摘 要：課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教育落實(shí)的主要方式，本文借助平面向量的教學(xué)過程展示了數(shù)學(xué)概念課中遵循概念的生成邏輯，設(shè)計(jì)問題鏈的教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：平面向量；課堂教學(xué)；問題鏈；概念生成

中學(xué)數(shù)學(xué)課大體可以分為數(shù)學(xué)概念課、規(guī)則原理課、解題方法課、試題分析課等。其中，概念課的教學(xué)模式一直是老師們探討的熱點(diǎn)。因?yàn)槊恳恢R(shí)模塊的第一節(jié)課大多是數(shù)學(xué)概念課?！昂玫拈_始是成功的一半”。以下借助《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》一課，介紹一下本人對(duì)數(shù)學(xué)概念課的理解和處理方式。

一、 課堂實(shí)錄

（一） 情景設(shè)置：

師：如果同學(xué)們遇到下面這種情況該怎么做？

展示情景：在汽車站內(nèi)遇一老人問路，“中心醫(yī)院怎么走？”你該如何作答？

生：汽車站路口向東3.5公里；或汽車站路口向東第四個(gè)路口。

師：如果只說“向東”或者“3.5公里”，行不行？也就是說你的描述應(yīng)該包括幾個(gè)方面？（生：不行；距離和方向。）

師：對(duì)，距離是車站路口到醫(yī)院的路程的大小。也就是說，我們的描述需要“既有大小，又有方向”。（板書）

師：在原來的學(xué)習(xí)中我們有沒有接觸過這種既有大小又有方向的量呢？有哪些？

生：位移、力、速度、加速度等。

總結(jié)：我們現(xiàn)在學(xué)過的量可以分為兩種：一種有大小也有方向，稱為向量（物理學(xué)中稱為矢量）；一種有大小沒有方向，稱為數(shù)量（也就是物理學(xué)中的標(biāo)量）（板書）

（二） 引入課題

師：這一章主要學(xué)習(xí)向量的定義、表示方法、運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用。所以本章題目是《平面向量》。

（三） 探究新課

師：我們?cè)诮佑|一個(gè)新事物時(shí)，首先希望了解它的“名字”，也就是一種符號(hào)表示方法。比如開始我們遇到的問題，設(shè)汽車站為點(diǎn)A，縣醫(yī)院為點(diǎn)B，如何用一個(gè)符號(hào)表示從汽車站到縣醫(yī)院這段向量？（生：AB）

師：這種表示容易與線段、直線的表示混淆。我們可以把以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記作AB。如果對(duì)起點(diǎn)和終點(diǎn)不夠了解也可以用一個(gè)小寫字母來表示，如：a、b、c。這是向量的字母表示方法。

師：字母表示法是一種符號(hào)語言，是抽象的表示方法。數(shù)學(xué)語言中有符號(hào)語言、圖形語言兩類。任一實(shí)數(shù)在數(shù)軸上都有對(duì)應(yīng)點(diǎn)，三角函數(shù)用什么圖形表示呢？

生：三角函數(shù)線。

師：三角函數(shù)線是有方向的線段，這種有向線段能表示向量嗎？

生：有向——方向；線段——大小。

師：有向線段的三要素是什么？

生：起點(diǎn)、方向、終點(diǎn)。

師：有向線段的長(zhǎng)度表示一個(gè)向量的大小。向量的大小被稱為向量的模，記作AB。

思考1：向量的模都是正數(shù)嗎？

師：手中平托的課本，受到重力和我的托力的影響，合力的大小是多少？

生：這是一個(gè)大小為零的向量。

師：我們可以怎么定義這種向量？（零向量）記作0。作為一個(gè)向量我們還要考慮它的方向。通常認(rèn)為，0的方向是任意的。

師：然而向量的模的取值范圍是什么？（生：AB0.）

展示邊長(zhǎng)是1菱形ABCD。思考2：圖中四向量有什么共同之處？（生：模是1.）

師：我們通常把長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量。

問：若AB、AD是兩個(gè)單位向量，那么是不是AB=AD？（生：是。）

師：為什么？向量的模相等，兩向量就相等嗎？還需不需要考慮其他要素？怎樣的兩個(gè)向量可稱為相等向量呢？能寫出菱形ABCD中AB的相等向量嗎？

生：大小相等，方向相同。AB的相等向量是DC

師：AB相等向量是DC，能不能認(rèn)為有向線段AB和DC也是相等的？（生：是）

師：這兩個(gè)有向線段的三要素都相等么？（生：不相等。）

師：總結(jié)有向線段和向量的聯(lián)系和區(qū)別是？

1. 有向線段既有大小又有方向，是向量的幾何表示；

2. 向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段。

師：既然AB、AD不相等，那么能不能比較AB、AD的大??？

師：數(shù)量可以比較大小。但是向量由于需要考慮方向，不能比較大小。

師：AD和CB是相等的兩向量么？

生：不是。AD和CB的方向不同，是相反的。

師：菱形的對(duì)邊是平行的。那么AB與DC，AD和CB我們也可以稱為平行向量。記作：AB∥DC，AD∥CB。

思考3：什么樣的兩個(gè)向量可稱為平行向量？（生：同向或反向的兩個(gè)向量。）

師：所有的向量方向都是確定的嗎？有沒有方向無法確定的向量？（生：零向量。）

師：平行向量：同向或反向的兩個(gè)非零向量。

（板書）我們規(guī)定：零向量和任意向量平行。記作a∥0

師：我們知道向量的要素只有大小和方向，與起點(diǎn)無關(guān)，也就是可以認(rèn)為向量是可以平移的。那么平行的向量我們能不能都平移到一條直線上？（生：可以）

師：所以平行向量也稱為共線向量。

師：現(xiàn)在我們一起回顧以下我們從幾個(gè)方面來研究平面向量的？

二、 歸納反思

著名數(shù)學(xué)家P.R.Halmos曾說，“問題是數(shù)學(xué)的心臟。”朱德全博士也曾指出，“問題是教師教學(xué)的心臟，是學(xué)生學(xué)習(xí)的心臟?！边@一節(jié)課，首先從實(shí)際生活中的情境引入，以學(xué)生原有的知識(shí)背景為基礎(chǔ)，建立了平面向量的概念；進(jìn)而，不斷激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求，步步深入地介紹平面向量的表示方法、特殊類型和相互關(guān)系。在本節(jié)課的教學(xué)過程中，我努力把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)、追尋概念生成的內(nèi)在邏輯，設(shè)計(jì)出驅(qū)動(dòng)學(xué)生不斷思考的問題鏈，使課堂教學(xué)流暢、自然；讓學(xué)生充分體驗(yàn)概念生成中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]HALMOS P R.The heart of mathermatics[J].The American Monthly，1980（87）：519-524.

[2]朱德全.基于問題解決的處方教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高等教育研究，2006，27（5）：83-88.

作者簡(jiǎn)介：

魏巍，山東省濱州市，惠民縣第一中學(xué)。