形的邊長(zhǎng).

L老師：那它們邊長(zhǎng)分別是多少呢？

生（眾）：3，2，0.5，0.4，0.1.

L老師：這幾個(gè)都可以求出來(lái)，而且這幾個(gè)數(shù)可以用我們今天需要引進(jìn)的新的概念，即“算術(shù)平方根”?? 來(lái)表示.

L老師：同樣這個(gè)?? 也有其悠久的發(fā)展歷史，例如， 9 表示9的算術(shù)平方根，雖說(shuō)這是一個(gè)細(xì)小的數(shù)學(xué)符號(hào)，但在數(shù)學(xué)史上歷經(jīng)了漫長(zhǎng)的過(guò)程，古埃及人用符號(hào)“”表示算術(shù)平方根.印度人在開(kāi)平方時(shí)，在被開(kāi)方數(shù)的前面寫上“ka”，用ka9表示“ 9 ”，1480年前，德國(guó)人用一個(gè)點(diǎn)“·”來(lái)表示算術(shù)平方根，例如，“·5”就表示5的算術(shù)平方根.直到16世紀(jì)，小點(diǎn)帶上一條尾巴成為“～”，這可能寫快時(shí)，帶上的小尾，在此基礎(chǔ)上演變成“?? ”，表示成算術(shù)平方根;1525年，魯?shù)婪虻拇鷶?shù)書用 8 表示;1637年笛卡爾的《幾何學(xué)》中，出現(xiàn)了歷史上第一個(gè)算術(shù)平方根號(hào)“?? ”，他寫道：如果我想 求a2+b2的算術(shù)平方根就寫作“ a2+b2 ”.當(dāng)一個(gè)被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，為了避免混淆，又在這上面加一條“-”，左邊又加上一個(gè)小門，就是現(xiàn)在的根號(hào)了，即“?? ”.[7]

類似，正方形面積為9，邊長(zhǎng)為 9 ，這個(gè) 9 我們可以讀作9的算術(shù)平方根，即 9 =3， 4 =2，同學(xué)們能將表1中的其他數(shù)字用類似的形式表示其算術(shù)平方根嗎？

生（眾）：能， 4 =2， 0.25 =0.5……

L老師：同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)開(kāi)平方算出來(lái)的是它們邊長(zhǎng)，那么面積為2的正方形的邊長(zhǎng)怎么表示呢？

生（眾）： 2 .

L老師：那 2 等于多少呢？請(qǐng)同學(xué)們拿出計(jì)算器，利用計(jì)算器計(jì)算，看一看得出來(lái)的是什么類型的數(shù)字呢？

生（3）： 2 =1.41421356237309504880168872420是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是個(gè)無(wú)理數(shù).

L老師：回答得很好，同學(xué)們希帕索斯算出的數(shù)正好就是 2 ，從而引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).（概念解讀、例題講解和課堂練習(xí)略）

（三）從具體問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考

要使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程在某種程度上反映出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程，需做到既讓學(xué)生理解“證明”，又讓學(xué)生學(xué)會(huì)“猜測(cè)”，使學(xué)生能夠“知其然又知其所以然”.教師可以設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，讓學(xué)生在這樣的情境中像數(shù)學(xué)家那樣自己去猜想、發(fā)現(xiàn)真理，比機(jī)械模仿、記憶那些不理解其來(lái)源、意義和相互聯(lián)系的命題和證明的現(xiàn)成體系更容易使學(xué)生理解.數(shù)學(xué)史上新概念、新思想、新方法、新理論的出現(xiàn)往往是由于解決問(wèn)題的需要.從具體問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)建立猜想，當(dāng)學(xué)生感到用已有的知識(shí)無(wú)法解決，需要學(xué)習(xí)新方法或新理論的必要時(shí)，教師才開(kāi)始講授這種新的方法或理論.

（四）利用數(shù)學(xué)史上的名題

數(shù)學(xué)史為我們提供了豐富的史料，許多可以完全運(yùn)用于教學(xué)，如古希臘的三大幾何難題、孫子算經(jīng)、雞兔同籠等問(wèn)題、九章算術(shù)中的運(yùn)用題等，這些歷史名題的提出一般來(lái)說(shuō)都是非常自然的，且直接提供了相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，或者揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法，這對(duì)于學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法都是重要的.

例如，在初中代數(shù)的“列方程組解應(yīng)用題”的教學(xué)中可以使用“雞兔同籠”問(wèn)題.

例，一個(gè)農(nóng)民有若干只雞和兔子，它們共有50個(gè)頭和120條腿，則這個(gè)農(nóng)民有多少只雞？多少只兔子？

（1）有的學(xué)生使用了直觀的方法將所有的情況列表如下.

