殷麗萍

摘? 要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是學(xué)生的實(shí)踐方式，更是學(xué)生的認(rèn)知方式。當(dāng)下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，最為缺失的是學(xué)生的理性思維。其表現(xiàn)為教師把控的“被實(shí)驗(yàn)”、束縛思維的“統(tǒng)實(shí)驗(yàn)”和抹殺過程的“虛實(shí)驗(yàn)”。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中發(fā)展學(xué)生理性思維，需要融合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、智慧與創(chuàng)造。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);理性思維

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是學(xué)生的實(shí)踐方式，更是認(rèn)知方式。實(shí)驗(yàn)過程就是學(xué)生在一定猜想、假設(shè)下，借助儀器或技術(shù)手段，通過數(shù)學(xué)化活動(dòng)（包括觀察、操作等外顯活動(dòng)和分析、推理等內(nèi)隱思維活動(dòng)）來理解、解釋、建構(gòu)數(shù)學(xué)的過程 [1]。這個(gè)過程既包括探究，也包括驗(yàn)證。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常借助操作，但數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)絕不能等同于操作。只有蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思維、想象的操作，才能被稱為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中理性思維的缺失

實(shí)驗(yàn)與操作既有聯(lián)系又有區(qū)別。當(dāng)下，某些教師對(duì)實(shí)驗(yàn)存在著誤解、誤讀乃至認(rèn)識(shí)誤區(qū)。他們認(rèn)為，只要讓學(xué)生操作了，也就是實(shí)驗(yàn)了。由此導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)中學(xué)生理性思維的缺失。學(xué)生只滿足于動(dòng)手做，有時(shí)完全淪落為一個(gè)操作工。實(shí)驗(yàn)缺乏明顯的指向性、探索性。

1. 教師把控的“被實(shí)驗(yàn)”

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)是學(xué)生提出假設(shè)、設(shè)計(jì)方案、操作探索、獲取結(jié)論的過程 [2]。教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，許多教師不僅給學(xué)生提供實(shí)驗(yàn)素材，而且預(yù)設(shè)實(shí)驗(yàn)流程，實(shí)驗(yàn)完全是教師把控下的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生完全處于被動(dòng)狀態(tài)。一位教師教學(xué)《釘子板上的多邊形》，用學(xué)習(xí)單給出了三個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生分別探究“圖形內(nèi)釘子數(shù)為1”“圖形內(nèi)釘子數(shù)為2”“圖形內(nèi)釘子數(shù)為3”的圖形面積，從而不完全歸納出“皮克定理”。實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生完全按教師指示進(jìn)行。盡管實(shí)驗(yàn)過程一帆風(fēng)順，但當(dāng)所有素材由教師提供、所有步驟由教師規(guī)定、所有過程由教師掌控時(shí)，學(xué)生以后遇到類似探究，還能自主設(shè)計(jì)、開展實(shí)驗(yàn)活動(dòng)嗎？這里，學(xué)生按部就班，探究能力并沒有得到顯著提升。

2. 束縛思維的“統(tǒng)實(shí)驗(yàn)”

由于學(xué)生生活經(jīng)歷不同，所以學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)科經(jīng)驗(yàn)也不同。教師應(yīng)尊重差異，允許學(xué)生用自己的方式進(jìn)行研究。但遺憾的是，許多實(shí)驗(yàn)往往抹殺學(xué)生差異，以大一統(tǒng)方式展開。一位教師教學(xué)《圓柱的側(cè)面積》，要求學(xué)生沿著高將圓柱側(cè)面展開。于是，學(xué)生齊刷刷用剪刀將圓柱側(cè)面商標(biāo)紙沿著高剪下來，形成長方形。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生比較長方形和圓柱側(cè)面，形成側(cè)面積公式。盡管得出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但實(shí)驗(yàn)過程卻是單薄的。學(xué)生沒有經(jīng)過嘗試、探索、思考，完全是步調(diào)一致地操作著。這種實(shí)驗(yàn)沒有充分發(fā)揮實(shí)驗(yàn)功能，反而將學(xué)生思維束縛，淹沒了個(gè)體思考，如有學(xué)生曾想將圓柱側(cè)面斜著剪，有學(xué)生曾想將圓柱曲折剪等。

3. 抹殺過程的“虛實(shí)驗(yàn)”

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生充分地經(jīng)歷過程，只有這樣，學(xué)生的感受、體驗(yàn)才是深刻的。實(shí)驗(yàn)過程難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤、失誤、誤差，教師應(yīng)允許實(shí)驗(yàn)中的“不和諧音符”。遺憾的是，許多教師眼中只有目標(biāo)，對(duì)于實(shí)驗(yàn)過程中可能出現(xiàn)的分歧、分叉急于抹平，將實(shí)驗(yàn)拉回預(yù)設(shè)軌道。更有教師，為追求結(jié)果一步到位，對(duì)學(xué)生進(jìn)行前置告知，由此導(dǎo)致學(xué)生思維膚淺。一位教師教學(xué)《可能性》，由于懼怕實(shí)驗(yàn)過程中的意外生成，將豐富生動(dòng)的“做實(shí)驗(yàn)”簡化為“演實(shí)驗(yàn)”“講實(shí)驗(yàn)”“說實(shí)驗(yàn)”。為了讓學(xué)生信服“等可能性”，教師用多媒體課件直接出示國外數(shù)學(xué)家研究“等可能性”的“拋硬幣”數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。學(xué)生只是模糊地感知到“等可能性”，但缺乏隨機(jī)體驗(yàn)，更沒有形成概率思想。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中理性思維的發(fā)展

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是將學(xué)生從傳統(tǒng)紙筆數(shù)學(xué)中解放出來，形成以操作為主要特征的活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)方式從“動(dòng)筆”轉(zhuǎn)向“動(dòng)手”，從“學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)向“研究”。教學(xué)中，教師要將學(xué)生動(dòng)手操作與理性思維結(jié)合起來，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生長點(diǎn)。

1. 融合經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)之理

杜威深刻地指出：“發(fā)展中的經(jīng)驗(yàn)就是所謂的思維?！睌?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)融合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，以經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中積極參與、充分體驗(yàn)，形成對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理解。引導(dǎo)學(xué)生透過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)表層、直觀現(xiàn)象去觸摸深層思想內(nèi)核，體悟并習(xí)得實(shí)驗(yàn)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì) [3]。

教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》，許多教師都會(huì)讓學(xué)生用小棒搭建三角形探索三邊關(guān)系。學(xué)生通過經(jīng)驗(yàn)性操作，能認(rèn)識(shí)到當(dāng)兩邊之和大于第三邊時(shí)，能圍成三角形，因?yàn)閲扇切蔚牧韮筛“艨梢怨捌饋?。但在研究兩邊之和等于第三邊時(shí)，學(xué)生猶疑不決，有學(xué)生認(rèn)為可以圍成三角形，因?yàn)閮筛“粢补捌饋砹耍ㄗⅲ浩鋵?shí)是由于小棒厚度造成的），有學(xué)生認(rèn)為不可以圍成三角形。經(jīng)驗(yàn)性實(shí)驗(yàn)遭遇尷尬，但卻為學(xué)生推理性實(shí)驗(yàn)、思維性實(shí)驗(yàn)積淀了經(jīng)驗(yàn)性基礎(chǔ)。在操作實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫三角形，在畫的過程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條線段長度之和等于第三條線段時(shí)，不能拱起來，因而不能圍成三角形。畫圖實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生純推理、純思維實(shí)驗(yàn)的先導(dǎo)。學(xué)生將畫出的三角形看成是任意兩點(diǎn)之間的連線，顯然直線最短。所以三角形任意兩條邊長度之和必然大于第三條邊。

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)有程序性知識(shí)和思辨性知識(shí)?！叭切稳呹P(guān)系”屬于程序性知識(shí)，但又帶有思辨性質(zhì)，是橫跨經(jīng)驗(yàn)的超驗(yàn)性知識(shí)。在實(shí)驗(yàn)過程中，一方面要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，分析和解決問題;另一方面又要激發(fā)學(xué)生思維，引發(fā)思維互助、共振，并向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最優(yōu)化方向發(fā)展。

2. 融合智慧，優(yōu)化實(shí)驗(yàn)之態(tài)

借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，也是學(xué)生主動(dòng)理解數(shù)學(xué)的重要方式、路徑。在實(shí)驗(yàn)過程中，教師要將學(xué)生動(dòng)手做活動(dòng)與智慧培育融合起來，形成操作與思維共舞、與智慧共融的具身認(rèn)知。在動(dòng)手做過程中，要打開學(xué)生被掩蓋的思維軌跡，讓學(xué)生主動(dòng)觀察、推理、想象，主動(dòng)剪拼、繪制等。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)融入度，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造潛質(zhì)。