通過(guò)幾次試探，得到了答案，即有40只雞，10只兔子.

（2）有的學(xué)生使用了算術(shù)法：若給每只動(dòng)物2條腿，則用去了100條腿.這樣就剩余20條腿，把它們成對(duì)給出就得到10個(gè)4條腿的，40個(gè)2條腿的.所以，有10只兔子，40只雞.

（3）有的還使用了代數(shù)法假設(shè)雞有x只，兔子有y只.

列方程如下： x+y=50，2x+4y=120，? 解得x=40，y=10.

在上述解答中，教師以為學(xué)生做的是“列方程”，但事實(shí)上學(xué)生除了“列方程”以外，還給出了直觀的方法，試驗(yàn)的方法.正因?yàn)橛辛诉@些，教師才能在了解學(xué)生真實(shí)思維過(guò)程后進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué).

（五）利用歷史上的逸聞趣事

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)地介紹一些數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)過(guò)程、治學(xué)精神、軼聞趣事等，即所謂的給數(shù)學(xué)知識(shí)裹上“糖衣”的方法.帕斯卡16歲成為射影幾何的奠基人，19歲發(fā)明原始計(jì)算器.牛頓22歲發(fā)現(xiàn)一般的二項(xiàng)式定理，23歲創(chuàng)立微積分學(xué).這些杰出數(shù)學(xué)家的故事對(duì)于今天的許多學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑有著巨大的激勵(lì)作用.

許多大數(shù)學(xué)家在成長(zhǎng)過(guò)程中遭遇過(guò)挫折，不少著名數(shù)學(xué)家都犯過(guò)今天看來(lái)相當(dāng)可笑的錯(cuò)誤，介紹一些大數(shù)學(xué)家是如何遭遇過(guò)挫折和犯錯(cuò)誤的，不僅可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)方法上從反面獲得全新的體會(huì)，而且知道大數(shù)學(xué)家也同樣會(huì)犯錯(cuò)誤、遭遇挫折，對(duì)學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難、樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心會(huì)產(chǎn)生重要的作用.數(shù)學(xué)思想形成中的曲折與艱辛以及那些偉大的探索者的失敗與成功還可以使學(xué)生體會(huì)到，數(shù)學(xué)既不僅僅是訓(xùn)練思維的過(guò)程，也是科學(xué)研究的工具，它有著豐富的人文內(nèi)涵.

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)史的要求

專業(yè)知識(shí)與歷史知識(shí)總是互補(bǔ)的.就是說(shuō)，不僅研究學(xué)習(xí)歷史需要具備一定的專業(yè)知識(shí)，而且學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)也同樣需要用歷史知識(shí)幫助分析和思考.所以數(shù)學(xué)史是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的工具.人們要弄清數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)展過(guò)程，增長(zhǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，建立數(shù)學(xué)的意識(shí)可以運(yùn)用數(shù)學(xué)史作為補(bǔ)充和指導(dǎo)，給人以啟迪和明鑒.因此，教師要在教學(xué)中注意發(fā)揮好數(shù)學(xué)史的現(xiàn)代教育價(jià)值.

1.教師在上課前要深入研究教材的數(shù)學(xué)知識(shí)，理清隱含在該次課的每個(gè)公理、定理、公式、概念和圖形等數(shù)學(xué)史的知識(shí)，充分做好課前的儲(chǔ)備工作.

2.結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和特點(diǎn)來(lái)分析數(shù)學(xué)知識(shí)，以此找出其中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)史的知識(shí)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

3.研究數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，制訂合理的教學(xué)方法和過(guò)程.確定哪些知識(shí)需要數(shù)學(xué)史知識(shí)的幫助，哪些不需要確定出在教學(xué)時(shí)如何給學(xué)生講解和介紹確定出在什么環(huán)節(jié)上補(bǔ)充數(shù)學(xué)史知識(shí)等.

4.由于數(shù)學(xué)史的內(nèi)容廣泛，加上數(shù)學(xué)學(xué)科本身源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，分支較多，所以面對(duì)長(zhǎng)長(zhǎng)的數(shù)學(xué)史卷，應(yīng)該合理轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，根據(jù)自己的教學(xué)安排詳細(xì)地向?qū)W生講解.

5.在給學(xué)生講解數(shù)學(xué)史知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)力求簡(jiǎn)單通俗，使學(xué)生易于接受.

6.在給學(xué)生講解數(shù)學(xué)史知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)及時(shí)補(bǔ)充，確保教學(xué)效果.

7.不能忽視課外的數(shù)學(xué)史知識(shí)的適當(dāng)教育.

【參考文獻(xiàn)】

[1].楊渭清.數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史的若干問(wèn)題探究[J]西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（3）：125-128.