教學(xué)《長方體和正方體》，有這樣一道習(xí)題：將一個(gè)長為26厘米、寬為18厘米的長方形紙，分別在四個(gè)角剪去邊長為4厘米的正方形，折成一個(gè)無蓋紙盒，盒子容積是多少？這樣的習(xí)題，一般教師在教學(xué)時(shí)往往著眼于問題解決，讓學(xué)生展開數(shù)學(xué)操作。但這種動(dòng)手操作往往就是學(xué)生做手工。只是將一個(gè)平面圖形演變?yōu)榱Ⅲw圖形，如此而已。筆者在教學(xué)時(shí)，融入學(xué)生智慧，將習(xí)題向更深處推進(jìn)，要求學(xué)生帶著問題深度實(shí)驗(yàn)：將一張正方形紙的四個(gè)角剪去四個(gè)正方形后折成無蓋長方體，怎樣剪，長方體紙盒的容積最大？學(xué)生分小組展開實(shí)驗(yàn)，將1號(hào)正方形（邊長為6厘米）、2號(hào)正方形（邊長為12厘米）、3號(hào)正方形（邊長為18厘米）、4號(hào)正方形（邊長為24厘米）紙分別剪開，然后折成長方體。經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，學(xué)生得出這樣的結(jié)論：當(dāng)減去的小正方形邊長是大正方形邊長的六分之一時(shí)，折成的長方形紙盒容積最大。

這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證、記錄、計(jì)算和分析的智慧實(shí)踐過程。學(xué)生意猶未盡，課后不斷假設(shè)正方形，探究規(guī)律。由此及彼、由表及里，不斷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題。借助實(shí)驗(yàn)，將“操作”與“智慧”完美結(jié)合，讓兩者相互促進(jìn)、融合，形成深度理解。

3. 融合創(chuàng)造，欣賞實(shí)驗(yàn)之美

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，教師要激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺，引發(fā)數(shù)學(xué)聯(lián)想，助推學(xué)生數(shù)學(xué)驗(yàn)證、推理，讓學(xué)生能探索新問題、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解放了學(xué)生的手腦，讓學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造成為可能。融合創(chuàng)造，不僅能改變學(xué)生的認(rèn)知方式，而且能改變學(xué)生的審美方式、行動(dòng)方式，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有趣、生動(dòng)。

教學(xué)《長方形、正方形面積》后，筆者借助推導(dǎo)過程中的“擺方格”，設(shè)計(jì)了這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：用36個(gè)邊長為1厘米的小正方形拼成長方形，一共可以形成多少種不同規(guī)格？哪一種規(guī)格周長最大？學(xué)生剛開始擺往往是無序的。但擺著擺著，學(xué)生思路逐漸明晰起來，他們從“每行36個(gè)，擺一行”開始探索。當(dāng)擺了兩種不同規(guī)格后，學(xué)生又?jǐn)[脫實(shí)物操作，用列舉法，將不同規(guī)格的長方形及它們的周長列舉出來。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，面積相等的長方形，長和寬越接近，周長越短。有了這種發(fā)現(xiàn)，學(xué)生猜想：是否所有周長相等的長方形都具有這種規(guī)律？由此展開了深度探索。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)一步猜想：周長相等的長方形，面積大小又有著怎樣的規(guī)律？通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生們也發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。在整個(gè)過程中，學(xué)生的思維是發(fā)散的、變通的，他們大膽比較、質(zhì)疑、論證。實(shí)驗(yàn)與創(chuàng)造交融，讓學(xué)生思維品質(zhì)獲得最大生長。

弗賴登塔爾說，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西，自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)賦予了學(xué)生較大的學(xué)習(xí)自由和探索空間。在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生能整合自身經(jīng)驗(yàn)、能力，獲得創(chuàng)造性認(rèn)知和行動(dòng)。

伽達(dá)默爾說，“文本解讀的過程就是一個(gè)讀者視界與文本視界相互融合的過程”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，就是師生將實(shí)驗(yàn)資源、素材等有機(jī)組合，讓實(shí)踐操作和理性思維不斷走向融合。學(xué)生“學(xué)做玩共生、思創(chuàng)行一體”，由學(xué)習(xí)者轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯空?、探索者和發(fā)現(xiàn)者。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 劉正松. 小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開發(fā)設(shè)計(jì)原則與方法例談[J]. 江蘇教育， 2016（5）.

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[3]? 王嵐. “做中學(xué)”中“做數(shù)學(xué)”——小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)施策略[J]. 上海教育科研， 2015（6）.